Question

Siete cubos, cuyos volúmenes son $1$ , $8$ , $27$ , $64$ , $125$ , $216$ y $343$ unidades cúbicas, se apilan verticalmente para formar una torre en la que los volúmenes de los cubos decrecen de abajo hacia arriba. Excepto por el cubo inferior, la cara inferior de cada cubo descansa completamente sobre la cara superior del cubo que está debajo. ¿Cuál es el área superficial total de la torre, incluyendo la base, en unidades cuadradas?

Seven cubes, whose volumes are $1,$ $8,$ $27,$ $64,$ $125,$ $216,$ and $343$ cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?

$644$

$658$

$664$

$720$

$749$

Solución en video:

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Solución escrita:

Las longitudes de los lados de los cubos son $1,2,3,4,5,6,7$ , apilados del más grande abajo al más pequeño arriba. La suma de las áreas superficiales de los cubos por separado es $6(1^2+2^2+\cdots+7^2)$ $=6\cdot140=840$ .

Cada contacto oculta dos caras cuadradas, con áreas $1^2,2^2,\ldots,6^2$ . Al restar estas caras ocultas se obtiene $840$ $-2(1^2+2^2+\cdots+6^2)$ $=840-182=658$ . Así, B es la respuesta correcta.

The cube side lengths are $1,2,3,4,5,6,7$ , stacked from largest on bottom to smallest on top. The sum of the surface areas of the separate cubes is $6(1^2+2^2+\cdots+7^2)$ $=6\cdot140=840$ .

Each contact hides two square faces, with areas $1^2,2^2,\ldots,6^2$ . Subtracting these hidden faces gives $840$ $-2(1^2+2^2+\cdots+6^2)$ $=840-182=658$ . Thus, B is the correct answer.

2020 AMC 10A Problema 10

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 10 en otros años