Question

La abuela acaba de terminar de hornear una gran bandeja rectangular de brownies. Piensa cortarla en piezas rectangulares del mismo tamaño y forma, con cortes rectos paralelos a los lados de la bandeja. Cada corte debe atravesar por completo la bandeja. La abuela quiere hacer el mismo número de piezas interiores que de piezas a lo largo del perímetro de la bandeja. ¿Cuál es el mayor número posible de brownies que puede producir?

Grandma has just finished baking a large rectangular pan of brownies. She is planning to make rectangular pieces of equal size and shape, with straight cuts parallel to the sides of the pan. Each cut must be made entirely across the pan. Grandma wants to make the same number of interior pieces as pieces along the perimeter of the pan. What is the greatest possible number of brownies she can produce?

$24$

$30$

$48$

$60$

$64$

Solución en video:

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Solución escrita:

Supón que los cortes forman una cuadrícula de piezas $l\times w$ . El número de piezas interiores es $(l-2)(w-2)$ , y el número total de piezas es $lw$ . Como el número de piezas interiores es igual al de piezas del perímetro, las piezas interiores son la mitad del total:

$(l-2)(w-2)=\frac{lw}{2}.$

Desarrollando se obtiene $lw-4l-4w+8=0$ , o bien

$(l-4)(w-4)=8.$

Los pares de factores positivos de $8$ dan $(l,w)=(5,12)$ o $(6,8)$ , salvo el orden. Estos producen $60$ o $48$ piezas, respectivamente, así que el mayor número posible es $60$ .

Por lo tanto, la respuesta es D.

Suppose the cuts make an $l\times w$ grid of pieces. The number of interior pieces is $(l-2)(w-2)$ , and the total number of pieces is $lw$ . Since the number of interior pieces equals the number of perimeter pieces, the interior pieces make up half the total:

$(l-2)(w-2)=\frac{lw}{2}.$

Multiplying out gives $lw-4l-4w+8=0$ , or

$(l-4)(w-4)=8.$

The positive factor pairs of $8$ give $(l,w)=(5,12)$ or $(6,8)$ , up to order. These produce $60$ or $48$ pieces, respectively, so the greatest possible number is $60$ .

Thus, the answer is D .

2021 AMC 10B Spring Problema 11

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 11 en otros años