Question

Los lados de un triángulo de área positiva tienen longitudes $4,$ $6,$ y $x.$ Los lados de un segundo triángulo de área positiva tienen longitudes $4,$ $6,$ y $y.$ ¿Cuál es el menor número positivo que no es un valor posible de $|x - y|$ ?

The sides of a triangle with positive area have lengths $4,$ $6,$ and $x.$ The sides of a second triangle with positive area have lengths $4,$ $6,$ and $y.$ What is the smallest positive number that is not a possible value of $|x - y|?$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Solución:

Por la desigualdad triangular, cada uno de $x$ y $y$ puede ser cualquier número estrictamente entre $6 - 4 = 2$ y $6 + 4 = 10.$

Entonces $|x - y|$ puede tomar cualquier valor con $0 \le |x - y| \lt 8.$

El menor número positivo que no se puede alcanzar es $10 - 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the triangle inequality, each of $x$ and $y$ can be any number strictly between $6 - 4 = 2$ and $6 + 4 = 10.$

Then $|x - y|$ can take any value with $0 \le |x - y| \lt 8.$

The smallest positive number not attainable is $10 - 2 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

2000 AMC 10 Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años