Question

La región formada por todos los puntos del espacio tridimensional que están a no más de $3$ unidades del segmento $\overline{AB}$ tiene volumen $216\pi.$ ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

The region consisting of all points in three-dimensional space within $3$ units of line segment $\overline{AB}$ has volume $216\pi.$ What is the length $AB?$

$6$

$12$

$18$

$20$

$24$

Solución:

Recuerda que todos los puntos que están a lo sumo a una distancia fija $r$ de un punto forman una esfera.

En los extremos de este segmento, podemos visualizar que se forma un hemisferio en cada extremo.

Todos los puntos del medio también tienen esferas formándose a su alrededor, pero se fusionan con las de al lado.

Esto significa que la sección central forma un cilindro de radio $3.$ Los dos hemisferios forman una esfera de radio $3,$ y por lo tanto un volumen de $\dfrac{4}{3} \pi 3^3 = 27 \cdot \dfrac{4}{3} \pi = 36 \pi.$ Esto significa que el cilindro tiene un volumen de $216 \pi - 36 \pi = 180 \pi.$ Sabemos que el área de la base es $9 \pi,$ así que si $h$ es $AB,$ entonces el volumen es $\begin{align*} \pi 3^2 h &= 180\pi \\9h \pi &= 180 \pi \\ h &= 20. \end{align*}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Recall that all the points at most a fixed distance $r$ away from a point form a sphere.

At the end points of this line segment, we can visualize two hemispheres being formed at each end.

All the points in the middle also have spheres forming around them, but they get merged into the ones right next to them.

This means that the middle section forms a cylinder with radius $3.$ The two hemispheres form a sphere with radius $3,$ and therefore a volume of $\dfrac{4}{3} \pi 3^3 = 27 \cdot \dfrac{4}{3} \pi = 36 \pi.$ This means that the cylinder has a volume of $216 \pi - 36 \pi = 180 \pi.$ We know the base area is $9 \pi,$ so if $h$ is $AB,$ then the volume is $\begin{align*} \pi 3^2 h &= 180\pi \\9h \pi &= 180 \pi \\ h &= 20. \end{align*}$

Thus, D is the correct answer.

2017 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años