Soluciones del 2006 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Los sándwiches en Joe's Fast Food cuestan $\$3$ cada uno y los refrescos cuestan $\$2$ cada uno. ¿Cuántos dólares costará comprar $5$ sándwiches y $8$ refrescos?

Sandwiches at Joe's Fast Food cost $\$3$ each and sodas cost $\$2$ each. How many dollars will it cost to purchase $5$ sandwiches and $8$ sodas?

$31$

$32$

$33$

$34$

$35$

Conceptos:dinero operaciones con números enteros

Nivel de dificultad: 450

Solución:

Cinco sándwiches cuestan $5 \cdot 3 = 15$ dólares y ocho refrescos cuestan $8 \cdot 2 = 16$ dólares. En total cuestan $15 + 16 = 31$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Five sandwiches cost $5 \cdot 3 = 15$ dollars and eight sodas cost $8 \cdot 2 = 16$ dollars. Together they cost $15 + 16 = 31$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

2.

Se define $x \otimes y = x^3 - y$ . ¿Cuánto vale $h \otimes (h \otimes h)$ ?

Define $x \otimes y = x^3 - y.$ What is $h \otimes (h \otimes h)?$

$-h$

$0$

$h$

$2h$

$h^3$

Conceptos:operación personalizada manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 960

Solución:

La operación interna da $h \otimes h = h^3 - h$ . Entonces $\begin{aligned} h \otimes (h^3 - h) &= h^3 - (h^3 - h) \\ &= h. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The inner operation gives $h \otimes h = h^3 - h.$ Then $\begin{aligned} h \otimes (h^3 - h) &= h^3 - (h^3 - h) \\ &= h. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

3.

La razón entre la edad de Mary y la edad de Alice es $3 : 5$ . Alice tiene $30$ años. ¿Cuántos años tiene Mary?

The ratio of Mary's age to Alice's age is $3 : 5.$ Alice is $30$ years old. How many years old is Mary?

$15$

$18$

$20$

$24$

$50$

Conceptos:razón y proporción edades

Nivel de dificultad: 560

Solución:

Como la razón es $3 : 5$ y Alice tiene $30$ , Mary tiene $\dfrac{3}{5} \cdot 30 = 18$ años.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since the ratio is $3 : 5$ and Alice is $30,$ Mary is $\dfrac{3}{5} \cdot 30 = 18$ years old.

Thus, the correct answer is B.

4.

Un reloj digital muestra horas y minutos con am y pm. ¿Cuál es la mayor suma posible de los dígitos en la pantalla?

A digital watch displays hours and minutes with am and pm. What is the largest possible sum of the digits in the display?

$17$

$19$

$21$

$22$

$23$

Conceptos:reloj dígitos optimización

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

Los minutos van de $00$ a $59$ , así que la mayor suma de dígitos para los minutos es $5 + 9 = 14$ , a los $59$ minutos.

Para la hora, el dígito único $9$ supera a $1 + 2 = 3$ de las $12$ . El mayor total es $9 + 14 = 23$ , que ocurre a las $9\!:\!59$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The minutes run from $00$ to $59,$ so the largest digit sum for the minutes is $5 + 9 = 14,$ at $59$ minutes.

For the hour, the single digit $9$ beats $1 + 2 = 3$ from $12.$ The largest total is $9 + 14 = 23,$ occurring at $9\!:\!59.$

Thus, the correct answer is E.

5.

Doug y Dave compartieron una pizza con $8$ porciones del mismo tamaño. Doug quería una pizza simple, pero Dave quería anchoas en la mitad de la pizza. El costo de una pizza simple era $\$8$ , y había un costo adicional de $\$2$ por poner anchoas en una mitad. Dave se comió todas las porciones de pizza con anchoas y una porción simple. Doug se comió el resto. Luego cada uno pagó por lo que había comido. ¿Cuántos dólares más pagó Dave que Doug?

Doug and Dave shared a pizza with $8$ equally-sized slices. Doug wanted a plain pizza, but Dave wanted anchovies on half of the pizza. The cost of a plain pizza was $\$8,$ and there was an additional cost of $\$2$ for putting anchovies on one half. Dave ate all the slices of anchovy pizza and one plain slice. Doug ate the remainder. Each then paid for what he had eaten. How many more dollars did Dave pay than Doug?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:dinero fracción

Nivel de dificultad: 1120

Solución:

Cada una de las $8$ porciones cuesta $\$1$ . Dave comió $5$ porciones y además paga los $\$2$ adicionales por las anchoas, para un total de $5 + 2 = 7$ dólares.

Doug comió $3$ porciones, pagando $3$ dólares. Así que Dave pagó $7 - 3 = 4$ dólares más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Each of the $8$ slices costs $\$1.$ Dave ate $5$ slices and also pays the extra $\$2$ for the anchovies, for a total of $5 + 2 = 7$ dollars.

Doug ate $3$ slices, paying $3$ dollars. So Dave paid $7 - 3 = 4$ dollars more.

Thus, the correct answer is D.

6.

¿Qué valor real distinto de cero de $x$ satisface $(7x)^{14} = (14x)^7$ ?

What non-zero real value for $x$ satisfies $(7x)^{14} = (14x)^7?$

$\dfrac{1}{7}$

$\dfrac{2}{7}$

$1$

$7$

$14$

Conceptos:exponente manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

Tomando la raíz séptima de ambos lados se obtiene $(7x)^2 = 14x$ , así que $49x^2 = 14x$ . Como $x \neq 0$ , divide entre $x$ para obtener $49x = 14$ , de donde $x = \dfrac{2}{7}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Taking the seventh root of both sides gives $(7x)^2 = 14x,$ so $49x^2 = 14x.$ Since $x \neq 0,$ divide by $x$ to get $49x = 14,$ hence $x = \dfrac{2}{7}.$

Thus, the correct answer is B.

7.

El rectángulo $8 \times 18$ $ABCD$ se corta en dos hexágonos congruentes, como se muestra, de modo que los dos hexágonos pueden reubicarse sin traslape para formar un cuadrado. ¿Cuánto vale $y$ ?

The $8 \times 18$ rectangle $ABCD$ is cut into two congruent hexagons, as shown, in such a way that the two hexagons can be repositioned without overlap to form a square. What is $y?$

$6$

$7$

$8$

$9$

$10$

Conceptos:área descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1190

Solución:

El área del rectángulo es $8 \cdot 18 = 144$ , así que el cuadrado formado tiene lado $\sqrt{144} = 12$ .

A lo largo del borde superior, las tres piezas horizontales iguales satisfacen $DE = y = FB$ con $DE + y + FB = 18$ . Por lo tanto $3y = 18$ , así que $y = 6$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The rectangle's area is $8 \cdot 18 = 144,$ so the square formed has side $\sqrt{144} = 12.$

Along the top edge the three equal horizontal pieces satisfy $DE = y = FB$ with $DE + y + FB = 18.$ Hence $3y = 18,$ so $y = 6.$

Thus, the correct answer is A.

8.

Una parábola con ecuación $y = x^2 + bx + c$ pasa por los puntos $(2, 3)$ y $(4, 3)$ . ¿Cuánto vale $c$ ?

A parabola with equation $y = x^2 + bx + c$ passes through the points $(2, 3)$ and $(4, 3).$ What is $c?$

$2$

$5$

$7$

$10$

$11$

Conceptos:parábola sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Sustituyendo los puntos se obtiene $3 = 4 + 2b + c$ y $3 = 16 + 4b + c$ . Restando resulta $0 = 12 + 2b$ , así que $b = -6$ .

Entonces $c = 3 - 4 - 2(-6) = 11$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Substituting the points gives $3 = 4 + 2b + c$ and $3 = 16 + 4b + c.$ Subtracting yields $0 = 12 + 2b,$ so $b = -6.$

Then $c = 3 - 4 - 2(-6) = 11.$

Thus, the correct answer is E.

9.

¿Cuántos conjuntos de dos o más enteros positivos consecutivos tienen suma $15$ ?

How many sets of two or more consecutive positive integers have a sum of $15?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

La suma de $n$ enteros consecutivos es igual a $n$ veces su mediana. Para una suma de $15$ : $n = 2$ da $7 + 8,$ $n = 3$ da $4 + 5 + 6,$ y $n = 5$ da $1 + 2 + 3 + 4 + 5.$

Ningún conjunto de $4$ funciona (su suma es par), y $6$ o más enteros positivos consecutivos ya superan $15$ . Hay $3$ tales conjuntos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of $n$ consecutive integers equals $n$ times their median. For a sum of $15$ : $n = 2$ gives $7 + 8,$ $n = 3$ gives $4 + 5 + 6,$ and $n = 5$ gives $1 + 2 + 3 + 4 + 5.$

No set of $4$ works (their sum is even), and $6$ or more consecutive positive integers already exceed $15.$ There are $3$ such sets.

Thus, the correct answer is C.

10.

¿Para cuántos valores reales de $x$ es $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ un entero?

For how many real values of $x$ is $\sqrt{120 - \sqrt{x}}$ an integer?

$3$

$6$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:radical conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

Sea $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.$ Como $\sqrt{x} \ge 0,$ necesitamos $0 \le k \le \sqrt{120},$ así que $k \in \{0, 1, \ldots, 10\},$ lo que da $11$ valores.

Cada $k$ produce $\sqrt{x} = 120 - k^2,$ y como $120 - k^2$ es positivo y estrictamente decreciente, los valores resultantes $x = (120 - k^2)^2$ son distintos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let $k = \sqrt{120 - \sqrt{x}}.$ Since $\sqrt{x} \ge 0,$ we need $0 \le k \le \sqrt{120},$ so $k \in \{0, 1, \ldots, 10\},$ giving $11$ values.

Each $k$ yields $\sqrt{x} = 120 - k^2,$ and since $120 - k^2$ is positive and strictly decreasing, the resulting values $x = (120 - k^2)^2$ are distinct.

Thus, the correct answer is E.

11.

¿Cuál de las siguientes opciones describe la gráfica de la ecuación $(x + y)^2 = x^2 + y^2$ ?

Which of the following describes the graph of the equation $(x + y)^2 = x^2 + y^2?$

el conjunto vacío

the empty set

un punto

one point

dos rectas

two lines

una circunferencia

a circle

todo el plano

the entire plane

Conceptos:manipulación algebraica geometría analítica

Nivel de dificultad: 1270

Solución:

Desarrollando, $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2,$ que se reduce a $2xy = 0,$ es decir $xy = 0.$

Esto se cumple exactamente cuando $x = 0$ o $y = 0,$ los dos ejes coordenados, así que la gráfica son dos rectas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Expanding, $x^2 + 2xy + y^2 = x^2 + y^2,$ which reduces to $2xy = 0,$ i.e. $xy = 0.$

This holds exactly when $x = 0$ or $y = 0,$ the two coordinate axes, so the graph is two lines.

Thus, the correct answer is C.

12.

Rolly quiere sujetar a su perro con una cuerda de $8$ pies a un cobertizo cuadrado de $16$ pies por lado. Se muestran sus dibujos preliminares.

¿Cuál de estas disposiciones da al perro mayor área para moverse, y por cuántos pies cuadrados?

Rolly wishes to secure his dog with an $8$ -foot rope to a square shed that is $16$ feet on each side. His preliminary drawings are shown.

Which of these arrangements gives the dog the greater area to roam, and by how many square feet?

I, por $8\pi$

I, by $8\pi$

I, por $6\pi$

I, by $6\pi$

II, por $4\pi$

II, by $4\pi$

II, por $8\pi$

II, by $8\pi$

II, por $10\pi$

II, by $10\pi$

Conceptos:sector circular área del círculo

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

En la disposición I el perro está atado en el punto medio de un lado y barre un semidisco de radio $8$ : área $\frac12 \pi \cdot 8^2 = 32\pi.$ La cuerda llega exactamente a las esquinas, así que nada se envuelve.

En la disposición II el perro está atado a $4$ pies de una esquina. Barre el mismo semidisco de $32\pi$ , y después de que la cuerda llega a la esquina, quedan $4$ pies para barrer un cuarto de disco de radio $4$ : $\frac14 \pi \cdot 4^2 = 4\pi.$

Así que II da $36\pi,$ superando a I por $4\pi.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

In arrangement I the dog is tied at the middle of a side and sweeps a half-disk of radius $8$ : area $\frac12 \pi \cdot 8^2 = 32\pi.$ The rope reaches exactly to the corners, so nothing wraps.

In arrangement II the dog is tied $4$ feet from a corner. It sweeps the same $32\pi$ half-disk, and after the rope reaches the corner, $4$ feet remain to sweep a quarter-disk of radius $4$ : $\frac14 \pi \cdot 4^2 = 4\pi.$

So II gives $36\pi,$ exceeding I by $4\pi.$

Thus, the correct answer is C.

13.

Un jugador paga $\$5$ para jugar un juego. Se lanza un dado. Si el número del dado es impar, se pierde el juego. Si el número del dado es par, se lanza el dado otra vez. En este caso el jugador gana si el segundo número coincide con el primero y pierde en caso contrario. ¿Cuánto debería ganar el jugador si el juego es justo? (En un juego justo, la probabilidad de ganar por la cantidad ganada es lo que el jugador debería pagar.)

A player pays $\$5$ to play a game. A die is rolled. If the number on the die is odd, the game is lost. If the number on the die is even, the die is rolled again. In this case the player wins if the second number matches the first and loses otherwise. How much should the player win if the game is fair? (In a fair game the probability of winning times the amount won is what the player should pay.)

$\$12$

$\$30$

$\$50$

$\$60$

$\$100$

Conceptos:valor esperado dados (probabilidad)

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

El jugador gana solo si el primer lanzamiento es par (probabilidad $\frac12$ ) y el segundo lanzamiento coincide con él (probabilidad $\frac16$ ), así que $P(\text{win}) = \frac12 \cdot \frac16 = \frac{1}{12}.$

Para un juego justo, $\frac{1}{12} x = 5,$ así que $x = 60.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The player wins only if the first roll is even (probability $\frac12$ ) and the second roll matches it (probability $\frac16$ ), so $P(\text{win}) = \frac12 \cdot \frac16 = \frac{1}{12}.$

For a fair game, $\frac{1}{12} x = 5,$ so $x = 60.$

Thus, the correct answer is D.

14.

Varios anillos enlazados, cada uno de $1$ cm de grosor, cuelgan de un clavo. El anillo superior tiene un diámetro exterior de $20$ cm. El diámetro exterior de cada uno de los otros anillos es $1$ cm menor que el del anillo que está encima. El anillo inferior tiene un diámetro exterior de $3$ cm. ¿Cuál es la distancia, en cm, desde la parte superior del anillo superior hasta la parte inferior del anillo inferior?

A number of linked rings, each $1$ cm thick, are hanging on a peg. The top ring has an outside diameter of $20$ cm. The outside diameter of each of the other rings is $1$ cm less than that of the ring above it. The bottom ring has an outside diameter of $3$ cm. What is the distance, in cm, from the top of the top ring to the bottom of the bottom ring?

$171$

$173$

$182$

$188$

$210$

Conceptos:sucesión aritmética sumatoria

Nivel de dificultad: 1330

Solución:

El anillo superior aporta su diámetro exterior completo, $20$ cm. Como los anillos tienen $1$ cm de grosor, cada anillo cuelga $2$ cm por debajo de la parte superior del anillo que está encima, así que cada anillo inferior añade su diámetro exterior menos $2.$

Los diámetros exteriores son $20, 19, \ldots, 3,$ así que las distancias añadidas son $17, 16, \ldots, 1.$ El total es $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The top ring contributes its full outside diameter, $20$ cm. Because the rings are $1$ cm thick, each ring hangs $2$ cm below the top of the ring above it, so each lower ring adds its outside diameter minus $2.$

The outside diameters run $20, 19, \ldots, 3,$ so the added distances are $17, 16, \ldots, 1.$ The total is $\begin{gathered} 20 + (17 + 16 + \cdots + 1) \\ = 20 + \frac{17 \cdot 18}{2} \\ = 20 + 153 \\ = 173. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

15.

Odell y Kershaw corren durante $30$ minutos en una pista circular. Odell corre en sentido horario a $250$ m/min y usa el carril interior con un radio de $50$ metros. Kershaw corre en sentido antihorario a $300$ m/min y usa el carril exterior con un radio de $60$ metros, comenzando en la misma línea radial que Odell. ¿Cuántas veces se cruzan después de la salida?

Odell and Kershaw run for $30$ minutes on a circular track. Odell runs clockwise at $250$ m/min and uses the inner lane with a radius of $50$ meters. Kershaw runs counterclockwise at $300$ m/min and uses the outer lane with a radius of $60$ meters, starting on the same radial line as Odell. How many times after the start do they pass each other?

$29$

$42$

$45$

$47$

$50$

Conceptos:velocidad relativa distancia, velocidad y tiempo circunferencia

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

La vuelta de Odell es $2\pi(50) = 100\pi$ m a $250$ m/min, tomando $\frac{100\pi}{250} = 0.4\pi$ min. La vuelta de Kershaw es $2\pi(60) = 120\pi$ m a $300$ m/min, también $\frac{120\pi}{300} = 0.4\pi$ min.

Sus períodos son iguales. Corriendo en direcciones opuestas, se encuentran en los instantes $t = \frac{k}{2}(0.4\pi)$ para $k = 1, 2, \ldots$ Exigir $t \le 30$ da $k \le \frac{60}{0.4\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47.7,$ así que se cruzan $47$ veces.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Odell's lap is $2\pi(50) = 100\pi$ m at $250$ m/min, taking $\frac{100\pi}{250} = 0.4\pi$ min. Kershaw's lap is $2\pi(60) = 120\pi$ m at $300$ m/min, also $\frac{120\pi}{300} = 0.4\pi$ min.

Their periods are equal. Running in opposite directions, they meet at times $t = \frac{k}{2}(0.4\pi)$ for $k = 1, 2, \ldots$ Requiring $t \le 30$ gives $k \le \frac{60}{0.4\pi} = \frac{150}{\pi} \approx 47.7,$ so they pass $47$ times.

Thus, the correct answer is D.

16.

Una circunferencia de radio $1$ es tangente a una circunferencia de radio $2.$ Los lados de $\triangle ABC$ son tangentes a las circunferencias como se muestra, y los lados $AB$ y $AC$ son congruentes. ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

A circle of radius $1$ is tangent to a circle of radius $2.$ The sides of $\triangle ABC$ are tangent to the circles as shown, and the sides $AB$ and $AC$ are congruent. What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{35}{2}$

$15\sqrt{2}$

$\dfrac{64}{3}$

$16\sqrt{2}$

$24$

Conceptos:circunferencias tangentes semejanza triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1720

Solución:

Sean $O, O'$ los centros de la circunferencia pequeña y la grande, y sea $D$ el punto donde la circunferencia pequeña toca $AC.$ Los triángulos rectángulos recortados a lo largo de $AC$ son semejantes, así que $\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},$ lo que da $AO = 3$ y $AO' = 6.$

La longitud de la tangente es $AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}$ $= \sqrt{3^2 - 1^2}$ $= 2\sqrt2.$ Sea $F$ el punto medio de $BC$ ; entonces $AF = AO' + 2 = 8.$

Como $\triangle ADO \sim \triangle AFC,$ obtenemos $\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.$ Por lo tanto $BC = 4\sqrt2,$ y el área es $\frac12 \cdot BC \cdot AF$ $= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8$ $= 16\sqrt2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $O, O'$ be the centers of the small and large circles, and let $D$ be the point where the small circle touches $AC.$ The right triangles cut off along $AC$ are similar, so $\frac{AO}{1} = \frac{AO + 3}{2},$ giving $AO = 3$ and $AO' = 6.$

The tangent length is $AD = \sqrt{AO^2 - 1^2}$ $= \sqrt{3^2 - 1^2}$ $= 2\sqrt2.$ Let $F$ be the midpoint of $BC$ ; then $AF = AO' + 2 = 8.$

Since $\triangle ADO \sim \triangle AFC,$ we get $\frac{FC}{1} = \frac{AF}{2\sqrt2} = \frac{8}{2\sqrt2} = 2\sqrt2.$ Thus $BC = 4\sqrt2,$ and the area is $\frac12 \cdot BC \cdot AF$ $= \frac12 \cdot 4\sqrt2 \cdot 8$ $= 16\sqrt2.$

Thus, the correct answer is D.

17.

En el rectángulo $ADEH,$ los puntos $B$ y $C$ trisecan $\overline{AD},$ y los puntos $G$ y $F$ trisecan $\overline{HE}.$ Además, $AH = AC = 2.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $WXYZ$ que se muestra en la figura?

In rectangle $ADEH,$ points $B$ and $C$ trisect $\overline{AD},$ and points $G$ and $F$ trisect $\overline{HE}.$ In addition, $AH = AC = 2.$ What is the area of quadrilateral $WXYZ$ shown in the figure?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$\dfrac{2\sqrt{2}}{3}$

$\dfrac{2\sqrt{3}}{3}$

Conceptos:geometría analítica área cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1540

Solución:

Toma $A = (0, 0),$ $D = (3, 0),$ $H = (0, 2),$ así que $B = (1, 0),$ $C = (2, 0),$ $G = (1, 2),$ $F = (2, 2),$ y $E = (3, 2).$

Los segmentos dibujados se cortan en $W = (1.5, 1.5),$ $X = (1, 1),$ $Y = (1.5, 0.5),$ y $Z = (2, 1).$ Estos forman un cuadrado cuyas diagonales perpendiculares $WY$ y $XZ$ tienen cada una longitud $1.$

Su área es $\frac12 \cdot 1 \cdot 1 = \frac12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Set $A = (0, 0),$ $D = (3, 0),$ $H = (0, 2),$ so $B = (1, 0),$ $C = (2, 0),$ $G = (1, 2),$ $F = (2, 2),$ and $E = (3, 2).$

The drawn segments meet at $W = (1.5, 1.5),$ $X = (1, 1),$ $Y = (1.5, 0.5),$ and $Z = (2, 1).$ These form a square whose perpendicular diagonals $WY$ and $XZ$ each have length $1.$

Its area is $\frac12 \cdot 1 \cdot 1 = \frac12.$

Thus, the correct answer is A.

18.

Una placa de matrícula en cierto estado consiste en $4$ dígitos, no necesariamente distintos, y $2$ letras, también no necesariamente distintas. Estos seis caracteres pueden aparecer en cualquier orden, salvo que las dos letras deben aparecer juntas. ¿Cuántas placas distintas son posibles?

A license plate in a certain state consists of $4$ digits, not necessarily distinct, and $2$ letters, also not necessarily distinct. These six characters may appear in any order, except that the two letters must appear next to each other. How many distinct license plates are possible?

$10^4 \cdot 26^2$

$10^3 \cdot 26^3$

$5 \cdot 10^4 \cdot 26^2$

$10^2 \cdot 26^4$

$5 \cdot 10^3 \cdot 26^3$

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1450

Solución:

Como las dos letras deben ser adyacentes, trátalas como un solo bloque. Una placa es entonces $4$ dígitos más este bloque, es decir $5$ objetos, y el bloque puede ocupar $5$ posiciones.

Hay $10^4$ opciones para los dígitos y $26^2$ para las dos letras, así que el total es $5 \cdot 10^4 \cdot 26^2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Since the two letters must be adjacent, treat them as one block. A plate is then $4$ digits plus this block— $5$ objects—and the block can occupy $5$ positions.

There are $10^4$ choices for the digits and $26^2$ for the two letters, so the total is $5 \cdot 10^4 \cdot 26^2.$

Thus, the correct answer is C.

19.

¿Cuántos triángulos no semejantes tienen ángulos cuyas medidas en grados son enteros positivos distintos en progresión aritmética?

How many non-similar triangles have angles whose degree measures are distinct positive integers in arithmetic progression?

$0$

$1$

$59$

$89$

$178$

Conceptos:suma de ángulos sucesión aritmética conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Sean los ángulos $n - d,$ $n,$ $n + d.$ Su suma es $3n = 180,$ así que $n = 60.$

Las medidas son enteros positivos distintos, así que $d \ge 1,$ y $n - d \gt 0$ obliga a $d \lt 60.$ Por lo tanto $d \in \{1, 2, \ldots, 59\},$ lo que da $59$ triángulos no semejantes.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let the angles be $n - d,$ $n,$ $n + d.$ Their sum is $3n = 180,$ so $n = 60.$

The measures are distinct positive integers, so $d \ge 1,$ and $n - d \gt 0$ forces $d \lt 60.$ Thus $d \in \{1, 2, \ldots, 59\},$ giving $59$ non-similar triangles.

Thus, the correct answer is C.

20.

Se eligen al azar seis enteros positivos distintos entre $1$ y $2006,$ inclusive. ¿Cuál es la probabilidad de que algún par de estos enteros tenga una diferencia que sea múltiplo de $5$ ?

Six distinct positive integers are randomly chosen between $1$ and $2006,$ inclusive. What is the probability that some pair of these integers has a difference that is a multiple of $5?$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{2}{3}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Conceptos:principio del palomar aritmética modular

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Agrupa los enteros por su residuo módulo $5.$ Solo hay $5$ residuos posibles pero $6$ enteros, así que por el Principio del Palomar dos comparten un residuo.

Su diferencia es entonces un múltiplo de $5.$ Esto siempre ocurre, así que la probabilidad es $1.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Group the integers by their remainder modulo $5.$ There are only $5$ possible remainders but $6$ integers, so by the Pigeonhole Principle two share a remainder.

Their difference is then a multiple of $5.$ This always happens, so the probability is $1.$

Thus, the correct answer is E.

21.

¿Cuántos enteros positivos de cuatro dígitos tienen al menos un dígito que sea un $2$ o un $3$ ?

How many four-digit positive integers have at least one digit that is a $2$ or a $3?$

$2439$

$4096$

$4903$

$4904$

$5416$

Conceptos:conteo complementario dígitos

Nivel de dificultad: 1450

Solución:

Hay $9000$ enteros de cuatro dígitos. Para los que evitan el $2$ y el $3,$ el dígito inicial es uno de $\{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ( $7$ opciones) y cada dígito restante es uno de $\{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ( $8$ opciones): $7 \cdot 8^3 = 3584.$

Así que $9000 - 3584 = 5416$ tienen al menos un $2$ o un $3.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

There are $9000$ four-digit integers. For those avoiding $2$ and $3,$ the leading digit is one of $\{1, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ( $7$ choices) and each remaining digit is one of $\{0, 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ ( $8$ choices): $7 \cdot 8^3 = 3584.$

So $9000 - 3584 = 5416$ have at least one $2$ or $3.$

Thus, the correct answer is E.

22.

Dos granjeros acuerdan que los cerdos valen $\$300$ y que las cabras valen $\$210.$ Cuando un granjero le debe dinero al otro, paga la deuda con cerdos o cabras, recibiendo "cambio" en forma de cabras o cerdos según sea necesario. (Por ejemplo, una deuda de $\$390$ podría pagarse con dos cerdos, recibiendo una cabra de cambio.) ¿Cuál es el monto de la menor deuda positiva que puede saldarse de esta manera?

Two farmers agree that pigs are worth $\$300$ and that goats are worth $\$210.$ When one farmer owes the other money, he pays the debt in pigs or goats, with "change" received in the form of goats or pigs as necessary. (For example, a $\$390$ debt could be paid with two pigs, with one goat received in change.) What is the amount of the smallest positive debt that can be resolved in this way?

$\$5$

$\$10$

$\$30$

$\$90$

$\$210$

Conceptos:máximo común divisor Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1630

Solución:

Una deuda saldable es $D = 300p + 210g$ para enteros $p, g,$ donde un valor negativo significa cambio recibido. Como $D = 30(10p + 7g)$ y $\gcd(10, 7) = 1,$ el valor $10p + 7g$ puede ser cualquier entero, así que $D$ es cualquier múltiplo de $30.$

El menor positivo es $30,$ logrado con $30 = 300(-2) + 210(3)$ (entregar $3$ cabras, recibir $2$ cerdos).

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A resolvable debt is $D = 300p + 210g$ for integers $p, g,$ where a negative value means change received. Since $D = 30(10p + 7g)$ and $\gcd(10, 7) = 1,$ the value $10p + 7g$ can be any integer, so $D$ is any multiple of $30.$

The smallest positive one is $30,$ achieved by $30 = 300(-2) + 210(3)$ (give $3$ goats, receive $2$ pigs).

Thus, the correct answer is C.

23.

Las circunferencias con centros $A$ y $B$ tienen radios $3$ y $8,$ respectivamente. Una tangente interior común toca las circunferencias en $C$ y $D,$ como se muestra. Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E,$ y $AE = 5.$ ¿Cuánto vale $CD$ ?

Circles with centers $A$ and $B$ have radii $3$ and $8,$ respectively. A common internal tangent touches the circles at $C$ and $D,$ as shown. Lines $AB$ and $CD$ intersect at $E,$ and $AE = 5.$ What is $CD?$

$13$

$\dfrac{44}{3}$

$\sqrt{221}$

$\sqrt{255}$

$\dfrac{55}{3}$

Conceptos:recta tangente semejanza Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1720

Solución:

Como $AC \perp CD,$ tenemos $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}$ $= \sqrt{25 - 9}$ $= 4.$

Como $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ $\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},$ así que $DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.$

Entonces $CD = CE + DE$ $= 4 + \frac{32}{3}$ $= \frac{44}{3}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $AC \perp CD,$ we have $CE = \sqrt{AE^2 - AC^2}$ $= \sqrt{25 - 9}$ $= 4.$

Because $\triangle ACE \sim \triangle BDE,$ $\frac{DE}{CE} = \frac{BD}{AC},$ so $DE = 4 \cdot \frac{8}{3} = \frac{32}{3}.$

Then $CD = CE + DE$ $= 4 + \frac{32}{3}$ $= \frac{44}{3}.$

Thus, the correct answer is B.

24.

Los centros de caras adyacentes de un cubo unitario se unen para formar un octaedro regular. ¿Cuál es el volumen de este octaedro?

Centers of adjacent faces of a unit cube are joined to form a regular octahedron. What is the volume of this octahedron?

$\dfrac{1}{8}$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:Geometría 3D pirámide volumen

Nivel de dificultad: 1760

Solución:

Los seis centros de caras forman un octaedro regular, visto como dos pirámides cuadrangulares congruentes que comparten una base. Los centros de caras adyacentes están a $\frac{\sqrt2}{2}$ de distancia, así que la base cuadrada tiene área $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac12.$

Cada pirámide tiene altura $\frac12,$ así que su volumen es $\frac13 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac{1}{12}.$ El octaedro tiene volumen $2 \cdot \frac{1}{12} = \frac16.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The six face centers form a regular octahedron, viewed as two congruent square pyramids sharing a base. Adjacent face centers are $\frac{\sqrt2}{2}$ apart, so the square base has area $\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2 = \frac12.$

Each pyramid has height $\frac12,$ so its volume is $\frac13 \cdot \frac12 \cdot \frac12 = \frac{1}{12}.$ The octahedron has volume $2 \cdot \frac{1}{12} = \frac16.$

Thus, the correct answer is B.

25.

Un insecto parte de un vértice de un cubo y se mueve a lo largo de las aristas del cubo según la siguiente regla. En cada vértice el insecto elige recorrer una de las tres aristas que salen de ese vértice. Cada arista tiene la misma probabilidad de ser elegida, y todas las elecciones son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que después de siete movimientos el insecto haya visitado cada vértice exactamente una vez?

A bug starts at one vertex of a cube and moves along the edges of the cube according to the following rule. At each vertex the bug will choose to travel along one of the three edges emanating from that vertex. Each edge has equal probability of being chosen, and all choices are independent. What is the probability that after seven moves the bug will have visited every vertex exactly once?

$\dfrac{1}{2187}$

$\dfrac{1}{729}$

$\dfrac{2}{243}$

$\dfrac{1}{81}$

$\dfrac{5}{243}$

Conceptos:teoría de grafos probabilidad básica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2120

Solución:

Después de $7$ movimientos hay $3^7 = 2187$ recorridos igualmente probables.

Un recorrido exitoso visita cada vértice exactamente una vez. Desde el inicio hay $3$ opciones para el primer movimiento y $2$ para el segundo (sin regresar). Etiquetando los primeros tres vértices como $A, B, C,$ el insecto debe moverse a uno de dos vértices, después de lo cual la ruta queda forzada salvo una única elección binaria, lo que da $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ tales caminos.

La probabilidad es $\frac{18}{2187} = \frac{2}{243}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

After $7$ moves there are $3^7 = 2187$ equally likely walks. A successful walk visits every vertex exactly once.

From the start there are $3$ choices for the first move and $2$ for the second (not returning). Labeling the first three vertices $A, B, C,$ the bug must move to one of two vertices, after which the route is forced except for a single binary choice, giving $3 \cdot 2 \cdot 3 = 18$ such paths.

The probability is $\frac{18}{2187} = \frac{2}{243}.$

Thus, the correct answer is C.