Question

Las rectas con ecuaciones $ax-2y=c$ y $2x+by=-c$ son perpendiculares y se cortan en $(1, -5).$ ¿Cuánto vale $c$ ?

The lines with equations $ax-2y=c$ and $2x+by=-c$ are perpendicular and intersect at $(1, -5).$ What is $c?$

$-13$

$-8$

$2$

$8$

$13$

Solución:

La primera ecuación se puede reescribir como $y = \frac a2x - \frac c2.$ De manera similar, la segunda ecuación se puede reescribir como $y = -\frac 2bx - \frac cb.$ Como son perpendiculares, sabemos que el producto de las pendientes es $-1.$

Por lo tanto, $\frac a2 \cdot \left(-\frac 2b\right) = -1.$ Esto significa que $a=b,$ lo que implica que $2x+ay=-c.$ Podemos sumar esto con la primera ecuación para obtener $2x+ay+ax-2y=0.$ Sustituir $(x,y)=(1,-5)$ da $2\cdot 1+a-5a-2\cdot (-5)=0.$ Esto produce $2\cdot (6)=4a$ $a=3.$

Por lo tanto, $\begin{align*}c&=3x-2y\\&=3\cdot 1-2\cdot (-5)\\&=13.\end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The first equation can be rewritten as $y = \frac a2x - \frac c2.$ Similarly, the second equation can be rewritten as $y = -\frac 2bx - \frac cb.$ Since they are perpendicular, we know the slopes multiply to $-1.$

Therefore, $\frac a2 \cdot \left(-\frac 2b\right) = -1.$ This means $a=b,$ which implies that $2x+ay=-c.$ We can add this with the first equation to get $2x+ay+ax-2y=0.$ Plugging in $(x,y)=(1,-5)$ yields $2\cdot 1+a-5a-2\cdot (-5)=0.$ This makes $2\cdot (6)=4a$ $a=3.$

Therefore, $\begin{align*}c&=3x-2y\\&=3\cdot 1-2\cdot (-5)\\&=13.\end{align*}$

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años