Question

Se eligen dos números primos diferentes entre

4

y

18

. Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between

4

and

18

are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

21

60

119

180

231

Respuesta: C

Conceptos:primo paridad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Los primos entre

4

y

18

son

5,

7,

11,

13,

17,

todos impares.

The primes between

4

and

18

are

5,

7,

11,

13,

17,

all odd

Pista grande:

Observa que

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1,

que es impar y aumenta con

x

y

y

.

Note that

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1,

which is odd and increases with

x

and

y

Solución:

Los primos entre

4

y

18

son

5,

7,

11,

13,

y

17.

El producto de dos de ellos es impar y la suma es par, así que

xy - (x + y)

es impar.

Como

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1

aumenta al crecer cualquiera de los primos, el resultado va desde

5 \cdot 7 - 12 = 23

hasta

13 \cdot 17 - 30 = 191.

La única opción impar en

[23, 191]

es

119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The primes between

4

and

18

are

5,

7,

11,

13,

and

17.

The product of two of them is odd and the sum is even, so

xy - (x + y)

is odd.

Since

xy - (x + y)

= (x - 1)(y - 1) - 1

increases as either prime increases, the result ranges from

5 \cdot 7 - 12 = 23

up to

13 \cdot 17 - 30 = 191.

The only odd option in

[23, 191]

is

119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).

Thus, the correct answer is C.

2000 AMC 10 Problema 11

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 11 en otros años