Question

Los puntos $A$ y $B$ están en un círculo de radio $5$ y $AB=6.$ El punto $C$ es el punto medio del arco menor $AB.$ ¿Cuál es la longitud del segmento $AC$ ?

Points $A$ and $B$ are on a circle of radius $5$ and $AB=6.$ Point $C$ is the midpoint of the minor arc $AB.$ What is the length of the line segment $AC?$

$\sqrt{10}$

$\dfrac{7}{2}$

$\sqrt{14}$

$\sqrt{15}$

$4$

Respuesta: A

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras círculo

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

La recta desde el centro que pasa por $C$ biseca perpendicularmente la cuerda $AB$ .

The line from the center through $C$ perpendicularly bisects chord $AB$

Pista grande:

Halla la distancia del centro a la cuerda, réstala de $5$ para llegar a $C,$ luego usa el triángulo rectángulo con cateto $3$ .

Find the center-to-chord distance, subtract from $5$ to reach $C,$ then use the right triangle with leg $3$

Solución:

Sea $O$ el centro y $D$ el punto medio de $AB.$ Entonces $OD\perp AB$ con $AD=3,$ así que $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Como $C$ es el punto medio del arco menor, $O,$ $D,$ $C$ son colineales y $DC=OC-OD=5-4=1.$

Entonces $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $O$ be the center and $D$ the midpoint of $AB.$ Then $OD\perp AB$ with $AD=3,$ so $OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.$

Since $C$ is the midpoint of the minor arc, $O,$ $D,$ $C$ are collinear and $DC=OC-OD=5-4=1.$

Then $AC=\sqrt{AD^2+DC^2}$ $=\sqrt{3^2+1^2}$ $=\sqrt{10}.$

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años