Question

Mary divide un círculo en $12$ sectores. Los ángulos centrales de estos sectores, medidos en grados, son todos enteros y forman una progresión aritmética. ¿Cuál es la medida en grados del menor ángulo posible de un sector?

Mary divides a circle into $12$ sectors. The central angles of these sectors, measured in degrees, are all integers and they form an arithmetic sequence. What is the degree measure of the smallest possible sector angle?

$5$

$6$

$8$

$10$

$12$

Solución:

Sea $a$ el menor ángulo posible de un sector y $d$ la diferencia de la progresión aritmética.

Entonces tenemos que $\dfrac{12}{2}(a + a + 11d) = 12a + 66d$ es la suma de la progresión aritmética.

Tenemos que esto suma $360,$ así que $12a + 66d = 360$ $2a + 11d = 60.$

Queremos minimizar $a,$ así que maximizamos $d.$ Si $d = 5,$ entonces $a$ no es entero, por lo que $d = 4$ y $a = 8.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $a$ be the smallest possible sector angle and $d$ be the difference in the arithmetic sequence.

Then we have that $\dfrac{12}{2}(a + a + 11d) = 12a + 66d$ is the sum of the arithmetic sequence.

We have that this sums to $360,$ so $12a + 66d = 360$ $2a + 11d = 60.$

We want to minimize $a,$ so we maximize $d.$ If $d = 5,$ then $a$ is not an integer, so $d = 4$ and $a = 8.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años