Question

Para el consumidor, un único descuento de $n\%$ es más ventajoso que cualquiera de los siguientes descuentos:

(1) Dos descuentos sucesivos de $15\%$ .

(2) Tres descuentos sucesivos de $10\%$ .

(3) Un descuento de $25\%$ seguido de un descuento de $5\%$ .

¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $n$ ?

For the consumer, a single discount of $n\%$ is more advantageous than any of the following discounts:

(1) Two successive $15\%$ discounts.

(2) Three successive $10\%$ discounts.

(3) A $25\%$ discount followed by a $5\%$ discount.

What is the smallest possible positive integer value of $n?$

$\ \ 27$

$\ 28$

$\ 29$

$\ 31$

$\ 33$

Solución:

Necesitamos encontrar el menor $n$ posible tal que $1- \dfrac n{100} < (0.85)^2,$ $1- \dfrac n{100} < (0.9)^3,$ $1- \dfrac n{100} < (0.75)(0.95).$ Nota que $\begin{aligned} 0.75\cdot 0.95 &= 0.85^2-0.1^2 \\ &< 0.85^2,\end{aligned}$ así que no necesitamos preocuparnos por la primera condición, ya que la última condición es verdadera. Entonces, la segunda condición da $1- \dfrac n{100} < 0.729.$ $n > 27.1.$

Además, también podemos ver que $1- \dfrac n{100} < 0.95\cdot 0.75$ $1- \dfrac n{100} < \dfrac 34 \cdot \dfrac{19}{20}$ $1- \dfrac n{100} < \dfrac{57}{80}$ $1- \dfrac n{100} < \dfrac{285}{400}.$

Por lo tanto, $n > \dfrac{115}{4} = 28.75.$ Combinando nuestras condiciones se obtiene un $n$ mínimo de $n=29.$

Así, la respuesta correcta es C.

We need to find the smallest possible $n$ such that $1- \dfrac n{100} < (0.85)^2,$ $1- \dfrac n{100} < (0.9)^3,$ $1- \dfrac n{100} < (0.75)(0.95).$ Note that $\begin{aligned} 0.75\cdot 0.95 &= 0.85^2-0.1^2 \\ &< 0.85^2,\end{aligned}$ so we don't need to worry about the first condintion since the last condition is true. Then, the second condition yields $1- \dfrac n{100} < 0.729.$ $n > 27.1.$

Also, we also can see that $1- \dfrac n{100} < 0.95\cdot 0.75$ $1- \dfrac n{100} < \dfrac 34 \cdot \dfrac{19}{20}$ $1- \dfrac n{100} < \dfrac{57}{80}$ $1- \dfrac n{100} < \dfrac{285}{400}.$

Therefore, $n > \dfrac{115}{4} = 28.75.$ Combining our conditions yields a smallest $n$ of $n=29.$

Thus, the correct answer is C .

2014 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años