Question

Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2+y^2=10x-6y-34.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2+y^2=10x-6y-34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Solución:

Esto se puede reescribir como $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

A partir de esto, al completar el cuadrado se obtiene $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Como ambos términos cuadrados deben ser mayores o iguales que $0,$ y su suma es igual a $0,$ ambos valores deben ser $0,$ lo que da $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

Por lo tanto, $x=5,y=-3.$ Esto hace que la suma sea $x+y=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This can be rewritten as $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

From this, completing the square yields $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Since both of these squared terms must be greater than or equal to $0,$ and their sum equals $0,$ both values must both be $0$ yielding $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

As such, $x=5,y=-3.$ This makes the sum $x+y=2.$

Thus, the correct answer is B .

2013 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años