Question

Sea

f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8,

y sea

g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12.

¿Cuál es la suma de todos los valores enteros de

n

para los cuales

\dfrac{f(n)}{g(n)}

también es un entero?

Let

f(n) = n^3 - 5n^2 + 2n + 8,

and let

g(n) = n^3 - 6n^2 + 5n + 12.

What is the sum of all integer values of

n

for which

\dfrac{f(n)}{g(n)}

is also an integer?

2

3

4

5

6

Respuesta: A

Conceptos:polinomio factorización divisibilidad

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Ambas cúbicas tienen

n = -1

como raíz; factoriza cada una y cancela los factores comunes.

Both cubics have

n = -1

as a root; factor each and cancel common factors

Pista grande:

El cociente se simplifica a

\dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3};

es un entero solo cuando

n - 3

divide a

1

.

The ratio simplifies to

\dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3};

it is an integer only when

n - 3

divides

1

Solución:

Factoriza ambas cúbicas:

f(n) = (n + 1)(n - 2)(n - 4)

y

g(n) = (n + 1)(n - 3)(n - 4).

Lejos de

n \in \{-1, 3, 4\},

donde

g

se anula o el cociente es

\tfrac{0}{0},

los factores comunes se cancelan y

\dfrac{f(n)}{g(n)} = \dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3}.

Eso es un entero solo cuando

n - 3 = \pm 1,

así que

n = 2

o

n = 4.

Pero

n = 4

anula

g,

así que solo

n = 2

sobrevive, y la suma es

2.

Por lo tanto, la respuesta es A.

Factor both cubics:

f(n) = (n + 1)(n - 2)(n - 4)

and

g(n) = (n + 1)(n - 3)(n - 4).

Away from

n \in \{-1, 3, 4\},

where

g

vanishes or the ratio is

\tfrac{0}{0},

the common factors cancel and

\dfrac{f(n)}{g(n)} = \dfrac{n - 2}{n - 3} = 1 + \dfrac{1}{n - 3}.

That’s an integer only when

n - 3 = \pm 1,

so

n = 2

or

n = 4.

But

n = 4

kills

g,

so only

n = 2

survives, and the sum is

2.

Therefore, the answer is A.

2025 AMC 10B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1510

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años