Question

¿Cuántos reordenamientos de $abcd$ hay en los que dos letras adyacentes no sean también letras adyacentes en el alfabeto? Por ejemplo, ninguno de esos reordenamientos podría incluir $ab$ ni $ba$ .

How many rearrangements of $abcd$ are there in which no two adjacent letters are also adjacent letters in the alphabet? For example, no such rearrangements could include either $ab$ or $ba.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Solución:

Los pares adyacentes prohibidos son $ab,ba,bc,cb,cd,dc$ .

Si un ordenamiento empieza con $a$ , su segunda letra debe ser $c$ o $d$ .

Después de $ac$ , cualquier orden de las letras restantes contiene $cb$ o $cd$ . Después de $ad$ , las letras restantes $b$ y $c$ deben quedar adyacentes. Por lo tanto, ningún ordenamiento válido empieza con $a$ .

Por simetría, ningún ordenamiento válido empieza con $d$ .

Si un ordenamiento empieza con $b$ , debe continuar con $d$ , luego $a$ , luego $c$ , dando $bdac$ .

De manera similar, empezar con $c$ da únicamente $cadb$ . Por lo tanto, hay $2$ reordenamientos válidos.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The forbidden adjacent pairs are $ab,ba,bc,cb,cd,dc.$

If an arrangement starts with $a,$ its second letter must be $c$ or $d.$

After $ac,$ either remaining order contains $cb$ or $cd.$ After $ad,$ the remaining $b$ and $c$ must be adjacent. Thus no valid arrangement starts with $a.$

By symmetry, no valid arrangement starts with $d.$

If an arrangement starts with $b,$ it must continue with $d,$ then $a,$ then $c,$ giving $bdac.$

Similarly, starting with $c$ gives only $cadb.$ Therefore there are $2$ valid rearrangements.

Thus, C is the correct answer.

2015 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años