Question

En el

\triangle ABC,

tenemos

AC = BC = 7

y

AB = 2.

Supón que

D

es un punto en la recta

AB

tal que

B

está entre

A

y

D

y

CD = 8.

¿Cuánto vale

BD

?

In

\triangle ABC,

we have

AC = BC = 7

and

AB = 2.

Suppose that

D

is a point on line

AB

such that

B

lies between

A

and

D

and

CD = 8.

What is

BD?

3

2\sqrt{3}

4

5

4\sqrt{2}

Respuesta: A

Conceptos:triángulo isósceles altura Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Traza la altura desde

C

a la recta

AB;

su pie es el punto medio de

AB

.

Drop the altitude from

C

to line

AB;

its foot is the midpoint of

AB

Pista grande:

La altura tiene longitud

\sqrt{7^2-1^2},

compartida por los triángulos rectángulos

CHB

y

CHD

.

The altitude has length

\sqrt{7^2-1^2},

shared by right triangles

CHB

and

CHD

Solución:

Sea

H

el pie de la altura desde

C

a la recta

AB.

Como

AC = BC,

H

es el punto medio de

AB,

así que

BH = 1

y

CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.

Al aplicar el teorema de Pitágoras en el

\triangle CHD,

donde

HD = BH + BD = 1 + BD,

se obtiene

8^2 = 48 + (1 + BD)^2,

así que

(1 + BD)^2 = 16.

Entonces

1 + BD = 4,

así que

BD = 3.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let

H

be the foot of the altitude from

C

to line

AB.

Since

AC = BC,

H

is the midpoint of

AB,

so

BH = 1

and

CH^2 = 7^2 - 1^2 = 48.

Applying the Pythagorean theorem in

\triangle CHD,

where

HD = BH + BD = 1 + BD,

gives

8^2 = 48 + (1 + BD)^2,

so

(1 + BD)^2 = 16.

Then

1 + BD = 4,

so

BD = 3.

Thus, A is the correct answer.

2005 AMC 10B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años