Question

Los números reales

x

e

y

satisfacen la ecuación

x^2+y^2=10x-6y-34.

¿Cuánto vale

x+y

?

Real numbers

x

and

y

satisfy the equation

x^2+y^2=10x-6y-34.

What is

x+y?

1

2

3

6

8

Pasa todos los términos a un lado y completa dos cuadrados.

Move all terms to one side and complete two squares

Una suma de cuadrados es igual a cero solo cuando ambos cuadrados son cero.

A sum of squares equals zero only when both squares are zero

Esto se puede reescribir como

x^2-10x+y^2+6y+34=0.

Al completar el cuadrado se obtiene

x^2-10x+25+y^2+6y+9

=(x-5)^2+(y+3)^2

=0.

Como ambos términos cuadrados son no negativos y su suma es

0,

ambos deben ser

0

. Por lo tanto,

(x-5)^2 = (y+3)^2=0.

Por lo tanto,

x=5,y=-3.

Esto hace que la suma sea

x+y=2.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This can be rewritten as

x^2-10x+y^2+6y+34=0.

Completing the square yields

x^2-10x+25+y^2+6y+9

=(x-5)^2+(y+3)^2

=0.

Since both squared terms are nonnegative and their sum is

0,

both must be

0

. Thus

(x-5)^2 = (y+3)^2=0.

Therefore,

x=5,y=-3,

so

x+y=2.

Thus, the correct answer is B.