Question

¿Cuál de las siguientes expresiones nunca es un número primo cuando $p$ es un número primo?

Which of the following expressions is never a prime number when $p$ is a prime number?

$p^2 + 16$

$p^2 + 24$

$p^2 + 26$

$p^2 + 46$

$p^2 + 96$

Solución:

Observa $p^2 + 26.$ Cuando $p = 3,$ vale $35 = 5 \cdot 7.$ Para cualquier otro primo, $p$ no es divisible entre $3,$ así que $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ y $p^2 + 26 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3.$ En cualquier caso es múltiplo de $3$ mayor que $3,$ por lo tanto compuesto. Así que nunca es primo. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Look at $p^2 + 26.$ When $p = 3,$ it's $35 = 5 \cdot 7.$ For any other prime, $p$ isn't divisible by $3,$ so $p^2 \equiv 1 \pmod 3$ and $p^2 + 26 \equiv 1 + 2 \equiv 0 \pmod 3.$ Either way it's a multiple of $3$ bigger than $3,$ hence composite. So it's never prime. Thus, C is the correct answer.

2018 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años