Question

Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2+y^2=10x-6y-34.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2+y^2=10x-6y-34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y completa dos cuadrados.

Move all terms to one side and complete two squares

Pista grande:

Una suma de cuadrados es igual a cero solo cuando ambos cuadrados son cero.

A sum of squares equals zero only when both squares are zero

Solución:

Esto se puede reescribir como $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

Al completar el cuadrado se obtiene $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Como ambos términos cuadrados son no negativos y su suma es $0,$ ambos deben ser $0$ . Por lo tanto, $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

Por lo tanto, $x=5,y=-3.$ Esto hace que la suma sea $x+y=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This can be rewritten as $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

Completing the square yields $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Since both squared terms are nonnegative and their sum is $0,$ both must be $0$ . Thus $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

Therefore, $x=5,y=-3,$ so $x+y=2.$

Thus, the correct answer is B.

2013 AMC 10B Problema 11

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años