Question

¿Para cuál de los siguientes enteros $b$ el número en base $b$ dado por $2021_b - 221_b$ no es divisible entre $3$ ?

For which of the following integers $b$ is the base- $b$ number $2021_b - 221_b$ not divisible by $3?$

$3$

$4$

$6$

$7$

$8$

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Usando la definición de base, podemos expresar esta cantidad en base $10$ : $2b^3 + 2b + 1 - 2b^2 - 2b - 1$ $= 2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1).$

Para que sea divisible entre $3$ , o bien $b$ o bien $b - 1$ debe ser divisible entre $3$ .

La única opción de respuesta que no satisface ninguna de estas condiciones es $8$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can express this expression in base $10$ using the definition of bases: $2b^3 + 2b + 1 - 2b^2 - 2b - 1$ $= 2b^3 - 2b^2 = 2b^2(b - 1).$

For this to be divisible by $3,$ either $b$ or $b - 1$ must be divisible by $3.$

The only answer choice that satisfies neither of these conditions is $8.$

Thus, E is the correct answer.