Question

Los puntos

A

y

B

están en un círculo de radio

5

y

AB=6.

El punto

C

es el punto medio del arco menor

AB.

¿Cuál es la longitud del segmento

AC

?

Points

A

and

B

are on a circle of radius

5

and

AB=6.

Point

C

is the midpoint of the minor arc

AB.

What is the length of the line segment

AC?

\sqrt{10}

\dfrac{7}{2}

\sqrt{14}

\sqrt{15}

4

Respuesta: A

Conceptos:cuerda Teorema de Pitágoras círculo

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

La recta desde el centro que pasa por

C

biseca perpendicularmente la cuerda

AB

.

The line from the center through

C

perpendicularly bisects chord

AB

Pista grande:

Halla la distancia del centro a la cuerda, réstala de

5

para llegar a

C,

luego usa el triángulo rectángulo con cateto

3

.

Find the center-to-chord distance, subtract from

5

to reach

C,

then use the right triangle with leg

3

Solución:

Sea

O

el centro y

D

el punto medio de

AB.

Entonces

OD\perp AB

con

AD=3,

así que

OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.

Como

C

es el punto medio del arco menor,

O,

D,

C

son colineales y

DC=OC-OD=5-4=1.

Entonces

AC=\sqrt{AD^2+DC^2}

=\sqrt{3^2+1^2}

=\sqrt{10}.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let

O

be the center and

D

the midpoint of

AB.

Then

OD\perp AB

with

AD=3,

so

OD=\sqrt{5^2-3^2}=4.

Since

C

is the midpoint of the minor arc,

O,

D,

C

are collinear and

DC=OC-OD=5-4=1.

Then

AC=\sqrt{AD^2+DC^2}

=\sqrt{3^2+1^2}

=\sqrt{10}.

Thus, the correct answer is A.

2008 AMC 10B Problema 10

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 10 en otros años