Question

Se eligen dos números primos diferentes entre $4$ y $18$ . Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

Solución:

Los primos entre $4$ y $18$ son $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ y $17.$ El producto de dos de ellos es impar y la suma es par, así que $xy - (x + y)$ es impar.

Como $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ aumenta al crecer cualquiera de los primos, el resultado va desde $5 \cdot 7 - 12 = 23$ hasta $13 \cdot 17 - 30 = 191.$

La única opción impar en $[23, 191]$ es $119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The primes between $4$ and $18$ are $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ and $17.$ The product of two of them is odd and the sum is even, so $xy - (x + y)$ is odd.

Since $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ increases as either prime increases, the result ranges from $5 \cdot 7 - 12 = 23$ up to $13 \cdot 17 - 30 = 191.$

The only odd option in $[23, 191]$ is $119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).$

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 10 Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años