Question

Estás jugando un juego. Un rectángulo $2 \times 1$ cubre dos casillas adyacentes (orientado ya sea horizontal o verticalmente) de una cuadrícula de casillas $3 \times 3$ , pero no te dicen cuáles dos casillas están cubiertas. Tu objetivo es encontrar al menos una casilla que esté cubierta por el rectángulo. Un "turno" consiste en que adivinas una casilla, tras lo cual te dicen si esa casilla está cubierta por el rectángulo oculto. ¿Cuál es el número mínimo de turnos que necesitas para garantizar que al menos una de tus casillas adivinadas esté cubierta por el rectángulo?

You are playing a game. A $2 \times 1$ rectangle covers two adjacent squares (oriented either horizontally or vertically) of a $3 \times 3$ grid of squares, but you are not told which two squares are covered. Your goal is to find at least one square that is covered by the rectangle. A "turn" consists of you guessing a square, after which you are told whether that square is covered by the hidden rectangle. What is the minimum number of turns you need to ensure that at least one of your guessed squares is covered by the rectangle?

$3$

$5$

$4$

$8$

$6$

Solución:

Supón que toda adivinanza falla. Entonces el dominó queda por completo sobre casillas no adivinadas, así que esas casillas incluyen dos celdas adyacentes. Para forzar un acierto, necesitamos que las casillas no adivinadas no tengan dos adyacentes. Colorea la cuadrícula como un tablero de ajedrez. El mayor conjunto de casillas mutuamente no adyacentes tiene $5$ celdas, las de un solo color: las cuatro esquinas y el centro. Así que debemos adivinar al menos $9 - 5 = 4$ casillas. Y $4$ bastan: adivina los cuatro puntos medios de los lados, ya que todo dominó cubre una casilla de cada color, y por tanto un punto medio de lado. Por lo tanto, la respuesta es C.

Suppose every guess misses. Then the domino lies entirely on unguessed squares, so those squares include two adjacent cells. To force a hit, we need the unguessed squares to have no two adjacent. Color the grid like a checkerboard. The biggest set of pairwise non-adjacent squares has $5$ cells, one color's worth: the four corners and the center. So we must guess at least $9 - 5 = 4$ squares. And $4$ is enough: guess the four edge midpoints, since every domino covers one square of each color, hence one edge midpoint. Therefore, the answer is C.

2023 AMC 10B Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años