Question

Sea $f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8,$ y sea $g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12.$ ¿Cuál es la suma de todos los valores enteros de $n$ para los cuales $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ también es un entero?

Let $f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8,$ and let $g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12.$ What is the sum of all integer values of $n$ for which $\dfrac{f(n)}{g(n)}$ is also an integer?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Solución:

Factoriza ambas cúbicas: $f(n) = (n + 1)(n - 2)(n - 4)$ y $g(n) = (n + 1)(n - 3)(n - 4).$ Lejos de $n \in \{-1, 3, 4\},$ donde $g$ se anula o el cociente es $\tfrac{0}{0},$ los factores comunes se cancelan y $\dfrac{f(n)}{g(n)} = \dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3}.$ Eso es un entero solo cuando $n - 3 = \pm 1,$ así que $n = 2$ o $n = 4.$ Pero $n = 4$ anula $g,$ así que solo $n = 2$ sobrevive, y la suma es $2.$ Por lo tanto, la respuesta es A.

Factor both cubics: $f(n) = (n + 1)(n - 2)(n - 4)$ and $g(n) = (n + 1)(n - 3)(n - 4).$ Away from $n \in \{-1, 3, 4\},$ where $g$ vanishes or the ratio is $\tfrac{0}{0},$ the common factors cancel and $\dfrac{f(n)}{g(n)} = \dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3}.$ That's an integer only when $n - 3 = \pm 1,$ so $n = 2$ or $n = 4.$ But $n = 4$ kills $g,$ so only $n = 2$ survives, and the sum is $2.$ Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años