Question

Las rectas con ecuaciones

ax-2y=c

y

2x+by=-c

son perpendiculares y se cortan en

(1, -5).

¿Cuánto vale

c

?

The lines with equations

ax-2y=c

and

2x+by=-c

are perpendicular and intersect at

(1, -5).

What is

c?

-13

-8

2

8

13

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica pendiente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Reescribe ambas rectas en la forma pendiente-ordenada.

Rewrite both lines in slope-intercept form

Pista grande:

Las pendientes perpendiculares y el punto

(1,-5)

determinan los parámetros.

Perpendicular slopes and the point

(1,-5)

determine the parameters

Solución:

La primera ecuación se puede reescribir como

y=\dfrac a2x-\dfrac c2,

y la segunda como

y=-\dfrac2b x-\dfrac cb.

Como las rectas son perpendiculares, sus pendientes tienen producto

-1,

así que

a=b.

Al sustituir

(x,y)=(1,-5)

en las dos ecuaciones originales se obtiene

a+10=c

y

2-5a=-c.

Al sumar estas ecuaciones resulta

12-4a=0,

así que

a=3

y

c=13.

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The first equation can be rewritten as

y=\dfrac a2x-\dfrac c2,

and the second as

y=-\dfrac2b x-\dfrac cb.

Because the lines are perpendicular, their slopes multiply to

-1,

so

a=b.

Substituting

(x,y)=(1,-5)

into the two original equations gives

a+10=c

and

2-5a=-c.

Adding these equations yields

12-4a=0,

so

a=3

and

c=13.

Thus, the correct answer is E .

2017 AMC 10B Problema 10

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años