Question

La mayoría de los $30$ estudiantes de la clase de la Sra. Demeanor compraron lápices en la librería escolar. Cada uno de estos estudiantes compró el mismo número de lápices, y este número era mayor que $1.$ El costo de un lápiz en centavos era mayor que el número de lápices que compró cada estudiante, y el costo total de todos los lápices fue $\$17.71.$ ¿Cuál era el costo de un lápiz en centavos?

A majority of the $30$ students in Ms. Demeanor's class bought pencils at the school bookstore. Each of these students bought the same number of pencils, and this number was greater than $1.$ The cost of a pencil in cents was greater than the number of pencils each student bought, and the total cost of all the pencils was $\$17.71.$ What was the cost of a pencil in cents?

$7$

$11$

$17$

$23$

$77$

Solución:

Sea $p$ el número de lápices que compró cada estudiante, $s$ el número de estudiantes que compraron lápices y $c$ el costo de un lápiz.

Entonces $psc = 1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$

También tenemos las siguientes restricciones: $30 \geq s \gt 15, p \gt 1, c \gt p.$

De la factorización en primos anterior, tenemos que $s = 23$ es el único valor que satisface las condiciones.

Finalmente, obtenemos que $p = 7$ y $c = 11$ son los únicos valores restantes que satisfacen las demás condiciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $p$ be the number of pencils that each student bought, $s$ be the number of students that bought pencils, and $c$ be the cost of a pencil.

We have that $psc = 1771 = 7 \cdot 11 \cdot 23.$

We also have the following restrictions: $30 \geq s \gt 15, p \gt 1, c \gt p.$

From the above prime factorization, we have that $s = 23$ is the only value that satisfies the conditions.

Finally, we get that $p = 7$ and $c = 11$ are the only remaining values that satisfy the other conditions.

Thus, B is the correct answer.

2011 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años