Question

Un semicírculo tiene diámetro $AB$ y una cuerda $CD$ de longitud $16$ paralela a $AB.$ Del semicírculo mayor se recorta un semicírculo más pequeño con diámetro sobre $AB$ y tangente a $CD$ , como se muestra abajo.

¿Cuál es el área de la figura resultante, mostrada sombreada?

A semicircle has diameter $AB$ and chord $CD$ of length $16$ parallel to $AB.$ A smaller semicircle with diameter on $AB$ and tangent to $CD$ is cut from the larger semicircle, as shown below.

What is the area of the resulting figure, shown shaded?

$16\pi$

$24\pi$

$32\pi$

$48\pi$

$64\pi$

Solución:

Sea $O$ el centro sobre $AB$ y $P$ el punto medio de la cuerda $CD.$ Toma $r = OP$ como el radio pequeño y $R = OD$ como el grande. Como $PD = 8,$ el teorema de Pitágoras en el triángulo $OPD$ da $R^2 - r^2 = 64.$ El área sombreada es el semicírculo grande menos el pequeño: $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ $= \tfrac12\pi(R^2 - r^2)$ $= 32\pi.$ Por lo tanto, la respuesta es C.

Let $O$ be the center on $AB$ and $P$ the midpoint of chord $CD.$ Set $r = OP$ for the small radius and $R = OD$ for the large one. Since $PD = 8,$ the Pythagorean theorem in triangle $OPD$ gives $R^2 - r^2 = 64.$ The shaded area is the big semicircle minus the small one: $\tfrac12\pi R^2 - \tfrac12\pi r^2$ $= \tfrac12\pi(R^2 - r^2)$ $= 32\pi.$ Therefore, the answer is C.

2025 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años