Question

¿Para cuántos valores reales de $x$ es $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ un entero?

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

Solución:

Sea $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.$ Como $\sqrt{x} \ge 0,$ necesitamos $0 \le k \le \sqrt{120},$ así que $k \in \{0, 1, \ldots, 10\},$ lo que da $11$ valores.

Cada $k$ produce $\sqrt{x} = 120 - k^2,$ y como $120 - k^2$ es positivo y estrictamente decreciente, los valores resultantes $x = (120 - k^2)^2$ son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.$ Since $\sqrt{x} \ge 0,$ we need $0 \le k \le \sqrt{120},$ so $k \in \{0, 1, \ldots, 10\},$ giving $11$ values.

Each $k$ yields $\sqrt{x} = 120 - k^2,$ and since $120 - k^2$ is positive and strictly decreasing, the resulting values $x = (120 - k^2)^2$ are distinct.

Thus, the correct answer is E.

2006 AMC 10A Problema 10

Solución:

El Problema 10 en otros años