Question

La razón entre el largo y el ancho de un rectángulo es $4:3.$ Si el rectángulo tiene una diagonal de longitud $d,$ entonces el área se puede expresar como $kd^2$ para cierta constante $k.$ ¿Cuál es $k$ ?

The ratio of the length to the width of a rectangle is $4:3.$ If the rectangle has diagonal of length $d,$ then the area may be expressed as $kd^2$ for some constant $k.$ What is $k?$

$\dfrac{2}{7}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{12}{25}$

$\dfrac{16}{25}$

$\dfrac{3}{4}$

Solución:

Sean las longitudes de los lados $4x$ y $3x$ . Entonces la diagonal tiene longitud $\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{25x^2} = 5x.$

El área del rectángulo es $4x \cdot 3x = 12x^2.$ Entonces obtenemos $kd^2 = 12x^2$ $k = \dfrac{12x^2}{25x^2} = \dfrac{12}{25}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the side lengths be $4x$ and $3x.$ Then the diagonal has length $\sqrt{(4x)^2 + (3x)^2} = \sqrt{25x^2} = 5x.$

The area of the rectangle is $4x \cdot 3x = 12x^2.$ Then we get that $kd^2 = 12x^2$ $k = \dfrac{12x^2}{25x^2} = \dfrac{12}{25}.$

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años