Soluciones del 2020 AMC 10A — Escritas y en video | LIVE by Po-Shen Loh

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Soluciones del 2020 AMC 10A

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Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

1.

¿Qué valor de $x$ satisface $x- \frac{3}{4} = \frac{5}{12} - \frac{1}{3}$ ?

What value of $x$ satisfies $x- \frac{3}{4} = \frac{5}{12} - \frac{1}{3}?$

$\displaystyle -\frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{7}{36}$

$\displaystyle \frac{7}{12}$

$\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{5}{6}$

Conceptos:fracción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 560

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Solución escrita:

El lado derecho es $\dfrac{5}{12}-\dfrac13=\dfrac{5}{12}-\dfrac4{12}=\dfrac1{12}$ . Por lo tanto $x=\dfrac34+\dfrac1{12}=\dfrac9{12}+\dfrac1{12}=\dfrac56$ . Así, E es la respuesta correcta.

The right side is $\dfrac{5}{12}-\dfrac13=\dfrac{5}{12}-\dfrac4{12}=\dfrac1{12}$ . Thus $x=\dfrac34+\dfrac1{12}=\dfrac9{12}+\dfrac1{12}=\dfrac56$ . Thus, E is the correct answer.

2.

Los números $3, 5, 7, a$ y $b$ tienen un promedio (media aritmética) de $15$ . ¿Cuál es el promedio de $a$ y $b$ ?

The numbers $3, 5, 7, a,$ and $b$ have an average (arithmetic mean) of $15.$ What is the average of $a$ and $b?$

$0$

$15$

$30$

$45$

$60$

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 560

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Solución escrita:

Los cinco números tienen suma total $5\cdot15=75$ . Como $3+5+7=15$ , tenemos $a+b=75-15=60$ , así que el promedio de $a$ y $b$ es $30$ . Así, C es la respuesta correcta.

The five numbers have total sum $5\cdot15=75$ . Since $3+5+7=15$ , we have $a+b=75-15=60$ , so the average of $a$ and $b$ is $30$ . Thus, C is the correct answer.

3.

Suponiendo que $a\neq3$ , $b\neq4$ y $c\neq5$ , ¿cuál es el valor, en su forma más simple, de la siguiente expresión? $\frac{a-3}{5-c} \cdot \frac{b-4}{3-a} \cdot \frac{c-5}{4-b}$

Assuming $a\neq3,$ $b\neq4,$ and $c\neq5,$ what is the value in simplest form of the following expression? $\frac{a-3}{5-c} \cdot \frac{b-4}{3-a} \cdot \frac{c-5}{4-b}$

$-1$

$1$

$\displaystyle \frac{abc}{60}$

$\displaystyle \frac{1}{abc} - \frac{1}{60}$

$\displaystyle \frac{1}{60} - \frac{1}{abc}$

Conceptos:manipulación algebraica fracción

Nivel de dificultad: 770

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Solución escrita:

Reescribe los factores del denominador como $5-c=-(c-5)$ , $3-a=-(a-3)$ y $4-b=-(b-4)$ . La expresión se convierte en $\dfrac{(a-3)(b-4)(c-5)}{-(a-3)(b-4)(c-5)}=-1$ . Así, A es la respuesta correcta.

Rewrite the denominator factors as $5-c=-(c-5)$ , $3-a=-(a-3)$ , and $4-b=-(b-4)$ . The expression becomes $\dfrac{(a-3)(b-4)(c-5)}{-(a-3)(b-4)(c-5)}=-1$ . Thus, A is the correct answer.

4.

Una conductora viaja durante $2$ horas a $60$ millas por hora, y durante ese tiempo su auto rinde $30$ millas por galón de gasolina. Le pagan $\$0.50$ por milla, y su único gasto es la gasolina a $\$2.00$ por galón. ¿Cuál es su tasa neta de pago, en dólares por hora, después de este gasto?

A driver travels for $2$ hours at $60$ miles per hour, during which her car gets $30$ miles per gallon of gasoline. She is paid $\$0.50$ per mile, and her only expense is gasoline at $\$2.00$ per gallon. What is her net rate of pay, in dollars per hour, after this expense?

$20$

$22$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:tasa dinero

Nivel de dificultad: 900

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Solución escrita:

La conductora recorre $2\cdot60=120$ millas, así que le pagan $120\cdot \$0.50=\$60$ . El viaje usa $120/30=4$ galones de gasolina, con un costo de $4\cdot\$2=\$8$ . Su pago neto es $60-8=52$ dólares en $2$ horas, o sea $26$ dólares por hora. Así, E es la respuesta correcta.

The driver travels $2\cdot60=120$ miles, so she is paid $120\cdot \$0.50=\$60$ . The trip uses $120/30=4$ gallons of gasoline, costing $4\cdot\$2=\$8$ . Her net pay is $60-8=52$ dollars over $2$ hours, or $26$ dollars per hour. Thus, E is the correct answer.

5.

¿Cuál es la suma de todos los números reales $x$ para los cuales $|x^2-12x+34|=2$ ?

What is the sum of all real numbers $x$ for which $|x^2-12x+34|=2?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$25$

Conceptos:valor absoluto cuadrática

Nivel de dificultad: 1020

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Solución escrita:

La ecuación significa $x^2-12x+34=2$ o $x^2-12x+34=-2$ . La primera da $x^2-12x+32=0$ , con raíces $4$ y $8$ ; la segunda da $(x-6)^2=0$ , con raíz $6$ . La suma de todas las soluciones reales es $4+8+6=18$ . Así, C es la respuesta correcta.

The equation means $x^2-12x+34=2$ or $x^2-12x+34=-2$ . The first gives $x^2-12x+32=0$ , with roots $4$ and $8$ . The second gives $(x-6)^2=0$ , with root $6$ . The sum of all real solutions is $4+8+6=18$ . Thus, C is the correct answer.

6.

¿Cuántos enteros positivos de $4$ dígitos, es decir, enteros entre $1000$ y $9999$ inclusive, que tienen solo dígitos pares son divisibles entre $5$ ?

How many $4$ -digit positive integers (that is, integers between $1000$ and $9999,$ inclusive) having only even digits are divisible by $5?$

$80$

$100$

$125$

$200$

$500$

Conceptos:principio de multiplicación dígitos divisibilidad

Nivel de dificultad: 980

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Solución escrita:

El último dígito debe ser $0$ , porque el número es divisible entre $5$ y todos los dígitos son pares. El dígito de las millares puede ser $2,4,6$ u $8$ , y cada uno de los dígitos de las centenas y las decenas tiene $5$ opciones. Así que hay $4\cdot5\cdot5=100$ de esos enteros. Así, B es la respuesta correcta.

The last digit must be $0$ , because the number is divisible by $5$ and all digits are even. The thousands digit can be $2,4,6,$ or $8$ , and each of the hundreds and tens digits has $5$ choices. Thus there are $4\cdot5\cdot5=100$ such integers. Thus, B is the correct answer.

7.

Los $25$ enteros desde $-10$ hasta $14$ inclusive se pueden acomodar formando un cuadrado de $5$ por $5$ en el que la suma de los números de cada fila, la suma de los números de cada columna y la suma de los números a lo largo de cada una de las diagonales principales son todas iguales. ¿Cuál es el valor de esta suma común?

The $25$ integers from $-10$ to $14,$ inclusive, can be arranged to form a $5$ -by- $5$ square in which the sum of the numbers in each row, the sum of the numbers in each column, and the sum of the numbers along each of the main diagonals are all the same. What is the value of this common sum?

$2$

$5$

$10$

$25$

$50$

Conceptos:cuadrado mágico sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 960

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Solución escrita:

La suma de los enteros desde $-10$ hasta $14$ es $25\cdot\dfrac{-10+14}{2}=50$ . Si cada fila tiene suma común $S$ , entonces las cinco sumas de las filas suman $50$ , así que $5S=50$ y $S=10$ . Así, C es la respuesta correcta.

The sum of the integers from $-10$ to $14$ is $25\cdot\dfrac{-10+14}{2}=50$ . If every row has common sum $S$ , then the five row sums add to $50$ , so $5S=50$ and $S=10$ . Thus, C is the correct answer.

8.

¿Cuál es el valor de $\begin{align*} &1+2+3-4 +5+6+7-8\\ &+\cdots+197+198+199-200 \end{align*}$ ?

What is the value of $\begin{align*} &1+2+3-4 +5+6+7-8\\ &+\cdots+197+198+199-200? \end{align*}$

$9,800$

$9,900$

$10,000$

$10,100$

$10,200$

Conceptos:sumatoria emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 1060

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Solución escrita:

Agrupa en bloques de cuatro: $(1+2+3-4)$ $+(5+6+7-8)$ $+\cdots$ $+(197+198+199-200)$ . El bloque $j$ suma $(4j-3)+(4j-2)$ $+(4j-1)-4j=8j-6$ .

Hay $50$ bloques, así que la suma es $\sum_{j=1}^{50}(8j-6)=8\cdot\dfrac{50\cdot51}{2}$ $-6\cdot50=9900$ . Así, B es la respuesta correcta.

Group the terms in blocks of four: $(1+2+3-4)$ $+(5+6+7-8)$ $+\cdots$ $+(197+198+199-200)$ . The $j$ th block is $(4j-3)+(4j-2)$ $+(4j-1)-4j=8j-6$ .

There are $50$ blocks, so the sum is $\sum_{j=1}^{50}(8j-6)=8\cdot\dfrac{50\cdot51}{2}$ $-6\cdot50=9900$ . Thus, B is the correct answer.

9.

Una sola sección de banca en un evento escolar puede acomodar $7$ adultos u $11$ niños. Cuando se conectan $N$ secciones de banca de extremo a extremo, un número igual de adultos y niños sentados juntos ocupará todo el espacio de las bancas. ¿Cuál es el menor valor entero positivo posible de $N$ ?

A single bench section at a school event can hold either $7$ adults or $11$ children. When $N$ bench sections are connected end to end, an equal number of adults and children seated together will occupy all the bench space. What is the least possible positive integer value of $N?$

$9$

$18$

$27$

$36$

$77$

Conceptos:mínimo común múltiplo divisibilidad

Nivel de dificultad: 1070

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Solución escrita:

Si el número igual de adultos y niños es $P$ , entonces los adultos usan $P/7$ secciones de banca y los niños usan $P/11$ secciones de banca. Así, $N=P\left(\dfrac17+\dfrac1{11}\right)=\dfrac{18P}{77}$ .

El menor entero positivo ocurre cuando $P=77$ , lo que da $N=18$ . Así, B es la respuesta correcta.

If the equal number of adults and children is $P$ , then the adults use $P/7$ bench sections and the children use $P/11$ bench sections. Thus $N=P\left(\dfrac17+\dfrac1{11}\right)=\dfrac{18P}{77}$ .

The least positive integer occurs when $P=77$ , giving $N=18$ . Thus, B is the correct answer.

10.

Siete cubos, cuyos volúmenes son $1$ , $8$ , $27$ , $64$ , $125$ , $216$ y $343$ unidades cúbicas, se apilan verticalmente para formar una torre en la que los volúmenes de los cubos decrecen de abajo hacia arriba. Excepto por el cubo inferior, la cara inferior de cada cubo descansa completamente sobre la cara superior del cubo que está debajo. ¿Cuál es el área superficial total de la torre, incluyendo la base, en unidades cuadradas?

Seven cubes, whose volumes are $1,$ $8,$ $27,$ $64,$ $125,$ $216,$ and $343$ cubic units, are stacked vertically to form a tower in which the volumes of the cubes decrease from bottom to top. Except for the bottom cube, the bottom face of each cube lies completely on top of the cube below it. What is the total surface area of the tower (including the bottom) in square units?

$644$

$658$

$664$

$720$

$749$

Conceptos:área de superficie geometría del cubo suma de los primeros n cuadrados

Nivel de dificultad: 1420

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Solución escrita:

Las longitudes de los lados de los cubos son $1,2,3,4,5,6,7$ , apilados del más grande abajo al más pequeño arriba. La suma de las áreas superficiales de los cubos por separado es $6(1^2+2^2+\cdots+7^2)$ $=6\cdot140=840$ .

Cada contacto oculta dos caras cuadradas, con áreas $1^2,2^2,\ldots,6^2$ . Al restar estas caras ocultas se obtiene $840$ $-2(1^2+2^2+\cdots+6^2)$ $=840-182=658$ . Así, B es la respuesta correcta.

The cube side lengths are $1,2,3,4,5,6,7$ , stacked from largest on bottom to smallest on top. The sum of the surface areas of the separate cubes is $6(1^2+2^2+\cdots+7^2)$ $=6\cdot140=840$ .

Each contact hides two square faces, with areas $1^2,2^2,\ldots,6^2$ . Subtracting these hidden faces gives $840$ $-2(1^2+2^2+\cdots+6^2)$ $=840-182=658$ . Thus, B is the correct answer.

11.

¿Cuál es la mediana de la siguiente lista de $4040$ números? $\begin{align*} &1, 2, 3, \ldots, 2020, \\&1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2 \end{align*}$

What is the median of the following list of $4040$ numbers? $\begin{align*} &1, 2, 3, \ldots, 2020, \\&1^2, 2^2, 3^2, \ldots, 2020^2 \end{align*}$

$1974.5$

$1975.5$

$1976.5$

$1977.5$

$1978.5$

Conceptos:mediana (datos)cuadrado perfecto conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1480

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Solución escrita:

Para un número cercano a la mediana, la lista ordenada incluye todos los enteros ordinarios hasta ese número y todos los cuadrados hasta ese número. Como $44^2=1936$ y $45^2=2025$ , hay $44$ cuadrados que no exceden ningún número desde $1936$ hasta $2020$ .

En $1975$ , hay $1975+44=2019$ elementos de la lista que son a lo sumo $1975$ . En $1976$ , hay $2020$ elementos que son a lo sumo $1976$ , así que el elemento número $2020$ es $1976$ , y el siguiente es $1977$ . La mediana es $1976.5$ . Así, C es la respuesta correcta.

For a number near the median, the sorted list includes all ordinary integers up to that number and all squares up to that number. Since $44^2=1936$ and $45^2=2025$ , there are $44$ squares not exceeding any number from $1936$ through $2020$ .

At $1975$ , there are $1975+44=2019$ list entries at most $1975$ . At $1976$ , there are $2020$ entries at most $1976$ , so the $2020$ th entry is $1976$ , and the next is $1977$ . The median is $1976.5$ . Thus, C is the correct answer.

12.

El triángulo $AMC$ es isósceles con $AM = AC$ . Las medianas $\overline{MV}$ y $\overline{CU}$ son perpendiculares entre sí, y $MV=CU=12$ . ¿Cuál es el área de $\triangle AMC$ ?

Triangle $AMC$ is isosceles with $AM = AC.$ Medians $\overline{MV}$ and $\overline{CU}$ are perpendicular to each other, and $MV=CU=12.$ What is the area of $\triangle AMC?$

$48$

$72$

$96$

$144$

$192$

Conceptos:mediana (geometría)baricentro geometría analítica

Nivel de dificultad: 1660

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Solución escrita:

Sea el baricentro el origen. Como el baricentro divide cada mediana en razón $2:1$ , podemos colocar la mediana $MV$ horizontalmente con $M=(8,0)$ y $V=(-4,0)$ , y la mediana $CU$ verticalmente con $C=(0,8)$ y $U=(0,-4)$ .

Como $U$ es el punto medio de $AM$ , obtenemos $A=2U-M=(-8,-8)$ . El área de $\triangle AMC$ es $\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|$ $=\dfrac12(256-64)=96$ . Así, C es la respuesta correcta.

Let the centroid be the origin. Since a centroid divides each median in a $2:1$ ratio, we may place median $MV$ horizontally with $M=(8,0)$ and $V=(-4,0)$ , and median $CU$ vertically with $C=(0,8)$ and $U=(0,-4)$ .

Because $U$ is the midpoint of $AM$ , we get $A=2U-M=(-8,-8)$ . The area of $\triangle AMC$ is $\dfrac12 |(16,8)\times(8,16)|$ $=\dfrac12(256-64)=96$ . Thus, C is the correct answer.

13.

Una rana sentada en el punto $(1, 2)$ comienza una sucesión de saltos, donde cada salto es paralelo a uno de los ejes coordenados y tiene longitud $1,$ y la dirección de cada salto (arriba, abajo, derecha o izquierda) se elige de forma independiente al azar. La sucesión termina cuando la rana alcanza un lado del cuadrado con vértices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ y $(4, 0).$ ¿Cuál es la probabilidad de que la sucesión de saltos termine en un lado vertical del cuadrado?

A frog sitting at the point $(1, 2)$ begins a sequence of jumps, where each jump is parallel to one of the coordinate axes and has length $1,$ and the direction of each jump (up, down, right, or left) is chosen independently at random. The sequence ends when the frog reaches a side of the square with vertices $(0, 0),$ $(0, 4),$ $(4, 4),$ and $(4, 0).$ What is the probability that the sequence of jumps ends on a vertical side of the square?

$\displaystyle \frac{1}{2}$

$\displaystyle \frac{5}{8}$

$\displaystyle \frac{2}{3}$

$\displaystyle \frac{3}{4}$

$\displaystyle \frac{7}{8}$

Conceptos:camino aleatorio sistema de ecuaciones simetría

Nivel de dificultad: 1950

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Solución escrita:

Sea $p(x,y)$ la probabilidad de tocar finalmente primero un lado vertical desde el punto $(x,y)$ . Por simetría, define $a=p(1,1)=p(1,3)$ , $b=p(2,1)=p(2,3)$ , $c=p(1,2)$ y $d=p(2,2)$ .

Las ecuaciones de promedio son $a=\dfrac{1+b+c}{4}$ , $b=\dfrac{2a+d}{4}$ , $c=\dfrac{1+2a+d}{4}$ y $d=\dfrac{b+c}{2}$ . Al resolver se obtiene $c=\dfrac58$ , que es la probabilidad buscada desde $(1,2)$ . Así, B es la respuesta correcta.

Let $p(x,y)$ be the probability of eventually hitting a vertical side first from point $(x,y)$ . By symmetry, set $a=p(1,1)=p(1,3)$ , $b=p(2,1)=p(2,3)$ , $c=p(1,2)$ , and $d=p(2,2)$ .

The averaging equations are $a=\dfrac{1+b+c}{4}$ , $b=\dfrac{2a+d}{4}$ , $c=\dfrac{1+2a+d}{4}$ , and $d=\dfrac{b+c}{2}$ . Solving gives $c=\dfrac58$ , which is the desired probability from $(1,2)$ . Thus, B is the correct answer.

14.

Los números reales $x$ y $y$ satisfacen $x + y = 4$ y $x \cdot y = -2$ .

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y$

Real numbers $x$ and $y$ satisfy $x + y = 4$ and $x \cdot y = -2.$ What is the value of

$x + \frac{x^3}{y^2} + \frac{y^3}{x^2} + y?$

$360$

$400$

$420$

$440$

$480$

Conceptos:Sumas de Newton Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1480

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Solución escrita:

Sea $S_k=x^k+y^k$ . Como $x+y=4$ y $xy=-2$ , los números $x$ y $y$ satisfacen $t^2-4t-2=0$ , así que $S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}$ .

Usando $S_0=2$ y $S_1=4$ , obtenemos $S_2=20$ , $S_3=88$ , $S_4=392$ y $S_5=1744$ . La expresión es $x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}$ $=4+\dfrac{1744}{4}=440$ . Así, D es la respuesta correcta.

Let $S_k=x^k+y^k$ . Since $x+y=4$ and $xy=-2$ , the numbers $x$ and $y$ satisfy $t^2-4t-2=0$ , so $S_k=4S_{k-1}+2S_{k-2}$ .

Using $S_0=2$ and $S_1=4$ , we get $S_2=20$ , $S_3=88$ , $S_4=392$ , and $S_5=1744$ . The expression is $x+y+\dfrac{x^5+y^5}{x^2y^2}$ $=4+\dfrac{1744}{4}=440$ . Thus, D is the correct answer.

15.

Se elige al azar un divisor entero positivo de $12!$ . La probabilidad de que el divisor elegido sea un cuadrado perfecto se puede expresar como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos primos entre sí. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

A positive integer divisor of $12!$ is chosen at random. The probability that the divisor chosen is a perfect square can be expressed as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$3$

$5$

$12$

$18$

$23$

Conceptos:conteo de factores cuadrado perfecto probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1420

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Solución escrita:

La factorización en primos de $12!$ es $2^{10}3^5 5^2 7^1 11^1$ . Por lo tanto, $12!$ tiene $(10+1)(5+1)$ $\cdot(2+1)(1+1)(1+1)=792$ divisores positivos.

Un divisor cuadrado debe usar solo exponentes pares, lo que da $6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1=36$ divisores cuadrados. La probabilidad es $36/792=1/22$ , así que $m+n=1+22=23$ . Así, E es la respuesta correcta.

The prime factorization of $12!$ is $2^{10}3^5 5^2 7^1 11^1$ . Therefore $12!$ has $(10+1)(5+1)$ $\cdot(2+1)(1+1)(1+1)=792$ positive divisors.

A square divisor must use only even exponents, giving $6\cdot3\cdot2\cdot1\cdot1=36$ square divisors. The probability is $36/792=1/22$ , so $m+n=1+22=23$ . Thus, E is the correct answer.

16.

Se elige un punto al azar dentro del cuadrado del plano coordenado cuyos vértices son $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ y $(0, 2020).$ La probabilidad de que el punto esté a menos de $d$ unidades de un punto reticular es $\tfrac{1}{2}.$ (Un punto $(x, y)$ es un punto reticular si $x$ y $y$ son ambos enteros.) ¿Cuánto vale $d$ redondeado a la décima más cercana?

A point is chosen at random within the square in the coordinate plane whose vertices are $(0, 0),$ $(2020, 0),$ $(2020, 2020),$ and $(0, 2020).$ The probability that the point is within $d$ units of a lattice point is $\tfrac{1}{2}.$ (A point $(x, y)$ is a lattice point if $x$ and $y$ are both integers.) What is $d$ to the nearest tenth?

$0.3$

$0.4$

$0.5$

$0.6$

$0.7$

Conceptos:probabilidad geométrica área del círculo punto reticular

Nivel de dificultad: 1540

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Solución escrita:

Para $d<\dfrac12$ , los puntos a menos de $d$ de los puntos reticulares ocupan, en cada cuadrado unitario, cuatro cuartos de círculo cuya área total es $\pi d^2$ . El enorme cuadrado se cubre con cuadrados unitarios, así que la probabilidad buscada es $\pi d^2$ .

Al hacer $\pi d^2=\dfrac12$ se obtiene $d=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\approx0.399$ , que se redondea a $0.4$ . Así, B es la respuesta correcta.

For $d<\dfrac12$ , the points within $d$ of lattice points occupy, in each unit square, four quarter-circles whose total area is $\pi d^2$ . The enormous square is tiled by unit squares, so the desired probability is $\pi d^2$ .

Setting $\pi d^2=\dfrac12$ gives $d=\sqrt{\dfrac{1}{2\pi}}\approx0.399$ , which rounds to $0.4$ . Thus, B is the correct answer.

17.

Define $\begin{align*} P(x) =&(x-1^2)(x-2^2)\\&\cdots(x-100^2) \end{align*}$ ¿Cuántos enteros $n$ hay tales que $P(n)\leq 0$ ?

Define $\begin{align*} P(x) =&(x-1^2)(x-2^2)\\&\cdots(x-100^2) \end{align*}$ How many integers $n$ are there such that $P(n)\leq 0?$

$4900$

$4950$

$5000$

$5050$

$5100$

Conceptos:polinomio desigualdad conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1660

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Solución escrita:

El polinomio cambia de signo en cada cuadrado $1^2,2^2,\ldots,100^2$ , y su coeficiente principal es positivo. Así, $P(n)\le0$ para los enteros en los intervalos $[1^2,2^2]$ , $[3^2,4^2]$ , $\ldots$ , $[99^2,100^2]$ .

Para $k$ impar, el intervalo $[k^2,(k+1)^2]$ contiene $(k+1)^2-k^2+1=2k+2$ enteros. Sumando sobre los $k=1,3,\ldots,99$ impares se obtiene $2(1+3+\cdots+99)$ $+2\cdot50=5000+100$ $=5100$ . Así, E es la respuesta correcta.

The polynomial changes sign at each square $1^2,2^2,\ldots,100^2$ , and its leading coefficient is positive. Thus $P(n)\le0$ for integers in the intervals $[1^2,2^2]$ , $[3^2,4^2]$ , $\ldots$ , $[99^2,100^2]$ .

For odd $k$ , the interval $[k^2,(k+1)^2]$ contains $(k+1)^2-k^2+1=2k+2$ integers. Summing over odd $k=1,3,\ldots,99$ gives $2(1+3+\cdots+99)$ $+2\cdot50=5000+100$ $=5100$ . Thus, E is the correct answer.

18.

Sea $(a,b,c,d)$ una cuádrupla ordenada de enteros no necesariamente distintos, cada uno de ellos en el conjunto $\{0,1,2,3\}.$ ¿Para cuántas de esas cuádruplas se cumple que $a\cdot d-b\cdot c$ es impar? (Por ejemplo, $(0,3,1,1)$ es una de esas cuádruplas, porque $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ es impar.)

Let $(a,b,c,d)$ be an ordered quadruple of not necessarily distinct integers, each one of them in the set $\{0,1,2,3\}.$ For how many such quadruples is it true that $a\cdot d-b\cdot c$ is odd? (For example, $(0,3,1,1)$ is one such quadruple, because $0\cdot 1-3\cdot 1 = -3$ is odd.)

$48$

$64$

$96$

$128$

$192$

Conceptos:paridad determinante principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1540

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Solución escrita:

Solo importa la paridad. Módulo $2$ , la condición es que $ad-bc$ sea $1$ , lo que significa que la matriz $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ es invertible sobre $\mathbb F_2$ .

Hay $(4-1)(4-2)=6$ matrices $2\times2$ invertibles sobre $\mathbb F_2$ . Cada patrón de paridad se eleva a $2^4=16$ elecciones de $\{0,1,2,3\}$ , así que hay $6\cdot16=96$ cuádruplas. Así, C es la respuesta correcta.

Only parity matters. Modulo $2$ , the condition is that $ad-bc$ is $1$ , meaning the matrix $\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}$ is invertible over $\mathbb F_2$ .

There are $(4-1)(4-2)=6$ invertible $2\times2$ matrices over $\mathbb F_2$ . Each parity pattern lifts to $2^4=16$ choices from $\{0,1,2,3\}$ , so there are $6\cdot16=96$ quadruples. Thus, C is the correct answer.

19.

Como se muestra en la figura de abajo, un dodecaedro regular, o sea el poliedro formado por $12$ caras pentagonales regulares congruentes, flota en el espacio con dos caras horizontales. Observa que hay un anillo de cinco caras inclinadas adyacentes a la cara superior, y un anillo de cinco caras inclinadas adyacentes a la cara inferior. ¿De cuántas maneras se puede ir de la cara superior a la cara inferior mediante una sucesión de caras adyacentes de modo que cada cara se visite a lo sumo una vez y no se permitan movimientos del anillo inferior al anillo superior?

As shown in the figure below, a regular dodecahedron (the polyhedron consisting of $12$ congruent regular pentagonal faces) floats in space with two horizontal faces. Note that there is a ring of five slanted faces adjacent to the top face, and a ring of five slanted faces adjacent to the bottom face. How many ways are there to move from the top face to the bottom face via a sequence of adjacent faces so that each face is visited at most once and moves are not permitted from the bottom ring to the top ring?

$125$

$250$

$405$

$640$

$810$

Conceptos:teoría de grafos principio de multiplicación análisis por casos

Nivel de dificultad: 2460

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Solución escrita:

Después de dejar la cara superior, elige una de las $5$ caras del anillo superior. Como los movimientos del anillo inferior al anillo superior están prohibidos, todo camino válido tiene una fase del anillo superior, luego un movimiento hacia abajo al anillo inferior, y luego una fase del anillo inferior.

Fija la primera cara del anillo superior. En el anillo superior, el camino puede recorrer el ciclo de cinco sin revisitar una cara y luego detenerse en cualquier punto: hay $1+2\cdot4=9$ posibles caminos del anillo superior. Desde la cara donde se detiene, hay $2$ posibles movimientos hacia abajo al anillo inferior, así que la parte superior tiene $18$ opciones.

Una vez en el anillo inferior, el camino puede recorrer el ciclo de cinco inferior sin revisitar una cara y luego entrar en la cara inferior; esto da $1+2\cdot4=9$ opciones. El total es $5\cdot18\cdot9=810$ . Así, E es la respuesta correcta.

After leaving the top face, choose one of the $5$ top-ring faces. Because moves from the bottom ring to the top ring are forbidden, every valid path has a top-ring phase, then one move down to the bottom ring, then a bottom-ring phase.

Fix the first top-ring face. On the top ring, the path can move around the 5-cycle without revisiting a face and then stop at any point: there are $1+2\cdot4=9$ possible top-ring paths. From the stopping face, there are $2$ possible downward moves to the bottom ring, so the top part has $18$ choices.

Once in the bottom ring, the path can move around the bottom 5-cycle without revisiting a face and then enter the bottom face; this gives $1+2\cdot4=9$ choices. The total is $5\cdot18\cdot9=810$ . Thus, E is the correct answer.

20.

El cuadrilátero $ABCD$ satisface $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ},$ $AC=20,$ y $CD=30.$ Las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ se cortan en el punto $E,$ y $AE=5.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $ABCD$ ?

Quadrilateral $ABCD$ satisfies $\angle ABC = \angle ACD = 90^{\circ},$ $AC=20,$ and $CD=30.$ Diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD}$ intersect at point $E,$ and $AE=5.$ What is the area of quadrilateral $ABCD?$

$330$

$340$

$350$

$360$

$370$

Conceptos:geometría analítica ángulo inscrito descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2150

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Solución escrita:

Coloca $A=(0,0)$ y $C=(20,0)$ . Como $\angle ACD=90^\circ$ y $CD=30$ , toma $D=(20,30)$ . El punto $E$ es $(5,0)$ , así que la recta $BD$ tiene ecuación $y=2(x-5)$ .

Como $\angle ABC=90^\circ$ , el punto $B$ está en la circunferencia de diámetro $AC$ : $(x-10)^2+y^2=100$ . Al intersecarla con $y=2(x-5)$ se obtiene $x=2$ o $10$ . El cuadrilátero convexo usa $B=(2,-6)$ .

Entonces $[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300$ , y $[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60$ . El área total es $360$ . Así, D es la respuesta correcta.

Place $A=(0,0)$ and $C=(20,0)$ . Since $\angle ACD=90^\circ$ and $CD=30$ , take $D=(20,30)$ . The point $E$ is $(5,0)$ , so line $BD$ has equation $y=2(x-5)$ .

Because $\angle ABC=90^\circ$ , point $B$ lies on the circle with diameter $AC$ : $(x-10)^2+y^2=100$ . Intersecting with $y=2(x-5)$ gives $x=2$ or $10$ . The convex quadrilateral uses $B=(2,-6)$ .

Then $[ACD]=\dfrac12\cdot20\cdot30=300$ , and $[ABC]=\dfrac12\cdot20\cdot6=60$ . The total area is $360$ . Thus, D is the correct answer.

21.

Existe una única sucesión estrictamente creciente de enteros no negativos $a_1 < a_2 < … < a_k$ tal que $\frac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + … + 2^{a_k}.$ ¿Cuánto vale $k$ ?

There exists a unique strictly increasing sequence of nonnegative integers $a_1 < a_2 < … < a_k$ such that $\frac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = 2^{a_1} + 2^{a_2} + … + 2^{a_k}.$ What is $k?$

$117$

$136$

$137$

$273$

$306$

Conceptos:base numérica factorización emparejamiento y agrupación

Nivel de dificultad: 2380

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Solución escrita:

Sea $X=2^{17}$ . Entonces $\begin{gathered} \dfrac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = \dfrac{X^{17}+1}{X+1} \\ = X^{16}-X^{15}+X^{14} \\ {}-\cdots-X+1 \end{gathered}$ .

Empareja términos consecutivos: $X^{16}-X^{15}$ , $X^{14}-X^{13}$ , $\ldots$ , $X^2-X$ , y luego el $+1$ final. Cada par es $2^{17m}(2^{17}-1)$ , y aporta $17$ unos en binario. Hay $8$ de esos pares más el $1$ final, así que $k=8\cdot17+1=137$ . Así, C es la respuesta correcta.

Let $X=2^{17}$ . Then $\begin{gathered} \dfrac{2^{289}+1}{2^{17}+1} = \dfrac{X^{17}+1}{X+1} \\ = X^{16}-X^{15}+X^{14} \\ {}-\cdots-X+1 \end{gathered}$ .

Pair consecutive terms: $X^{16}-X^{15}$ , $X^{14}-X^{13}$ , $\ldots$ , $X^2-X$ , and then the final $+1$ . Each pair is $2^{17m}(2^{17}-1)$ , contributing $17$ ones in binary. There are $8$ such pairs plus the final $1$ , so $k=8\cdot17+1=137$ . Thus, C is the correct answer.

22.

¿Para cuántos enteros positivos $n \le 1000$ el valor $\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor$ no es divisible entre $3$ ? (Recuerda que $\lfloor x \rfloor$ es el mayor entero menor o igual que $x.$ )

For how many positive integers $n \le 1000$ is $\left\lfloor \dfrac{998}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{999}{n} \right\rfloor+\left\lfloor \dfrac{1000}{n}\right \rfloor$ not divisible by $3?$ (Recall that $\lfloor x \rfloor$ is the greatest integer less than or equal to $x.$ )

$22$

$23$

$24$

$25$

$26$

Conceptos:funciones piso y techo divisibilidad conteo de factores

Nivel de dificultad: 2380

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Solución escrita:

Escribe $1000=qn+r$ , donde $0\le r<n$ . Entonces $\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q$ . Los otros dos pisos suelen ser también $q$ , salvo que restar $1$ o $2$ a $1000$ cruza un múltiplo de $n$ cuando $r$ es pequeño.

Para $n>1$ , la suma no es divisible entre $3$ exactamente cuando $r=0$ o $r=1$ . El caso $r=0$ da los divisores de $1000$ , excluyendo el $1$ , lo que son $15$ valores. El caso $r=1$ da los divisores de $999$ , excluyendo el $1$ , lo que son $(3+1)(1+1)-1=7$ valores. El total es $22$ . Así, A es la respuesta correcta.

Write $1000=qn+r$ , where $0\le r<n$ . Then $\left\lfloor\dfrac{1000}{n}\right\rfloor=q$ . The other two floors are usually also $q$ , except that subtracting $1$ or $2$ from $1000$ crosses a multiple of $n$ when $r$ is small.

For $n>1$ , the sum is not divisible by $3$ exactly when $r=0$ or $r=1$ . The case $r=0$ gives divisors of $1000$ , excluding $1$ , for $15$ values. The case $r=1$ gives divisors of $999$ , excluding $1$ , for $(3+1)(1+1)-1=7$ values. The total is $22$ . Thus, A is the correct answer.

23.

Sea $T$ el triángulo del plano coordenado con vértices $(0,0), (4,0),$ y $(0,3).$ Considera las siguientes cinco isometrías (transformaciones rígidas) del plano: rotaciones de $90^{\circ}, 180^{\circ},$ y $270^{\circ}$ en sentido antihorario alrededor del origen, reflexión respecto al eje $x$ , y reflexión respecto al eje $y$ . ¿Cuántas de las $125$ sucesiones de tres de estas transformaciones (no necesariamente distintas) devuelven $T$ a su posición original? (Por ejemplo, una rotación de $180^{\circ}$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de una reflexión respecto al eje $y$ devuelve $T$ a su posición original, pero una rotación de $90^{\circ}$ , seguida de una reflexión respecto al eje $x$ , seguida de otra reflexión respecto al eje $x$ no devuelve $T$ a su posición original.)

Let $T$ be the triangle in the coordinate plane with vertices $(0,0), (4,0),$ and $(0,3).$ Consider the following five isometries (rigid transformations) of the plane: rotations of $90^{\circ}, 180^{\circ},$ and $270^{\circ}$ counterclockwise around the origin, reflection across the $x$ -axis, and reflection across the $y$ -axis. How many of the $125$ sequences of three of these transformations (not necessarily distinct) will return $T$ to its original position? (For example, a $180^{\circ}$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by a reflection across the $y$ -axis will return $T$ to its original position, but a $90^{\circ}$ rotation, followed by a reflection across the $x$ -axis, followed by another reflection across the $x$ -axis will not return $T$ to its original position.)

$12$

$15$

$17$

$20$

$25$

Conceptos:transformación enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1950

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Solución escrita:

Sea $R$ una rotación de $90^\circ$ , de modo que las rotaciones permitidas son $R,R^2,R^3$ . Sean $X$ y $Y$ las reflexiones respecto a los ejes coordenados. Una vez elegidas las dos primeras transformaciones, la tercera queda forzada a ser la inversa de su producto.

Las elecciones ordenadas de las dos primeras cuya tercera transformación forzada sigue estando en el conjunto permitido son $(R,R),$ $(R,R^2),$ $(R^2,R),$ $(R^2,R^3),$ $(R^3,R^2),$ $(R^3,R^3)$ , y $(R^2,X),$ $(R^2,Y),$ $(X,R^2),$ $(Y,R^2),$ $(X,Y),$ $(Y,X)$ . Hay $12$ de esas sucesiones. Así, A es la respuesta correcta.

Let $R$ be a $90^\circ$ rotation, so the allowed rotations are $R,R^2,R^3$ . Let $X$ and $Y$ be the reflections across the coordinate axes. Once the first two transformations are chosen, the third is forced to be the inverse of their product.

The ordered first-two choices whose forced third transformation is still in the allowed set are $(R,R),$ $(R,R^2),$ $(R^2,R),$ $(R^2,R^3),$ $(R^3,R^2),$ $(R^3,R^3)$ , and $(R^2,X),$ $(R^2,Y),$ $(X,R^2),$ $(Y,R^2),$ $(X,Y),$ $(Y,X)$ . There are $12$ such sequences. Thus, A is the correct answer.

24.

Sea $n$ el menor entero positivo mayor que $1000$ para el cual

$\gcd(63, n+120) =21$

y

$\gcd(n+63, 120)=60.$

¿Cuál es la suma de los dígitos de $n$ ?

Let $n$ be the least positive integer greater than $1000$ for which

$\gcd(63, n+120) =21$

and

$\gcd(n+63, 120)=60.$

What is the sum of the digits of $n?$

$12$

$15$

$18$

$21$

$24$

Conceptos:máximo común divisor Teorema chino del resto aritmética modular

Nivel de dificultad: 1820

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Solución escrita:

La primera condición de mcd da $n+120\equiv0\pmod{21}$ , así que $n\equiv6\pmod{21}$ , pero $n+120$ no debe ser divisible entre $63$ . La segunda da $n+63\equiv0\pmod{60}$ , así que $n\equiv57\pmod{60}$ , pero $n+63$ no debe ser divisible entre $120$ .

Al resolver $n\equiv6\pmod{21}$ y $n\equiv57\pmod{60}$ se obtiene $n\equiv237\pmod{420}$ . Los candidatos mayores que $1000$ son $1077,1497,1917,\ldots$ . El primero no cumple la primera condición de mcd, el segundo no cumple la segunda, y $1917$ sí funciona. La suma de los dígitos es $18$ . Así, C es la respuesta correcta.

The first gcd condition gives $n+120\equiv0\pmod{21}$ , so $n\equiv6\pmod{21}$ , but $n+120$ must not be divisible by $63$ . The second gives $n+63\equiv0\pmod{60}$ , so $n\equiv57\pmod{60}$ , but $n+63$ must not be divisible by $120$ .

Solving $n\equiv6\pmod{21}$ and $n\equiv57\pmod{60}$ gives $n\equiv237\pmod{420}$ . The candidates above $1000$ are $1077,1497,1917,\ldots$ . The first fails the first gcd condition, the second fails the second gcd condition, and $1917$ works. The digit sum is $18$ . Thus, C is the correct answer.

25.

Jason lanza tres dados justos estándar de seis caras. Luego mira los resultados y elige un subconjunto de los dados (posiblemente vacío, posiblemente los tres) para volver a lanzar. Después de volver a lanzar, gana si y solo si la suma de los números que quedan hacia arriba en los tres dados es exactamente $7.$ Jason siempre juega para optimizar sus probabilidades de ganar. ¿Cuál es la probabilidad de que elija volver a lanzar exactamente dos de los dados?

Jason rolls three fair standard six-sided dice. Then he looks at the rolls and chooses a subset of the dice (possibly empty, possibly all three dice) to reroll. After rerolling, he wins if and only if the sum of the numbers face up on the three dice is exactly $7.$ Jason always plays to optimize his chances of winning. What is the probability that he chooses to reroll exactly two of the dice?

$\displaystyle \frac{7}{36}$

$\displaystyle \frac{5}{24}$

$\displaystyle \frac{2}{9}$

$\displaystyle \frac{17}{22}$

$\displaystyle \frac{1}{4}$

Conceptos:dados (probabilidad)optimización análisis por casos

Nivel de dificultad: 2380

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Solución escrita:

Para cualquier resultado inicial, Jason compara las mejores probabilidades de volver a lanzar $0,1,2$ o $3$ dados. Volver a lanzar los tres dados tiene probabilidad $15/216=5/72$ . Volver a lanzar un dado tiene probabilidad $1/6$ siempre que algún par de dados conservados tenga suma a lo sumo $6$ .

Si vuelve a lanzar exactamente dos dados, conserva un dado. Conservar un dado que muestra $1,2,3,4,5,6$ da probabilidades $5,4,3,2,1,0$ sobre $36$ , respectivamente. Esto puede ser óptimo solo cuando los dos dados menores suman al menos $7$ y el dado menor es $1,2,$ o $3$ .

Los resultados ordenados que cumplen esto son $(1,6,6)$ , $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ , y $(3,4,4),$ $(3,4,5),$ $(3,4,6),$ $(3,5,5),$ $(3,5,6),$ $(3,6,6)$ . Al contar las permutaciones se obtienen $3+12+27=42$ resultados de $216$ , así que la probabilidad es $42/216=7/36$ . Así, A es la respuesta correcta.

For any initial roll, Jason compares the best probabilities from rerolling $0,1,2,$ or $3$ dice. Rerolling all three dice has probability $15/216=5/72$ . Rerolling one die has probability $1/6$ whenever some pair of kept dice has sum at most $6$ .

If he rerolls exactly two dice, he keeps one die. Keeping a die showing $1,2,3,4,5,6$ gives probabilities $5,4,3,2,1,0$ out of $36$ , respectively. This can be optimal only when the two smallest dice sum at least $7$ and the smallest die is $1,2,$ or $3$ .

The sorted rolls satisfying this are $(1,6,6)$ , $(2,5,5),(2,5,6),(2,6,6)$ , and $(3,4,4),$ $(3,4,5),$ $(3,4,6),$ $(3,5,5),$ $(3,5,6),$ $(3,6,6)$ . Counting permutations gives $3+12+27=42$ rolls out of $216$ , so the probability is $42/216=7/36$ . Thus, A is the correct answer.