Soluciones del 2017 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

¿Cuál es el valor de $\scriptsize (2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)$ ?

What is the value of $\scriptsize (2(2(2(2(2(2+1)+1)+1)+1)+1)+1)?$

$70$

$97$

$127$

$159$

$729$

Conceptos:operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Al simplificar se obtiene $\begin{align*} &(2(2(2(2(2(2+1)+1)\\ &+1)+1)+1)+1) \\ =& (2(2(2(2(2(3)+1)\\ &+1)+1)+1)+1)\\=&(2(2(2(2(7)+1)+1)+1)+1) \\=& (2(2(2(15) + 1) + 1) + 1) \\ =&(2(2(31) + 1) + 1) \\=& 2(63) + 1 \\=& 127. \end{align*}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Simplifying yields $\begin{align*} &(2(2(2(2(2(2+1)+1)\\ &+1)+1)+1)+1) \\ =& (2(2(2(2(2(3)+1)\\ &+1)+1)+1)+1)\\=&(2(2(2(2(7)+1)+1)+1)+1) \\=& (2(2(2(15) + 1) + 1) + 1) \\ =&(2(2(31) + 1) + 1) \\=& 2(63) + 1 \\=& 127. \end{align*}$

Thus, C is the correct answer.

2.

Pablo compra paletas heladas para sus amigos. La tienda vende paletas individuales a $\$1$ cada una, cajas de 3 paletas a $\$2$ cada una y cajas de 5 paletas a $\$3.$ ¿Cuál es el mayor número de paletas que Pablo puede comprar con $\$8$ ?

Pablo buys popsicles for his friends. The store sells single popsicles for $\$1$ each, 3-popsicle boxes for $\$2$ each, and 5-popsicle boxes for $\$3.$ What is the greatest number of popsicles that Pablo can buy with $\$8?$

$8$

$11$

$12$

$13$

$15$

Conceptos:dinero optimización

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Las cajas de $\$3$ dan la mayor cantidad de paletas por dólar, así que queremos comprar tantas de esas como sea posible.

Podemos comprar dos de esas, obteniendo $5 \cdot 2 = 10$ paletas y quedándonos con $\$8 - \$6 = \$2$ .

Las paletas individuales de $\$1$ son la peor oferta, así que Pablo debería gastar el resto de su dinero en la caja de $3$ paletas.

Así termina con $10 + 3 = 13$ paletas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The $\$3$ boxes give us the most popsicles per dollar, so we want to buy as many of those as possible.

We can buy two of those, getting $5 \cdot 2 = 10$ popsicles with $\$8 - \$6 = \$2$ remaining.

The $\$1$ single popsicles are the worst deal, so Pablo should spend the rest of his money on the $3$ -popsicle box.

He then ends up with $10 + 3 = 13$ popsicles.

Thus, D is the correct answer.

3.

Tamara tiene tres filas de dos canteros de flores de $6$ pies por $2$ pies en su jardín. Los canteros están separados y también rodeados por caminos de $1$ pie de ancho, como se muestra en el diagrama. ¿Cuál es el área total de los caminos, en pies cuadrados?

Tamara has three rows of two $6$ -feet by $2$ -feet flower beds in her garden. The beds are separated and also surrounded by $1$ -foot-wide walkways, as shown on the diagram. What is the total area of the walkways, in square feet?

$72$

$78$

$90$

$120$

$150$

Conceptos:descomposición de áreas rectángulo

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Podemos ver que el ancho del jardín es $2 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 15.$ También vemos que la altura es $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10.$ Por lo tanto el área total del jardín es $15 \cdot 10 = 150.$ El área de todos los canteros es $6 \cdot 2 \cdot 6 = 72.$ Restando esto del área del jardín se obtiene $150 - 72 = 78,$ que es el área de los caminos.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can see that the width of the garden is $2 \cdot 6 + 3 \cdot 1 = 15.$ We can also see that the height is $3 \cdot 2 + 4 \cdot 1 = 10.$ The total area of the garden is therefore $15 \cdot 10 = 150.$ The area of all the flower beds is $6 \cdot 2 \cdot 6 = 72.$ Subtracting this from the area of the garden yields $150 - 72 = 78,$ which is the area of the walkways.

Thus, B is the correct answer.

4.

Mia está "ayudando" a su mamá a recoger $30$ juguetes esparcidos por el suelo. La mamá de Mia logra poner $3$ juguetes en la caja de juguetes cada $30$ segundos, pero cada vez, inmediatamente después de que transcurren esos $30$ segundos, Mia saca $2$ juguetes de la caja. ¿Cuánto tiempo, en minutos, les tomará a Mia y a su mamá poner los $30$ juguetes en la caja por primera vez?

Mia is "helping" her mom pick up $30$ toys that are strewn on the floor. Mia’s mom manages to put $3$ toys into the toy box every $30$ seconds, but each time immediately after those $30$ seconds have elapsed, Mia takes $2$ toys out of the box. How much time, in minutes, will it take Mia and her mom to put all $30$ toys into the box for the first time?

$13.5$

$14$

$14.5$

$15$

$15.5$

Conceptos:tasa simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Observa que después de $30$ segundos se agregan $3$ juguetes y se quitan $2$ , dejando un total neto de $+1$ juguetes en la caja.

Sin embargo, debemos tener cuidado hacia el final, ya que es posible que la caja tenga $30$ juguetes justo después de que la mamá de Mia los agrega y antes de que Mia los quite.

Cuando hay $27$ juguetes en la caja, la mamá de Mia puede agregar $3,$ dejando $30$ juguetes en la caja.

Tomará $27 \cdot 30$ segundos, más otros $30$ segundos, lo que nos da $28 \cdot 30 \div 60 = 14$ minutos para tener $30$ juguetes en la caja.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that after $30$ seconds, there are $3$ toys added and $2$ removed, leaving a net total of $+1$ toys in the box.

We have to be careful towards the end, however, since it is possible for the box to have $30$ toys right after Mia's mom adds the toys and before Mia removes them.

After there are $27$ toys in the box, Mia's mom can add $3,$ leaving $30$ toys in the box.

It will take $27 \cdot 30$ seconds, plus another $30$ seconds, which gives us $28 \cdot 30 \div 60 = 14$ minutes to get $30$ toys in the box.

Thus, B is the correct answer.

5.

La suma de dos números reales distintos de cero es $4$ veces su producto. ¿Cuál es la suma de los recíprocos de los dos números?

The sum of two nonzero real numbers is $4$ times their product. What is the sum of the reciprocals of the two numbers?

$1$

$2$

$4$

$8$

$12$

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 770

Solución:

Sean $x$ y $y$ los dos números. Se nos da que $x + y = 4xy.$

Observa que $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} = 4.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $x$ and $y$ be the two numbers. We are given that $x + y = 4xy.$

Note that $\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} = \dfrac{x + y}{xy} = 4.$

Thus, C is the correct answer.

6.

La Sra. Carroll prometió que cualquiera que respondiera correctamente todas las preguntas de opción múltiple en el próximo examen recibiría una A en el examen. ¿Cuál de estos enunciados se deduce necesariamente de forma lógica?

Ms. Carroll promised that anyone who got all the multiple choice questions right on the upcoming exam would receive an A on the exam. Which one of these statements necessarily follows logically?

Si Lewis no recibió una A, entonces respondió mal todas las preguntas de opción múltiple.

If Lewis did not receive an A, then he got all of the multiple choice questions wrong.

Si Lewis no recibió una A, entonces respondió mal al menos una de las preguntas de opción múltiple.

If Lewis did not receive an A, then he got at least one of the multiple choice questions wrong.

Si Lewis respondió mal al menos una de las preguntas de opción múltiple, entonces no recibió una A.

If Lewis got at least one of the multiple choice questions wrong, then he did not receive an A.

Si Lewis recibió una A, entonces respondió correctamente todas las preguntas de opción múltiple.

If Lewis received an A, then he got all of the multiple choice questions right.

Si Lewis recibió una A, entonces respondió correctamente al menos una de las preguntas de opción múltiple.

If Lewis received an A, then he got at least one of the multiple choice questions right.

Conceptos:deducción lógica

Nivel de dificultad: 900

Solución:

No hay ninguna estipulación sobre cómo obtener una A aparte de que responder correctamente todas las de opción múltiple garantiza una A.

Esto significa que es posible obtener una A sin responder correctamente todas las preguntas de opción múltiple.

También es posible no obtener una A incluso si se responden correctamente todas las preguntas de opción múltiple menos una.

Esto descarta A , C , D y E .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

There is no stipulation on how to get an A other than that getting all the multiple choice right guarantees an A.

This means that it is possible to get an A without getting all the multiple choice questions right.

It is also possible to not get an A even if all but one of the multiple choice questions are answered correctly.

This rules out A , C , D , and E .

Thus, B is the correct answer.

7.

Jerry y Silvia querían ir desde la esquina suroeste de un campo cuadrado hasta la esquina noreste. Jerry caminó hacia el este y luego hacia el norte para llegar a la meta, pero Silvia se dirigió al noreste y llegó a la meta caminando en línea recta. ¿Cuál de las siguientes opciones es la más cercana a cuánto más corto fue el trayecto de Silvia, comparado con el trayecto de Jerry?

Jerry and Silvia wanted to go from the southwest corner of a square field to the northeast corner. Jerry walked due east and then due north to reach the goal, but Silvia headed northeast and reached the goal walking in a straight line. Which of the following is closest to how much shorter Silvia's trip was, compared to Jerry's trip?

$30\%$

$40\%$

$50\%$

$60\%$

$70\%$

Conceptos:Teorema de Pitágoras porcentaje estimación

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del campo. Entonces Jerry recorrió $2s$ y Silvia recorrió $s\sqrt{2}$ por el teorema de Pitágoras.

El valor buscado es $\begin{align*} \dfrac{2s - s\sqrt{2}}{2s} &= \dfrac{2 - \sqrt{2}}{2} \\ &\approx \dfrac{2 - 1.4}{2} \\&= .3\\ &= 30\%. \end{align*}$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $s$ be the side length of the field. Then Jerry traveled $2s$ and Silvia traveled $s\sqrt{2}$ from the Pythagorean theorem.

The desired value is $\begin{align*} \dfrac{2s - s\sqrt{2}}{2s} &= \dfrac{2 - \sqrt{2}}{2} \\ &\approx \dfrac{2 - 1.4}{2} \\&= .3\\ &= 30\%. \end{align*}$

Thus, A is the correct answer.

8.

En una reunión de $30$ personas, hay $20$ personas que se conocen todas entre sí y $10$ personas que no conocen a nadie. Las personas que se conocen se abrazan, y las que no se conocen se dan la mano. ¿Cuántos apretones de manos ocurren dentro del grupo?

At a gathering of $30$ people, there are $20$ people who all know each other and $10$ people who know no one. People who know each other hug, and people who do not know each other shake hands. How many handshakes occur within the group?

$240$

$245$

$290$

$480$

$490$

Conceptos:conteo de pares combinaciones

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Cada una de las $10$ personas se da la mano con cada una de las $20$ personas. Esto resulta en $10 \cdot 20 = 200$ apretones de manos.

También hay $\binom{10}{2} = 45$ apretones de manos entre las $10$ personas (cada par de personas se da la mano).

Por lo tanto, el número total de apretones de manos es $200 + 45 = 245.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each of the $10$ people shake hands with each of the $20$ people. This results in $10 \cdot 20 = 200$ handshakes.

There are also $\binom{10}{2} = 45$ handshakes within the $10$ people (every pair of people shake hands).

Therefore, the total number of handshakes is $200 + 45 = 245.$

Thus, B is the correct answer.

9.

Minnie viaja en carretera plana a $20$ kilómetros por hora (kph), cuesta abajo a $30$ kph y cuesta arriba a $5$ kph. Penny viaja en carretera plana a $30$ kph, cuesta abajo a $40$ kph y cuesta arriba a $10$ kph. Minnie va del pueblo $A$ al pueblo $B,$ una distancia de $10$ km toda cuesta arriba, luego del pueblo $B$ al pueblo $C,$ una distancia de $15$ km toda cuesta abajo, y luego de regreso al pueblo $A,$ una distancia de $20$ km en llano. Penny va en sentido contrario usando la misma ruta. ¿Cuántos minutos más le toma a Minnie completar el recorrido de $45$ km que a Penny?

Minnie rides on a flat road at $20$ kilometers per hour (kph), downhill at $30$ kph, and uphill at $5$ kph. Penny rides on a flat road at $30$ kph, downhill at $40$ kph, and uphill at $10$ kph. Minnie goes from town $A$ to town $B,$ a distance of $10$ km all uphill, then from town $B$ to town $C,$ a distance of $15$ km all downhill, and then back to town $A,$ a distance of $20$ km on the flat. Penny goes the other way around using the same route. How many more minutes does it take Minnie to complete the $45$ -km ride than it takes Penny?

$45$

$60$

$65$

$90$

$95$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

A Minnie le tomará $10 \div 5 = 2$ horas recorrer la distancia cuesta arriba. Le tomará $15 \div 30 = \frac{1}{2}$ horas recorrer la distancia cuesta abajo.

Finalmente, le tomará $20 \div 20 = 1$ hora recorrer el llano. Esto le tomará un total de $\begin{align*}60\left(2 + \frac{1}{2} + 1\right) &= 60 \cdot \frac{7}{2} \\&= 210 \end{align*}$ minutos.

A Penny le tomará $20 \div 30 = \frac{2}{3}$ horas recorrer el llano. Le tomará otras $15 \div 10 = \frac{3}{2}$ horas recorrer la cuesta arriba.

Finalmente, le tomará $10 \div 40 = \frac{1}{4}$ horas recorrer la cuesta abajo. Esto da un total de $\begin{align*} 60\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4}\right) &= 60 \cdot \dfrac{29}{12} \\&= 145 \end{align*}$ minutos. A Minnie el recorrido le toma $210 - 145 = 65$ minutos más que a Penny.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

It will take Minnie $10 \div 5 = 2$ hours to travel the uphill distance. It will take her $15 \div 30 = \frac{1}{2}$ hours to travel the downhill distance.

Finally, it will take her $20 \div 20 = 1$ hour to travel the flat. This will take her a total of $\begin{align*}60\left(2 + \frac{1}{2} + 1\right) &= 60 \cdot \frac{7}{2} \\&= 210 \end{align*}$ minutes.

It will take Penny $20 \div 30 = \frac{2}{3}$ hours to travel the flat. It will take her another $15 \div 10 = \frac{3}{2}$ hours to travel the uphill.

Finally, it will take her $10 \div 40 = \frac{1}{4}$ hours to travel the downhill. This is a total of $\begin{align*} 60\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4}\right) &= 60 \cdot \dfrac{29}{12} \\&= 145 \end{align*}$ minutes. The trip takes Minnie $210 - 145 = 65$ more minutes to travel than Penny.

Thus, C is the correct answer.

10.

Joy tiene $30$ varillas delgadas, una de cada longitud entera desde $1$ cm hasta $30$ cm. Coloca sobre una mesa las varillas de longitudes $3$ cm, $7$ cm y $15$ cm. Luego quiere elegir una cuarta varilla que pueda juntar con estas tres para formar un cuadrilátero de área positiva. ¿Cuántas de las varillas restantes puede elegir como la cuarta varilla?

Joy has $30$ thin rods, one each of every integer length from $1$ cm through $30$ cm. She places the rods with lengths $3$ cm, $7$ cm, and $15$ cm on a table. She then wants to choose a fourth rod that she can put with these three to form a quadrilateral with positive area. How many of the remaining rods can she choose as the fourth rod?

$16$

$17$

$18$

$19$

$20$

Conceptos:desigualdad triangular conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Observa que ningún lado puede ser mayor o igual que la suma de las longitudes de los otros lados.

Sea $x$ la longitud de la cuarta varilla. Entonces tenemos que $x \lt 3 + 7 + 15$ y $x + 3 + 7 \gt 15$ Simplificando, sabemos que $5\lt x\lt 25.$ Contando los enteros en este rango, nos quedan $25 - 5 - 1 = 19$ valores para $x.$

Sin embargo, las varillas de longitud $7$ y $15$ ya están en uso, así que $x$ no puede ser igual a estos valores.

Esto deja $19 - 2 = 17$ soluciones viables para $x.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that no one side can be greater than or equal to the sum of the other side lengths.

Let $x$ be the length fourth rod. Then we have that $x \lt 3 + 7 + 15$ and $x + 3 + 7 \gt 15$ Simplifying, we know that $5\lt x\lt 25.$ Counting the number of integers in this range, we are left with $25 - 5 - 1 = 19$ values for $x.$

The rods with length $7$ and $15$ are already being used, however, so $x$ cannot equal these.

This leaves $19 - 2 = 17$ viable solutions for $x.$

Thus, B is the correct answer.

11.

La región formada por todos los puntos del espacio tridimensional que están a no más de $3$ unidades del segmento $\overline{AB}$ tiene volumen $216\pi.$ ¿Cuál es la longitud $AB$ ?

The region consisting of all points in three-dimensional space within $3$ units of line segment $\overline{AB}$ has volume $216\pi.$ What is the length $AB?$

$6$

$12$

$18$

$20$

$24$

Conceptos:volumen cilindro esfera

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Recuerda que todos los puntos que están a lo sumo a una distancia fija $r$ de un punto forman una esfera.

En los extremos de este segmento, podemos visualizar que se forma un hemisferio en cada extremo.

Todos los puntos del medio también tienen esferas formándose a su alrededor, pero se fusionan con las de al lado.

Esto significa que la sección central forma un cilindro de radio $3.$ Los dos hemisferios forman una esfera de radio $3,$ y por lo tanto un volumen de $\dfrac{4}{3} \pi 3^3 = 27 \cdot \dfrac{4}{3} \pi = 36 \pi.$ Esto significa que el cilindro tiene un volumen de $216 \pi - 36 \pi = 180 \pi.$ Sabemos que el área de la base es $9 \pi,$ así que si $h$ es $AB,$ entonces el volumen es $\begin{align*} \pi 3^2 h &= 180\pi \\9h \pi &= 180 \pi \\ h &= 20. \end{align*}$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Recall that all the points at most a fixed distance $r$ away from a point form a sphere.

At the end points of this line segment, we can visualize two hemispheres being formed at each end.

All the points in the middle also have spheres forming around them, but they get merged into the ones right next to them.

This means that the middle section forms a cylinder with radius $3.$ The two hemispheres form a sphere with radius $3,$ and therefore a volume of $\dfrac{4}{3} \pi 3^3 = 27 \cdot \dfrac{4}{3} \pi = 36 \pi.$ This means that the cylinder has a volume of $216 \pi - 36 \pi = 180 \pi.$ We know the base area is $9 \pi,$ so if $h$ is $AB,$ then the volume is $\begin{align*} \pi 3^2 h &= 180\pi \\9h \pi &= 180 \pi \\ h &= 20. \end{align*}$

Thus, D is the correct answer.

12.

Sea $S$ un conjunto de puntos $(x,y)$ en el plano coordenado tal que dos de las tres cantidades $3,x+2,$ y $y-4$ sean iguales y la tercera de las tres cantidades no sea mayor que este valor común. ¿Cuál de las siguientes es una descripción correcta de $S$ ?

Let $S$ be a set of points $(x,y)$ in the coordinate plane such that two of the three quantities $3,x+2,$ and $y-4$ are equal and the third of the three quantities is no greater than this common value. Which of the following is a correct description for $S?$

un solo punto

a single point

dos rectas que se intersecan

two intersecting lines

tres rectas cuyas intersecciones por pares son tres puntos distintos

three lines whose pairwise intersections are three distinct points

un triángulo

a triangle

tres rayos con un extremo común

three rays with a common endpoint

Conceptos:geometría analítica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Analicemos por casos cuáles de los valores son iguales. Si $3 = x + 2,$ entonces $x = 1.$ Esto también nos dice que $y - 4 \leq 3$ $y \leq 7.$ Esto describe un rayo que empieza en $(1, 7)$ y se extiende en la dirección $y$ negativa.

De forma similar, si $3 = y - 4,$ entonces $y = 7$ y $x + 2 \leq 3$ $x \leq 1.$ Esto también describe un rayo que empieza en $(1, 7)$ pero que en cambio se extiende en la dirección $x$ negativa.

Finalmente, si $x + 2 = y - 4,$ entonces tenemos la recta $y = x + 6.$ Además, tenemos que $3 \leq x + 2$ $x \geq 1$ y $3 \leq y - 4$ $y \geq 7.$ Observa que si se cumple una de estas condiciones, la otra también es necesariamente cierta por la ecuación de la recta.

Si $y = 7,$ entonces $x = 1.$ Los demás puntos están sobre la recta, donde $y \gt 7$ y $x \gt 1.$

Esto describe otro rayo que empieza en $(1, 7)$ y se aleja en una tercera dirección.

Los tres casos dan rayos que se originan en $(1, 7)$ y que van en direcciones distintas.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let us case on which of the values are equal. If $3 = x + 2,$ then $x = 1.$ This also tells us that $y - 4 \leq 3$ $y \leq 7.$ This describes a ray starting at $(1, 7)$ and extending in the negative $y$ direction.

Similarly, if $3 = y - 4,$ then $y = 7$ and $x + 2 \leq 3$ $x \leq 1.$ This also describes a ray starting at $(1, 7)$ but instead extending in the negative $x$ direction.

Finally, if $x + 2 = y - 4,$ then we have the line $y = x + 6.$ Furthermore, we have that $3 \leq x + 2$ $x \geq 1$ and $3 \leq y - 4$ $y \geq 7.$ Note that if one of these conditions is met, the other is also necessarily true due to the equation of the line.

If $y = 7,$ then $x = 1.$ The other points are along the line, where $y \gt 7$ and $x \gt 1.$

This describes another ray that starts at $(1, 7)$ and goes off in some third direction.

All three cases result in rays originating from $(1, 7)$ that all go in different directions.

Thus, E is the correct answer.

13.

Define una sucesión de forma recursiva por $F_{0}=0,~F_{1}=1,$ y $F_{n}=$ el residuo cuando $F_{n-1}+F_{n-2}$ se divide entre $3,$ para todo $n\geq 2.$ Así, la sucesión comienza $0,1,1,2,0,2,\ldots.$ ¿Cuánto vale $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+$ $F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}$ ?

Define a sequence recursively by $F_{0}=0,~F_{1}=1,$ and $F_{n}=$ the remainder when $F_{n-1}+F_{n-2}$ is divided by $3,$ for all $n\geq 2.$ Thus the sequence starts $0,1,1,2,0,2,\ldots.$ What is $F_{2017}+F_{2018}+F_{2019}+F_{2020}+$ $F_{2021}+F_{2022}+F_{2023}+F_{2024}?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:Fibonacci aritmética modular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1140

Solución:

Enumeremos los primeros valores para ver si podemos encontrar un patrón en esta sucesión.

$0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots$

De esto podemos ver que el patrón se repite cada $8$ términos.

La respuesta buscada es la suma de $8$ números consecutivos, que es fija. Esta suma es $0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2$ $+ 2 + 1 = 9.$ Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let us list out the first few values to see if we can find a pattern in this sequence.

$0, 1, 1, 2, 0, 2, 2, 1, 0, 1, \cdots$

From this we can see that the pattern repeats every $8$ terms.

The desired answer is the sum of $8$ consecutive numbers, which is fixed. This sum is $0 + 1 + 1 + 2 + 0 + 2$ $+ 2 + 1 = 9.$ Thus, D is the correct answer.

14.

Cada semana Roger paga una entrada de cine y un refresco con su mesada. La semana pasada, la mesada de Roger fue $A$ dólares. El costo de su entrada de cine fue $20\%$ de la diferencia entre $A$ y el costo de su refresco, mientras que el costo de su refresco fue $5\%$ de la diferencia entre $A$ y el costo de su entrada de cine. Al entero de porcentaje más cercano, ¿qué fracción de $A$ pagó Roger por su entrada de cine y su refresco?

Every week Roger pays for a movie ticket and a soda out of his allowance. Last week, Roger's allowance was $A$ dollars. The cost of his movie ticket was $20\%$ of the difference between $A$ and the cost of his soda, while the cost of his soda was $5\%$ of the difference between $A$ and the cost of his movie ticket. To the nearest whole percent, what fraction of $A$ did Roger pay for his movie ticket and soda?

$9\%$

$19\%$

$22\%$

$23\%$

$25\%$

Conceptos:porcentaje sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Sea $t$ el costo de la entrada y $s$ el costo del refresco. Entonces obtenemos las siguientes ecuaciones. $t = \dfrac{A - s}{5}$ $s = \dfrac{A - t}{20}$

Multiplicar en cruz la primera ecuación nos da $5t = A - s.$ Sustituyendo la expresión de $s$ se obtiene $5t = A - \dfrac{A - t}{20}.$ Resolviendo se obtiene $\begin{align*} 5t &= A - \dfrac{A - t}{20} \\ 100t &= 20A - A + t \\ 99t &= 19A \\ t &= \dfrac{19A}{99}. \end{align*}$

Esto también nos da $s = \dfrac{A - \frac{19A}{99}}{20} = \dfrac{4A}{99}.$

Sumando los costos se obtiene $\dfrac{19A}{99} + \dfrac{4A}{99} = \dfrac{23A}{99} \approx 23 \%.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $t$ be the cost of the ticket and $s$ be the cost of the soda. Then we get the following equations. $t = \dfrac{A - s}{5}$ $s = \dfrac{A - t}{20}$

Cross-multiplying the first equation gives us $5t = A - s.$ Substituting in the expression for $s$ yields $5t = A - \dfrac{A - t}{20}.$ Solving yields $\begin{align*} 5t &= A - \dfrac{A - t}{20} \\ 100t &= 20A - A + t \\ 99t &= 19A \\ t &= \dfrac{19A}{99}. \end{align*}$

This also gives us $s = \dfrac{A - \frac{19A}{99}}{20} = \dfrac{4A}{99}.$

Adding together the costs gives us $\dfrac{19A}{99} + \dfrac{4A}{99} = \dfrac{23A}{99} \approx 23 \%.$

Thus, D is the correct answer.

15.

Chloe elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo $[0, 2017].$

De forma independiente, Laurent elige un número real de manera uniforme al azar del intervalo $[0, 4034].$

¿Cuál es la probabilidad de que el número de Laurent sea mayor que el número de Chloe?

Chloe chooses a real number uniformly at random from the interval $[0, 2017].$

Independently, Laurent chooses a real number uniformly at random from the interval $[0, 4034].$

What is the probability that Laurent's number is greater than Chloe's number?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{5}{6}$

$\dfrac{7}{8}$

Conceptos:probabilidad geométrica simetría

Nivel de dificultad: 1070

Solución:

Si Laurent elige un número en el intervalo $(2017, 4034],$ entonces no hay forma de que Chloe tenga el número mayor.

Esto significa que Laurent tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de ganar automáticamente.

De lo contrario, Laurent elige un número en el intervalo $[0, 2017].$ La probabilidad de que obtenga un número mayor que Chloe es la misma que la de que Chloe obtenga un número mayor que Laurent.

Esto significa que Laurent tiene una probabilidad de $\frac{1}{2}$ de obtener un número mayor (al trabajar con intervalos reales, la probabilidad de un empate es esencialmente $0$ debido al tamaño infinito de los intervalos).

La probabilidad total de que Laurent obtenga un número mayor es $\dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If Laurent chooses a number in the interval $(2017, 4034],$ then there is no way that Chloe can have the greater number.

This means that Laurent has a $\frac{1}{2}$ chance of automatically winning.

Otherwise, Laurent chooses a number in the interval $[0, 2017].$ The probability that she gets a greater number than Chloe is the same as Chloe getting a greater number then Laurent.

This means that Laurent has a $\frac{1}{2}$ chance of getting a greater number (when working with real intervals, the probability of a tie is essentially $0$ due to the infinite size of the intervals).

Laurent's total chance of getting a greater number is $\dfrac{1}{2} \cdot 1 + \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, C is the correct answer.

16.

Hay $10$ caballos, llamados Caballo $1,$ Caballo $2,$ . . . , Caballo $10.$ Reciben sus nombres según cuántos minutos les toma dar una vuelta a una pista de carreras circular: el Caballo $k$ da una vuelta en exactamente $k$ minutos. En el tiempo $0$ todos los caballos están juntos en el punto de partida de la pista. Los caballos empiezan a correr en la misma dirección y siguen corriendo alrededor de la pista circular a sus velocidades constantes.

El menor tiempo $S > 0,$ en minutos, en el que los $10$ caballos vuelven a estar simultáneamente en el punto de partida es $S=2520.$ Sea $T > 0$ el menor tiempo, en minutos, tal que al menos $5$ de los caballos vuelvan a estar en el punto de partida. ¿Cuánto vale la suma de los dígitos de $T$ ?

There are $10$ horses, named Horse $1,$ Horse $2,$ . . . , Horse $10.$ They get their names from how many minutes it takes them to run one lap around a circular race track: Horse $k$ runs one lap in exactly $k$ minutes. At time $0$ all the horses are together at the starting point on the track. The horses start running in the same direction, and they keep running around the circular track at their constant speeds.

The least time $S > 0,$ in minutes, at which all $10$ horses will again simultaneously be at the starting point is $S=2520.$ Let $T > 0$ be the least time, in minutes, such that at least $5$ of the horses are again at the starting point. What is the sum of the digits of $T?$

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:divisibilidad mínimo común múltiplo

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El Caballo $k$ vuelve al punto de partida después de $t$ minutos exactamente cuando $k\mid t$ . Por lo tanto, necesitamos el menor $t$ positivo que sea divisible por al menos cinco de los enteros $1,2,\ldots,10$ .

Revisando hacia arriba, ningún número menor que $12$ tiene cinco divisores de esta lista: por ejemplo, $6$ tiene $1,2,3,6$ , $8$ tiene $1,2,4,8$ , $9$ tiene $1,3,9$ , y $10$ tiene $1,2,5,10$ .

El número $12$ es divisible por $1,2,3,4,$ y $6$ , así que el menor tiempo posible es $T=12$ . La suma de sus dígitos es $1+2=3$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Horse $k$ is back at the starting point after $t$ minutes exactly when $k\mid t$ . Thus we need the least positive $t$ that is divisible by at least five of the integers $1,2,\ldots,10$ .

Checking upward, no number below $12$ has five divisors from this list: for example, $6$ has $1,2,3,6$ , $8$ has $1,2,4,8$ , $9$ has $1,3,9$ , and $10$ has $1,2,5,10$ .

The number $12$ is divisible by $1,2,3,4,$ and $6$ , so the least possible time is $T=12$ . The sum of its digits is $1+2=3$ .

Thus, B is the correct answer.

17.

Los puntos distintos $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ están sobre la circunferencia $x^{2}+y^{2}=25$ y tienen coordenadas enteras. Las distancias $PQ$ y $RS$ son números irracionales.

¿Cuál es el mayor valor posible de la razón $\dfrac{PQ}{RS}$ ?

Distinct points $P,$ $Q,$ $R,$ $S$ lie on the circle $x^{2}+y^{2}=25$ and have integer coordinates. The distances $PQ$ and $RS$ are irrational numbers.

What is the greatest possible value of the ratio $\dfrac{PQ}{RS}?$

$3$

$5$

$3\sqrt{5}$

$7$

$5\sqrt{2}$

Conceptos:punto reticular círculo fórmula de la distancia optimización

Nivel de dificultad: 1790

Solución:

Los puntos de coordenadas enteras sobre $x^2+y^2=25$ son $(\pm5,0)$ , $(0,\pm5)$ , $(\pm3,\pm4)$ y $(\pm4,\pm3)$ .

Para que $PQ$ y $RS$ sean irracionales, la distancia al cuadrado no debe ser un cuadrado perfecto. Para maximizar la razón, haz que $PQ$ sea lo más grande posible y $RS$ lo más pequeño posible bajo esa condición.

La mayor distancia irracional posible es entre $(-4,3)$ y $(3,-4)$ , lo que da $PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}$ . La menor distancia irracional posible es entre $(3,4)$ y $(4,3)$ , lo que da $RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ .

La mayor razón posible es $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7$ . Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The integer-coordinate points on $x^2+y^2=25$ are $(\pm5,0)$ , $(0,\pm5)$ , $(\pm3,\pm4)$ , and $(\pm4,\pm3)$ .

For $PQ$ and $RS$ to be irrational, the squared distance must not be a perfect square. To maximize the ratio, make $PQ$ as large as possible and $RS$ as small as possible under that condition.

The largest possible irrational distance is between $(-4,3)$ and $(3,-4)$ , giving $PQ=\sqrt{7^2+7^2}=\sqrt{98}$ . The smallest possible irrational distance is between $(3,4)$ and $(4,3)$ , giving $RS=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt2$ .

The greatest possible ratio is $\dfrac{\sqrt{98}}{\sqrt2}=7$ . Thus, D is the correct answer.

18.

Amelia tiene una moneda que cae cara con probabilidad $\frac{1}{3},$ y Blaine tiene una moneda que cae cara con probabilidad $\frac{2}{5}.$ Amelia y Blaine lanzan sus monedas alternadamente hasta que alguien obtiene cara; el primero en obtener cara gana. Todos los lanzamientos son independientes. Amelia empieza. La probabilidad de que Amelia gane es $\frac{p}{q},$ donde $p$ y $q$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $q-p$ ?

Amelia has a coin that lands heads with probability $\frac{1}{3},$ and Blaine has a coin that lands on heads with probability $\frac{2}{5}.$ Amelia and Blaine alternately toss their coins until someone gets a head; the first one to get a head wins. All coin tosses are independent. Amelia goes first. The probability that Amelia wins is $\frac{p}{q},$ where $p$ and $q$ are relatively prime positive integers. What is $q-p?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:probabilidad recursiva distribución geométrica

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Sea $x$ la probabilidad de que Amelia gane.

Hay una probabilidad de $\frac{1}{3}$ de que Amelia gane en su primer lanzamiento.

Si ella obtiene cruz, queremos que Blaine pierda, lo cual ocurre con probabilidad $\frac{3}{5}$ .

La probabilidad total de este caso es $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}.$

El juego vuelve entonces a Amelia, quien de nuevo tiene una probabilidad $x$ de ganar.

Por lo tanto, obtenemos la siguiente ecuación. $x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}x$ $\dfrac{3}{5}x = \dfrac{1}{3}$ $x = \dfrac{5}{9}.$

La diferencia entre el denominador y el numerador es $9 - 5 = 4.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be the probability that Amelia wins.

There is a $\frac{1}{3}$ chance Amelia wins off her first flip.

If she gets a tails, we want Blaine to lose, which happens with a $\frac{3}{5}$ chance.

The total probability of this case is $\dfrac{2}{3} \cdot \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}.$

The game then goes back to Amelia, who then again has a $x$ chance of winning.

Therefore, we get the following equation. $x = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{5}x$ $\dfrac{3}{5}x = \dfrac{1}{3}$ $x = \dfrac{5}{9}.$

The difference between the denominator and numerator is $9 - 5 = 4.$

Thus, D is the correct answer.

19.

Alice se niega a sentarse junto a Bob o Carla. Derek se niega a sentarse junto a Eric. ¿De cuántas maneras pueden sentarse los cinco en una fila de $5$ sillas bajo estas condiciones?

Alice refuses to sit next to either Bob or Carla. Derek refuses to sit next to Eric. How many ways are there for the five of them to sit in a row of $5$ chairs under these conditions?

$12$

$16$

$28$

$32$

$40$

Conceptos:arreglos con restricciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 1660

Solución:

Si Alice se sienta en un extremo, entonces la persona a su lado no puede ser Bob ni Carla. Esto significa que debe ser Derek o Eric.

Sin pérdida de generalidad, supongamos que esa persona es Eric. Entonces la persona junto a Eric tiene que ser Bob o Carla. Después de eso no hay más restricciones.

Esto nos da un total de $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$

El primer $2$ es por los dos extremos. El segundo $2$ es por Derek o Eric. El tercer $2$ es por Bob o Carla. El último $2$ es por las $2$ personas restantes.

De lo contrario, supongamos que Alice está en uno de los tres asientos que no son extremos. Entonces las dos personas a su lado tienen que ser Derek y Eric. Bob y Carla quedan obligados a ocupar los últimos $2$ asientos.

Hay $3$ opciones para el asiento de Alice. El lado en el que se sienta Derek tiene $2$ opciones, y luego hay $2$ opciones para dónde van Bob y Carla.

Esto nos da $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ configuraciones.

Por lo tanto, hay un total de $12 + 16 = 28$ disposiciones de asientos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

If Alice sits on an end, then the person next to her cannot be Bob or Carla. This means that it must be Derek or Eric.

WLOG, let the person be Eric. Then the person next to Eric has to be Bob or Carla. After that there are no more restrictions.

This gives us a total of $2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16.$

The first $2$ is for both edges. The second $2$ is for Derek or Eric. The third $2$ is for Bob or Carla. The final $2$ is just for the $2$ people that are remaining.

Otherwise, let Alice be in one of the three non-end seats. Then the two people next to her have to be Derek and Eric. Bob and Carla are forced to be in the last $2$ seats.

There are $3$ choices for Alice's seat. The side on which Derek sits has $2$ options, and then there are $2$ options for where Bob and Carla go.

This gives us $3 \cdot 2 \cdot 2 = 12$ configurations.

Therefore, there are a total of $12 + 16 = 28$ total seating arrangements.

Thus, C is the correct answer.

20.

Sea $S(n)$ la suma de los dígitos del entero positivo $n.$ Por ejemplo, $S(1507) = 13.$ Para cierto entero positivo $n,$ $S(n) = 1274.$

¿Cuál de los siguientes podría ser el valor de $S(n+1)$ ?

Let $S(n)$ equal the sum of the digits of positive integer $n.$ For example, $S(1507) = 13.$ For a particular positive integer $n,$ $S(n) = 1274.$

Which of the following could be the value of $S(n+1)?$

$1$

$3$

$12$

$1239$

$1265$

Conceptos:dígitos aritmética modular

Nivel de dificultad: 1480

Solución:

Recuerda que un número es divisible por $9$ si y solo si la suma de sus dígitos también es divisible por $9.$

Esto significa que mirar $S(n)$ mód $9$ también nos daría $n$ mód $9.$

Probemos esto. Si sumamos $x$ a $n$ sin llevar, es claro que la suma de los dígitos aumenta en $x$ y que $n$ mismo aumenta en $x.$

Esto aumentaría ambos valores módulo $9$ en $x.$

Ahora, si sí lleva, estaríamos restando $10$ a algún dígito y sumando $1$ al siguiente dígito.

Esto mantendría constante el valor módulo $9$ ; pero sí sumamos $x$ ahí, así que el valor módulo $9$ igual aumentó en $x.$

Estos son los únicos dos casos, y en ambos hemos mostrado que el valor módulo $9$ tanto de $n$ como de $S(n)$ aumentó en $x.$

Por lo tanto, tenemos que $n \equiv S(n) \equiv 5 \pmod 9.$

De esto, podemos ver que $\begin{aligned} n + 1 &\equiv 6 \\ &\equiv S(n + 1) \pmod 9. \end{aligned}$

La única opción de respuesta que deja residuo $6$ al dividir entre $9$ es $1239.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Recall that a number is divisible by $9$ if and only if the sum of its digits is also divisible by $9.$

This means that looking at $S(n)$ mod $9$ would also give us $n$ mod $9.$

Let us prove this. If we add $x$ to $n$ without carrying, it is clear that the sum of the digits increases by $x$ and that $n$ itself increases by $x.$

This would increase both their values mod $9$ by $x.$

Now, if it does carry, we would be subtracting $10$ from some digit and adding on $1$ to the next digit.

This would keep the value mod $9$ constant. We did, however, add $x$ in there, so the value mod $9$ still increased by $x.$

These are the only two cases, and in both we have shown that the value mod $9$ for both $n$ and $S(n)$ increased by $x.$

Therefore, we have that $n \equiv S(n) \equiv 5 \pmod 9.$

From this, we can see that $\begin{aligned} n + 1 &\equiv 6 \\ &\equiv S(n + 1) \pmod 9. \end{aligned}$

The only answer choice that leaves a remainder of $6$ when divided by $9$ is $1239.$

Thus, D is the correct answer.

21.

Un cuadrado de lado $x$ está inscrito en un triángulo rectángulo de lados $3,$ $4,$ y $5$ de modo que un vértice del cuadrado coincide con el vértice del ángulo recto del triángulo. Un cuadrado de lado $y$ está inscrito en otro triángulo rectángulo de lados $3,$ $4,$ y $5$ de modo que un lado del cuadrado queda sobre la hipotenusa del triángulo. ¿Cuánto vale $\dfrac{x}{y}$ ?

A square with side length $x$ is inscribed in a right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one vertex of the square coincides with the right-angle vertex of the triangle. A square with side length $y$ is inscribed in another right triangle with sides of length $3,$ $4,$ and $5$ so that one side of the square lies on the hypotenuse of the triangle. What is $\dfrac{x}{y}?$

$\dfrac{12}{13}$

$\dfrac{35}{37}$

$1$

$\dfrac{37}{35}$

$\dfrac{13}{12}$

Conceptos:semejanza triángulo rectángulo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 2060

Solución:

Podemos ver que $\triangle ABC$ y $\triangle FBE$ son semejantes (ángulo-ángulo). Esto nos da $\dfrac{BF}{FE} = \dfrac{AB}{AC}$ $\dfrac{4 - x}{x} = \dfrac{4}{3}.$

Multiplicar en cruz da $12 - 3x = 4x$ $x = \dfrac{12}{7}.$

Aquí tenemos que $\triangle ABC,$ $\triangle RBQ,$ y $\triangle STC$ son semejantes (ángulo-ángulo).

Esto significa que $RB = \dfrac{4}{3}y$ y $CS = \dfrac{3}{4}y.$ Esto nos da la ecuación $\dfrac{4}{3}y + \dfrac{3}{4}y + y = 5$ $\dfrac{37}{12}y = 5.$

Finalmente, obtenemos que $y = \dfrac{60}{37}.$ La razón buscada es $\dfrac{\frac{12}{7}}{\frac{60}{37}} = \dfrac{37}{35}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can see that $\triangle ABC$ and $\triangle FBE$ are similar (angle-angle). This gives us $\dfrac{BF}{FE} = \dfrac{AB}{AC}$ $\dfrac{4 - x}{x} = \dfrac{4}{3}.$

Cross-multiplying yields $12 - 3x = 4x$ $x = \dfrac{12}{7}.$

Here, we have that $\triangle ABC,$ $\triangle RBQ,$ and $\triangle STC$ are similar (angle-angle).

This means that $RB = \dfrac{4}{3}y$ and $CS = \dfrac{3}{4}y.$ This gives us the equation $\dfrac{4}{3}y + \dfrac{3}{4}y + y = 5$ $\dfrac{37}{12}y = 5.$

Finally, we get that $y = \dfrac{60}{37}.$ The desired ratio is $\dfrac{\frac{12}{7}}{\frac{60}{37}} = \dfrac{37}{35}.$

Thus, D is the correct answer.

22.

Los lados $\overline{AB}$ y $\overline{AC}$ del triángulo equilátero $ABC$ son tangentes a una circunferencia en los puntos $B$ y $C$ respectivamente. ¿Qué fracción del área de $\triangle ABC$ queda fuera de la circunferencia?

Sides $\overline{AB}$ and $\overline{AC}$ of equilateral triangle $ABC$ are tangent to a circle at points $B$ and $C$ respectively. What fraction of the area of $\triangle ABC$ lies outside the circle?

$\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{27}-\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}-\dfrac{\pi}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

$\sqrt{3}-\dfrac{2\sqrt{3}\pi}{9}$

$\dfrac{4}{3}-\dfrac{4\sqrt{3}\pi}{27}$

Conceptos:triángulo equilátero sector circular recta tangente

Nivel de dificultad: 2150

Solución:

Sea el radio de la circunferencia $r.$

Para hallar el área del triángulo fuera de la circunferencia, podemos hallar el área del triángulo dentro de la circunferencia y restarla.

Obtenemos que $\angle BOC = 120^{\circ}$ ya que $\angle ABO$ y $\angle ACO$ son ángulos rectos.

Esto significa que el área del sector $OBC$ es $\dfrac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \dfrac{\pi r^2}{3}.$

Ahora, necesitamos hallar el área de $\triangle BOC.$ Usando la fórmula del área de un triángulo con el seno, obtenemos que el área es $\dfrac{1}{2} \sin (120^{\circ}) \cdot r^2 = \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4}.$

Entonces el área del triángulo dentro de la circunferencia es $\dfrac{\pi r^2}{3} - \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}.$

El área de $\triangle ABC$ es $\dfrac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3r^2\sqrt{3}}{4}.$

La fracción buscada es entonces $\begin{align*} \scriptsize 1 - \dfrac{\frac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}} &= 1 - \dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} \\&= 1 - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27} + \dfrac{1}{3} \\&= \dfrac{4}{3} - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27}. \end{align*}$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the radius of the circle be $r.$

To find the area of the triangle outside of the circle, we can find the area of the triangle inside the circle and subtract it.

We get that $\angle BOC = 120^{\circ}$ since $\angle ABO$ and $\angle ACO$ are right angles.

This means that the area of sector $OBC$ is $\dfrac{120}{360} \cdot \pi r^2 = \dfrac{\pi r^2}{3}.$

Now, we need to find the area of $\triangle BOC.$ Using the formula for the area of a triangle with sine, we get the area to be $\dfrac{1}{2} \sin (120^{\circ}) \cdot r^2 = \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4}.$

Then the area of the triangle inside the circle is $\dfrac{\pi r^2}{3} - \dfrac{r^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}.$

The area of $\triangle ABC$ is $\dfrac{(r\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \dfrac{3r^2\sqrt{3}}{4}.$

The desired fraction is then $\begin{align*} \scriptsize 1 - \dfrac{\frac{r^2(4\pi - 3\sqrt{3})}{12}}{\frac{3r^2\sqrt{3}}{4}} &= 1 - \dfrac{4\pi - 3\sqrt{3}}{9\sqrt{3}} \\&= 1 - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27} + \dfrac{1}{3} \\&= \dfrac{4}{3} - \dfrac{4\pi\sqrt{3}}{27}. \end{align*}$

Thus, E is the correct answer.

23.

¿Cuántos triángulos con área positiva tienen todos sus vértices en puntos $(i,j)$ del plano coordenado, donde $i$ y $j$ son enteros entre $1$ y $5,$ inclusive?

How many triangles with positive area have all their vertices at points $(i,j)$ in the coordinate plane, where $i$ and $j$ are integers between $1$ and $5,$ inclusive?

$2128$

$2148$

$2160$

$2200$

$2300$

Conceptos:punto reticular conteo de figuras en diagramas conteo complementario

Nivel de dificultad: 2250

Solución:

Podemos usar conteo complementario para hallar el número total de triángulos y restar los que no sirven.

Hay un total de $5^2 = 25$ puntos, así que hay $\binom{25}{3} = 2300$ triángulos posibles.

Observa que la única forma de que un triángulo no sirva es que los $3$ puntos estén en línea recta.

Hay $5$ filas, $5$ columnas y $2$ diagonales largas. Cada una de estas $12$ rectas tiene $5$ puntos, lo que significa que aportan $12 \cdot \binom{5}{3} = 12 \cdot 10 = 120$ triángulos degenerados.

También están las rectas diagonales con $4$ puntos, como de $(0, 1)$ a $(4, 5).$ Hay $4$ de estas rectas, así que tienen $4 \cdot \binom{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$ triángulos degenerados.

De forma similar, hay $4$ rectas diagonales con $3$ puntos. Estas nos dan $4 \cdot 1 = 4$ triángulos extra que no sirven.

Ahora, tenemos que fijarnos en las rectas con pendientes $\dfrac{1}{2}, 2, -\dfrac{1}{2},$ y $-2.$

Hay $3$ de estas rectas por cada pendiente, y todas tienen $3$ puntos. Por lo tanto, aportan $4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$ triángulos más a descontar.

El número total de triángulos que sirven es entonces $2300 - 120 - 16 - 4 - 12$ $= 2148.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can use complementary counting to find the total number of triangles and subtract out the ones that don't work.

There are a total of $5^2 = 25$ points, so there are $\binom{25}{3} = 2300$ possible triangles.

Note that the only way a triangle doesn't work is if all the $3$ points are in a straight line.

There are $5$ rows, $5$ columns, and $2$ long diagonals. Each of these $12$ lines have $5$ points, which means they contribute $12 \cdot \binom{5}{3} = 12 \cdot 10 = 120$ degenerate triangles.

There are also the diagonal lines with $4$ points, such as $(0, 1)$ to $(4, 5).$ There are $4$ of these lines, so they have $4 \cdot \binom{4}{3} = 4 \cdot 4 = 16$ degenerate triangles.

Similarly, there are $4$ diagonal lines with $3$ points. These give us $4 \cdot 1 = 4$ extra triangles that don't work.

Now, we have to look at the lines with slopes of $\dfrac{1}{2}, 2, -\dfrac{1}{2},$ and $-2.$

There are $3$ such lines for each slope, and they all have $3$ points on them. Therefore, they contribute $4 \cdot 3 \cdot 1 = 12$ more triangles to discount.

The total number of working triangles is then $2300 - 120 - 16 - 4 - 12$ $= 2148.$ Thus, B is the correct answer.

24.

Para ciertos números reales $a,$ $b,$ y $c,$ el polinomio $g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10$ tiene tres raíces distintas, y cada raíz de $g(x)$ también es raíz del polinomio $\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}$ ¿Cuánto vale $f(1)$ ?

For certain real numbers $a,$ $b,$ and $c,$ the polynomial $g(x) = x^3 + ax^2 + x + 10$ has three distinct roots, and each root of $g(x)$ is also a root of the polynomial $\begin{aligned} f(x) &= x^4 + x^3 \\ &\quad {}+ bx^2 + 100x + c. \end{aligned}$ What is $f(1)?$

$-9009$

$-8008$

$-7007$

$-6006$

$-5005$

Conceptos:polinomio factorización

Nivel de dificultad: 2110

Solución:

Sabemos que $f(x)$ tiene $4$ raíces, $3$ de las cuales son las raíces de $g(x).$ Esto significa que podemos expresar $f(x)$ como $f(x) = g(x)(x - r),$ para algún número complejo $r$ que es la otra raíz de $f(x).$

Sustituyendo $g(x),$ obtenemos que $f(x)$ es igual a: $(x^3 + ax^2 + x + 10)(x - r)$ $= x^4 + (a - r)x^3 + (1 - ar)x^2$ $+ (10 - r)x - 10r.$

Comparando coeficientes, obtenemos $10 - r = 100$ $r = -90.$ También sabemos que $a - r = 1$ $a = -89.$

Finalmente, tenemos que $f(1)$ es igual a: $1^4 + (a - r)1^3 + (1 - ar)1^2$ $+ (10 - r)1 - 10r$ $= 1+ (-89 + 90) + (1 - 89 \cdot 90)$ $+ (10 + 90) + 10 \cdot 90$ $= 1 + 1 - 8009 + 100 + 900$ $= -7007.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We know that $f(x)$ has $4$ roots, $3$ of which are the roots of $g(x).$ This means that we can express $f(x)$ as $f(x) = g(x)(x - r),$ for some complex number $r$ that is the other root of $f(x).$

Plugging in $g(x),$ we get $f(x)$ equals: $(x^3 + ax^2 + x + 10)(x - r)$ $= x^4 + (a - r)x^3 + (1 - ar)x^2$ $+ (10 - r)x - 10r.$

Comparing coefficients, we get $10 - r = 100$ $r = -90.$ We also know that $a - r = 1$ $a = -89.$

Finally, we have that $f(1)$ equals: $1^4 + (a - r)1^3 + (1 - ar)1^2$ $+ (10 - r)1 - 10r$ $= 1+ (-89 + 90) + (1 - 89 \cdot 90)$ $+ (10 + 90) + 10 \cdot 90$ $= 1 + 1 - 8009 + 100 + 900$ $= -7007.$

Thus, C is the correct answer.

25.

¿Cuántos enteros entre $100$ y $999,$ inclusive, tienen la propiedad de que alguna permutación de sus dígitos es un múltiplo de $11$ entre $100$ y $999$ ? Por ejemplo, tanto $121$ como $211$ tienen esta propiedad.

How many integers between $100$ and $999,$ inclusive, have the property that some permutation of its digits is a multiple of $11$ between $100$ and $999?$ For example, both $121$ and $211$ have this property.

$226$

$243$

$270$

$469$

$486$

Conceptos:divisibilidad dígitos permutaciones análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

Solución:

Podemos analizar todos los múltiplos de $11$ y ver cuántas permutaciones aporta cada uno. Podemos hacer esto según el número de dígitos distintos del número.

Caso $1:$ todos los dígitos son iguales

Esto no puede ocurrir. Lo vemos por la regla de divisibilidad para $11,$ que dice que la suma del primer y el último dígito menos el dígito del medio debe ser divisible por $11.$

Si todos los dígitos son iguales, entonces la expresión anterior es igual a ese dígito, que no puede ser divisible por $11.$

Caso $2:$ dos de los dígitos son iguales

Podemos dividir esto en los números que tienen el dígito $0$ y los que no.

Hay $8$ múltiplos de $11$ que no tienen el dígito $0:$ $121, 242, 363, 484, 616, 737, 858,$ y $979.$

Cada uno de estos números aporta $3$ permutaciones, así que este escenario tiene $8 \cdot 3 = 24$ números.

Hay $9$ múltiplos de $11$ que tienen el dígito $0:$ $110, 220, 330, 440, 550, 660, 770,$ $880,$ y $990.$

Para estos números, $0$ no puede ser el dígito de las centenas, así que cada uno solo aporta $2$ permutaciones, para un total de $9 \cdot 2 = 18.$

Caso $3:$ todos los dígitos son diferentes

Hay un total de $81$ múltiplos de $11$ entre $100$ y $999.$ El número de estos con todos los dígitos diferentes es $81 - 8 - 9 = 64.$ Como en el caso $2,$ tenemos que considerar de forma especial los números con $0$ como dígito. Hay $8:$ $209, 308, 407, 506, 605, 704, 803,$ y $902.$

Cada uno de estos nos da $2 \cdot 2 = 4$ permutaciones, pero contamos de más por un factor de $2$ ya que intercambiar el primer y el último dígito crea otro número que ya está en el conjunto.

Por lo tanto, estos números aportan un total de $8 \cdot 4 \div 2 = 16$ permutaciones únicas.

Ahora quedan $64 - 8 = 56$ múltiplos de $11$ que debemos contar.

Sabemos que cada uno de estos aporta $3! = 6$ permutaciones. Sin embargo, como antes, observa que intercambiar el primer y el último dígito de cualquier número de este conjunto produce otro número de este conjunto.

Lo vemos usando la regla de divisibilidad para $11.$ Si $ABC$ es divisible por $11,$ entonces tenemos que $A + C - B$ es divisible por $11.$

Esto significa que $C + A - B$ es divisible por $11,$ lo que significa que $CBA$ también es divisible por $11.$

Por lo tanto, estos números aportan $56 \cdot 6 \div 2 = 168$ permutaciones más.

En todos los casos, tenemos un total de $24 + 18 + 16 + 168 = 226$ números.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

We can analyze all the multiples of $11$ and see how many permutations each of them contribute. We can do this by casing on the number of unique digits in the number.

Case $1:$ all the digits are the same

This cannot happen. We can see this by the divisibility rule for $11,$ which says that the sum of the first and last digit minus the middle digit must be divisible by $11.$

If all the digits are the same, then the above expression evaluates to that digit, which cannot be divisible by $11.$

Case $2:$ two of the digits are the same

We can split this up into the numbers that have the digit $0$ and those that don't.

There are $8$ multiples of $11$ that do not have the digit $0:$ $121, 242, 363, 484, 616, 737, 858,$ and $979.$

Each of these numbers contributes $3$ permutations, so this scenario has $8 \cdot 3 = 24$ numbers.

There are $9$ multiples of $11$ that have the digit $0:$ $110, 220, 330, 440, 550, 660, 770,$ $880,$ and $990.$

For these numbers, $0$ cannot be the hundreds digit, so each of them only contributes $2$ permutations, for a total of $9 \cdot 2 = 18.$

Case $3:$ all the digits are different

There are a total of $81$ multiples of $11$ between $100$ and $999.$ The number of these with all different digits is $81 - 8 - 9 = 64.$ As in case $2,$ we have to specially account for the numbers with $0$ as a digit. There are $8:$ $209, 308, 407, 506, 605, 704, 803,$ and $902.$

Each of these gives us $2 \cdot 2 = 4$ permutations, but we overcount by a factor of $2$ since flipping the first and last digits creates another number already in the set.

Therefore, these numbers provide a total of $8 \cdot 4 \div 2 = 16$ unique permutations.

There are now $64 - 8 = 56$ multiples of $11$ that we need to account for.

We know that each of these provides $3! = 6$ permutations. As above, however, note that flipping the first and last digit of any number in this set produces another number in this set.

We can see this by using the divisibility rule for $11.$ If $ABC$ is divisible by $11,$ then we have that $A + C - B$ is divisible by $11.$

This means that $C + A - B$ is divisible by $11,$ which means that $CBA$ is also divisible by $11.$

Therefore, these numbers contribute $56 \cdot 6 \div 2 = 168$ more permutations.

Over all the cases, we have a total of $24 + 18 + 16 + 168 = 226$ numbers.

Thus, A is the correct answer.