Soluciones del 2012 AMC 10A | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Cagney puede glasear un pastelito cada $20$ segundos y Lacey puede glasear un pastelito cada $30$ segundos. Trabajando juntas, ¿cuántos pastelitos pueden glasear en $5$ minutos?

Cagney can frost a cupcake every $20$ seconds and Lacey can frost a cupcake every $30$ seconds. Working together, how many cupcakes can they frost in $5$ minutes?

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

Conceptos:tasa conversión de unidades

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Convierte cada velocidad de glaseado a pastelitos por minuto.

Convert each frosting rate to cupcakes per minute

Pista grande:

Suma las dos velocidades y luego multiplica por $5$ minutos.

Add the two rates, then multiply by $5$ minutes

Solución:

Cagney puede hacer $60 \div 20 = 3$ pastelitos por minuto, y Lacey puede hacer $60 \div 30 = 2.$

En $5$ minutos, pueden hacer $5(2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Cagney can make $60 \div 20 = 3$ cupcakes per minute, and Lacey can make $60 \div 30 = 2.$

In $5$ minutes, they can make $5(2 + 3) = 5 \cdot 5 = 25.$

Thus, D is the correct answer.

2.

Un cuadrado de lado $8$ se corta por la mitad, formando dos rectángulos congruentes. ¿Cuáles son las dimensiones de uno de estos rectángulos?

A square with side length $8$ is cut in half, creating two congruent rectangles. What are the dimensions of one of these rectangles?

$2 \text{ por } 4$

$2 \text{ by } 4$

$2 \text{ por } 6$

$2 \text{ by } 6$

$2 \text{ por } 8$

$2 \text{ by } 8$

$4 \text{ por } 4$

$4 \text{ by } 4$

$4 \text{ por } 8$

$4 \text{ by } 8$

Conceptos:cuadrado (geometría)rectángulo

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Un lado de cada rectángulo sigue siendo $8$ .

One side of each rectangle stays $8$

Pista grande:

El otro lado es la mitad del lado del cuadrado.

The other side is half of the square side length

Solución:

Observa que uno de los lados sigue siendo igual que el del cuadrado original.

Esto significa que una dimensión es $8.$ La otra dimensión es el lado original cortado a la mitad, es decir $4.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Note that the one of the sides remains the same as the original square.

This means that one dimension is $8.$ The other dimension is the original side cut in half, which is $4.$

Thus, E is the correct answer.

3.

Un insecto se arrastra a lo largo de una recta numérica, comenzando en $-2.$ Se arrastra hasta $-6,$ luego da la vuelta y se arrastra hasta $5.$ ¿Cuántas unidades se arrastra el insecto en total?

A bug crawls along a number line, starting at $-2.$ It crawls to $-6,$ then turns around and crawls to $5.$ How many units does the bug crawl altogether?

$9$

$11$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:valor absoluto

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Suma la distancia de $-2$ a $-6$ y de $-6$ a $5$ .

Add the distance from $-2$ to $-6$ and from $-6$ to $5$

Pista grande:

La distancia en una recta numérica se calcula con diferencias absolutas.

Distance on a number line uses absolute differences

Solución:

Recorre una distancia de $|-2 - (-6)| = |4| = 4$ cuando se mueve de $-2$ a $-6.$ Luego recorre una distancia de $|-6 - 5| = |-11| = 11$ al moverse de $-6$ a $5.$

La distancia total es entonces $4 + 11 = 15.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

It crawls a distance of $|-2 - (-6)| = |4| = 4$ when it moves from $-2$ to $-6.$ It then travels a distance of $|-6 - 5| = |-11| = 11$ as it moves from $-6$ to $5.$

The total distance is then $4 + 11 = 15.$

Thus, E is the correct answer.

4.

Sean $\angle ABC = 24^\circ$ y $\angle ABD = 20^\circ .$ ¿Cuál es la menor medida en grados posible para $\angle CBD$ ?

Let $\angle ABC = 24^\circ$ and $\angle ABD = 20^\circ .$ What is the smallest possible degree measure for $\angle CBD?$

$0$

$2$

$4$

$6$

$12$

Conceptos:persecución de ángulos optimización

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Ambos ángulos comparten el rayo $BA$ .

Both angles share ray $BA$

Pista grande:

El ángulo más pequeño ocurre cuando los dos ángulos dados se superponen lo máximo posible.

The smallest angle occurs when the two given angles overlap as much as possible

Solución:

Observa que ambos ángulos comparten el rayo $AB.$ Para minimizar el grado deseado, queremos que $D$ esté entre $A$ y $C.$

Esto daría $\begin{aligned} \angle CBD &= \angle ABC - \angle ABD \\ &= 4^{\circ}. \end{aligned}$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that both of the angles share the ray $AB.$ To minimize the desired degree, we want $D$ to be between $A$ and $C.$

This would make $\begin{aligned} \angle CBD &= \angle ABC - \angle ABD \\ &= 4^{\circ}. \end{aligned}$

Thus, C is the correct answer.

5.

El año pasado llevaron $100$ gatos adultos, la mitad de los cuales eran hembras, al refugio de animales de Smallville. La mitad de las gatas adultas venían acompañadas de una camada de gatitos. El número promedio de gatitos por camada era $4.$ ¿Cuál fue el número total de gatos y gatitos que recibió el refugio el año pasado?

Last year $100$ adult cats, half of whom were female, were brought into the Smallville Animal Shelter. Half of the adult female cats were accompanied by a litter of kittens. The average number of kittens per litter was $4.$ What was the total number of cats and kittens received by the shelter last year?

$150$

$200$

$250$

$300$

$400$

Conceptos:fracción media

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

La mitad de los gatos adultos son hembras, y la mitad de ellas tienen camadas.

Half the adult cats are female, and half of those have litters

Pista grande:

Multiplica el número de camadas por el tamaño promedio de la camada.

Multiply the number of litters by the average litter size

Solución:

Tenemos que hay $100 \div 2 = 50$ gatas. Luego tenemos que $50 \div 2 = 25$ gatas tienen gatitos.

Como el número promedio de gatitos por camada es $4,$ el número total de gatitos es $4 \cdot 25 = 100.$

El número total de gatos y gatitos es entonces $100 + 100 = 200.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We have that there are $100 \div 2 = 50$ female cats. We then have that $50 \div 2 = 25$ cats that have kittens.

Since the average number of kittens per litter is $4,$ the total number of kittens is $4 \cdot 25 = 100.$

The total number of cats and kittens is then $100 + 100 = 200.$

Thus, B is the correct answer.

6.

El producto de dos números positivos es $9.$ El recíproco de uno de estos números es $4$ veces el recíproco del otro número. ¿Cuál es la suma de los dos números?

The product of two positive numbers is $9.$ The reciprocal of one of these numbers is $4$ times the reciprocal of the other number. What is the sum of the two numbers?

$\dfrac{10}{3}$

$\dfrac{20}{3}$

$7$

$\dfrac{15}{2}$

$8$

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación racional

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Sean los dos números $x$ y $y$ .

Let the two numbers be $x$ and $y$

Pista grande:

Usa $xy=9$ y la condición de los recíprocos para relacionar $x$ y $y$ .

Use $xy=9$ and the reciprocal condition to relate $x$ and $y$

Solución:

Sean los dos números $x$ y $y$ tales que $xy = 9 \text{ y } \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{y}.$

Obtenemos que $y = \dfrac{9}{x}$ $\dfrac{1}{x} = \dfrac{4x}{9}.$ $x = \dfrac{3}{2},$ ya que $x$ es positivo.

Entonces $y = 9 \div \dfrac{3}{2} = 6.$

La suma buscada es entonces $6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the two numbers be $x$ and $y$ such that $xy = 9 \text{ and } \dfrac{1}{x} = \dfrac{4}{y}.$

We get that $y = \dfrac{9}{x}$ $\dfrac{1}{x} = \dfrac{4x}{9}.$ $x = \dfrac{3}{2},$ since $x$ is positive.

Then $y = 9 \div \dfrac{3}{2} = 6.$

The desired sum is then $6 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{15}{2}.$

Thus, D is the correct answer.

7.

En una bolsa de canicas, $\dfrac{3}{5}$ de las canicas son azules y el resto son rojas. Si el número de canicas rojas se duplica y el número de canicas azules permanece igual, ¿qué fracción de las canicas será roja?

In a bag of marbles, $\dfrac{3}{5}$ of the marbles are blue and the rest are red. If the number of red marbles is doubled and the number of blue marbles stays the same, what fraction of the marbles will be red?

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{7}$

$\dfrac{4}{7}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

Conceptos:razón y proporción fracción

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Comienza con una razón $3:2$ de canicas azules a rojas.

Start with a $3:2$ ratio of blue to red marbles

Pista grande:

Al duplicar las canicas rojas, la razón cambia a $3:4$ .

Doubling the red marbles changes the ratio to $3:4$

Solución:

Sin pérdida de generalidad, supongamos que el número de canicas en la bolsa es $5.$ Como solo nos importan las razones, podemos hacer esto. Entonces hay $3$ canicas azules y $2$ canicas rojas.

Al duplicar las canicas rojas obtenemos $4$ de ellas. Entonces la fracción de canicas rojas es $\dfrac{4}{4 + 3} = \dfrac{4}{7}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

WLOG, let the number of marbles in the bag be $5.$ Since we only care about ratios, we can do this. Then there are $3$ blue marbles and $2$ red marbles.

Doubling the red marbles gives us $4$ of them. Then the fraction of red marbles is $\dfrac{4}{4 + 3} = \dfrac{4}{7}.$

Thus, C is the correct answer.

8.

Las sumas de tres números enteros tomados de dos en dos son $12,$ $17,$ y $19.$ ¿Cuál es el número del medio?

The sums of three whole numbers taken in pairs are $12,$ $17,$ and $19.$ What is the middle number?

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Suma las tres sumas de pares.

Add the three pair sums

Pista grande:

El total de las tres sumas de pares es el doble de la suma de los tres números.

The total of the three pair sums is twice the sum of the three numbers

Solución:

Sean los tres números $a, b, c$ donde $a \lt b \lt c.$ Ninguno es igual, ya que las tres sumas son distintas.

Entonces $a + b = 12, a + c = 17,$ y $b + c = 19.$

Sumando las tres ecuaciones obtenemos $2(a + b + c) = 48.$

Entonces $a + b + c = 24,$ de la cual podemos restar $a + c = 17,$ para obtener $b = 7.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the three numbers be $a, b, c$ where $a \lt b \lt c.$ None of them are equal, since all three sums are different.

Then $a + b = 12, a + c = 17,$ and $b + c = 19.$

Adding all three equations together gives us $2(a + b + c) = 48.$

Then $a + b + c = 24,$ from which we can subtract $a + c = 17,$ to get $b = 7.$

Thus, D is the correct answer.

9.

Un par de dados justos de seis caras están marcados de modo que un dado tiene solo números pares (dos de cada $2,$ $4,$ y $6$ ), y el otro dado tiene solo números impares (dos de cada $1,$ $3,$ y $5$ ). Se lanza el par de dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los números en las caras superiores de los dos dados sea $7$ ?

A pair of six-sided fair dice are labeled so that one die has only even numbers (two each of $2,$ $4,$ and $6$ ), and the other die has only odd numbers (two each of $1,$ $3,$ and $5$ ). The pair of dice is rolled. What is the probability that the sum of the numbers on the tops of the two dice is $7?$

$\dfrac{1}{6}$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{1}{3}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:dados (probabilidad)análisis por casos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Enumera los pares par-impar que suman $7$ .

List the even-odd pairs that sum to $7$

Pista grande:

Cada valor listado aparece en dos caras de su dado.

Each listed value appears on two faces of its die

Solución:

Los pares de números que suman $7$ son $(2, 5), (4, 3), \text{ y } (6, 1).$

Hay una probabilidad de $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$ de obtener cualquiera de estos pares.

Hay $3$ pares, lo que significa que la probabilidad total de que los lanzamientos sumen $7$ es $3 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3}.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The pairs of numbers that sum to $7$ are $(2, 5), (4, 3), \text{ and } (6, 1).$

There is a $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{9}$ chance that we get any of these pairs.

There are $3$ pairs, which means that the total probability that the rolls sum to $7$ is $3 \cdot \dfrac{1}{9} = \dfrac{1}{3}.$

Thus, D is the correct answer.

10.

Mary divide un círculo en $12$ sectores. Los ángulos centrales de estos sectores, medidos en grados, son todos enteros y forman una progresión aritmética. ¿Cuál es la medida en grados del menor ángulo posible de un sector?

Mary divides a circle into $12$ sectors. The central angles of these sectors, measured in degrees, are all integers and they form an arithmetic sequence. What is the degree measure of the smallest possible sector angle?

$5$

$6$

$8$

$10$

$12$

Conceptos:sucesión aritmética Ecuación diofántica optimización

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Sea la progresión aritmética $a,a+d,\ldots,a+11d$ .

Let the arithmetic sequence be $a,a+d,\ldots,a+11d$

Pista grande:

Usa $12a+66d=360$ y maximiza $d$ manteniendo $a$ positivo.

Use $12a+66d=360$ and maximize $d$ while keeping $a$ positive

Solución:

Sea $a$ el menor ángulo posible de un sector y $d$ la diferencia de la progresión aritmética.

Entonces tenemos que $\dfrac{12}{2}(a + a + 11d) = 12a + 66d$ es la suma de la progresión aritmética.

Tenemos que esto suma $360,$ así que $12a + 66d = 360$ $2a + 11d = 60.$

Queremos minimizar $a,$ así que maximizamos $d.$ Si $d = 5,$ entonces $a$ no es entero, por lo que $d = 4$ y $a = 8.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let $a$ be the smallest possible sector angle and $d$ be the difference in the arithmetic sequence.

Then we have that $\dfrac{12}{2}(a + a + 11d) = 12a + 66d$ is the sum of the arithmetic sequence.

We have that this sums to $360,$ so $12a + 66d = 360$ $2a + 11d = 60.$

We want to minimize $a,$ so we maximize $d.$ If $d = 5,$ then $a$ is not an integer, so $d = 4$ and $a = 8.$

Thus, C is the correct answer.

11.

Circunferencias tangentes exteriormente con centros en los puntos $A$ y $B$ tienen radios de longitud $5$ y $3,$ respectivamente. Una recta tangente exterior a ambas circunferencias corta al rayo $AB$ en el punto $C.$ ¿Cuánto vale $BC$ ?

Externally tangent circles with centers at points $A$ and $B$ have radii of lengths $5$ and $3,$ respectively. A line externally tangent to both circles intersects ray $AB$ at point $C.$ What is $BC?$

$4$

$4.8$

$10.2$

$12$

$14.4$

Conceptos:circunferencias tangentes recta tangente semejanza

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Traza los radios hacia los dos puntos de tangencia.

Draw radii to the two tangent points

Pista grande:

Los dos triángulos rectángulos con vértice $C$ son semejantes.

The two right triangles with vertex $C$ are similar

Solución:

Sea $x$ igual a $BC.$ Observa que $\triangle CEB$ y $\triangle CDA$ son semejantes por el criterio ángulo-ángulo (las rectas tangentes son perpendiculares a los radios).

Entonces $\dfrac{x}{3} = \dfrac{8 + x}{5}.$ Multiplicando en cruz obtenemos $5x = 24 + 3x$ $x = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $x$ be $BC.$ Note that $\triangle CEB$ and $\triangle CDA$ are similar due to angle-angle (tangent lines are perpendicular to radii).

Then $\dfrac{x}{3} = \dfrac{8 + x}{5}.$ Cross-multiplying gives us $5x = 24 + 3x$ $x = 12.$

Thus, D is the correct answer.

12.

Un año es bisiesto si y solo si el número del año es divisible por $400$ (como $2000$ ) o es divisible por $4$ pero no por $100$ (como $2012$ ). El aniversario número $200$ del nacimiento del novelista Charles Dickens se celebró el $7$ de febrero de $2012,$ un martes. ¿En qué día de la semana nació Dickens?

A year is a leap year if and only if the year number is divisible by $400$ (such as $2000$ ) or is divisible by $4$ but not $100$ (such as $2012$ ). The $200$ th anniversary of the birth of novelist Charles Dickens was celebrated on February $7,$ $2012,$ a Tuesday. On what day of the week was Dickens born?

viernes

Friday

sábado

Saturday

domingo

Sunday

lunes

Monday

martes

Tuesday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Cuenta los desplazamientos de día módulo $7$ .

Count day shifts modulo $7$

Pista grande:

En $200$ años, incluye los días bisiestos pero excluye $1900$ .

In $200$ years, include leap days but exclude $1900$

Solución:

En un año típico de $365$ días, avanzar un año hacia el futuro mueve el día de la semana uno hacia adelante, ya que $365 = 52 \cdot 7 + 1.$

Sin embargo, en un año bisiesto, el día de la semana se mueve dos posiciones hacia adelante porque hay un día extra.

Cincuenta de los años entre $2012$ y $1812$ son múltiplos de $4,$ pero hay que descartar $1900,$ lo que nos deja $49$ años bisiestos.

Por lo tanto, retroceder $200$ años significa que debemos retroceder $200 + 49 = 249 = 35 \cdot 7 + 4$ días, lo que significa que retrocedemos $4$ días en la semana.

Esto nos lleva de vuelta al viernes, que es el día correspondiente al $7$ de febrero de $1812.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

On a typical year with $365$ days, moving one year into the future moves the day of the week forward one since $365 = 52 \cdot 7 + 1.$

On a leap year however, the day of the week gets moved forward twice since there is an extra day.

Fifty of the years between $2012$ and $1812$ are multiples of $4,$ but we have to discard $1900,$ which leaves us with $49$ leap years.

Therefore, moving back $200$ years means we have to go back $200 + 49 = 249 = 35 \cdot 7 + 4$ days, which means we move back $4$ days in the week.

This takes us back to Friday, which is the day that corresponds to February $7,$ $1812.$

Thus, A is the correct answer.

13.

Un promedio iterativo de los números $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ y $5$ se calcula de la siguiente manera. Ordena los cinco números en algún orden. Halla la media de los dos primeros números, luego halla la media de eso con el tercer número, luego la media de eso con el cuarto número, y finalmente la media de eso con el quinto número. ¿Cuál es la diferencia entre el mayor y el menor valor posible que se puede obtener con este procedimiento?

An iterative average of the numbers $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ and $5$ is computed the following way. Arrange the five numbers in some order. Find the mean of the first two numbers, then find the mean of that with the third number, then the mean of that with the fourth number, and finally the mean of that with the fifth number. What is the difference between the largest and smallest possible values that can be obtained using this procedure?

$\dfrac{31}{16}$

$2$

$\dfrac{17}{8}$

$3$

$\dfrac{65}{16}$

Conceptos:media manipulación algebraica optimización

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Escribe el promedio final como una suma ponderada.

Write the final average as a weighted sum

Pista grande:

Los números colocados más tarde reciben pesos mayores.

Later entries receive larger weights

Solución:

Sea el orden de los números $a, b, c, d, e.$

Entonces el promedio iterativo es $\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{a + b}{2} + c}{2} + d}{2} + e}{2}$ $= \dfrac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$

Para minimizarlo, tomamos el orden $5, 4, 3, 2, 1,$ lo que nos da una suma de $\dfrac{5 + 4 + 6 + 8 + 8}{16} = \dfrac{31}{16}.$

Para maximizarlo, invertimos este orden para obtener un promedio de $\dfrac{1 + 2 + 6 + 16 + 40}{16} = \dfrac{65}{16}.$

La diferencia entre estos es $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let the order of the numbers be $a, b, c, d, e.$

Then the iterative average is $\dfrac{\dfrac{\dfrac{\dfrac{a + b}{2} + c}{2} + d}{2} + e}{2}$ $= \dfrac{a + b + 2c + 4d + 8e}{16}.$

To minimize this, we make the order $5, 4, 3, 2, 1,$ which gives us a sum of $\dfrac{5 + 4 + 6 + 8 + 8}{16} = \dfrac{31}{16}.$

To maximize it, we have to reverse this order to get an average of $\dfrac{1 + 2 + 6 + 16 + 40}{16} = \dfrac{65}{16}.$

The difference between these is $\dfrac{65}{16} - \dfrac{31}{16} = \dfrac{34}{16} = \dfrac{17}{8}.$

Thus, C is the correct answer.

14.

Chubby hace tableros de ajedrez no estándar que tienen $31$ casillas en cada lado. Los tableros tienen una casilla negra en cada esquina y alternan casillas rojas y negras a lo largo de cada fila y columna. ¿Cuántas casillas negras hay en tal tablero?

Chubby makes nonstandard checkerboards that have $31$ squares on each side. The checkerboards have a black square in every corner and alternate red and black squares along every row and column. How many black squares are there on such a checkerboard?

$480$

$481$

$482$

$483$

$484$

Conceptos:conteo básico paridad reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Las filas alternan entre $16$ y $15$ casillas negras.

Rows alternate between $16$ and $15$ black squares

Pista grande:

Hay $16$ filas de un tipo y $15$ del otro.

There are $16$ rows of one type and $15$ of the other

Solución:

Observa que hay $15$ filas con $15$ casillas negras y $16$ filas con $16$ casillas negras.

Esto se ve al observar que la primera fila tiene $16$ casillas negras, y todas las demás filas alternan con $15$ y $16$ casillas.

Luego, debido al patrón alternante, habrá un total de $16$ filas con $16$ casillas, y las demás filas tienen $15$ casillas.

El número total de casillas negras es entonces $15^2 + 16^2 = 481.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that there are $15$ rows with $15$ black tiles and $16$ rows with $16$ black tiles.

This can be seen by observing that the first row has $16$ black tiles, and all the other rows alternate with $15$ and $16$ tiles.

Then, due to the alternating pattern, there will be a total of $16$ rows with $16$ tiles, and the other rows have $15$ tiles.

The total number of black squares is then $15^2 + 16^2 = 481.$

Thus, B is the correct answer.

15.

Se muestran tres cuadrados unitarios y dos segmentos de recta que conectan dos pares de vértices. ¿Cuál es el área de $\triangle ABC$ ?

Three unit squares and two line segments connecting two pairs of vertices are shown. What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac16$

$\dfrac15$

$\dfrac29$

$\dfrac13$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

Conceptos:geometría analítica área del triángulo

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Coloca $A$ y $B$ sobre los ejes de coordenadas.

Place $A$ and $B$ on coordinate axes

Pista grande:

Halla la intersección de las dos rectas dibujadas.

Find the intersection of the two drawn lines

Solución:

Podemos usar geometría de coordenadas para hallar dónde ocurre la intersección de las dos rectas.

Sea $A$ el origen y $B = (1, 0).$ Entonces la pendiente de la recta que pasa por $A$ es $-\dfrac{1}{2},$ lo que hace que la ecuación de la recta sea $y = -\dfrac{1}{2}x.$ La pendiente de la recta que pasa por $B$ es $2.$ La intersección con el eje $y$ es $-2.$ Esto hace que la ecuación de esta recta sea $y = 2x - 2.$

Igualando las ecuaciones, obtenemos $2x - 2 = -\dfrac{1}{2}x$ $x = \dfrac{4}{5}.$

Esto hace que la coordenada $y$ de $C$ sea $-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{2}{5}.$

El área del triángulo $ABC$ es entonces $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can use coordinate geometry to figure out where the intersection of the two lines occurs.

Let $A$ be the origin and $B = (1, 0).$ Then the slope of the line through $A$ is $-\dfrac{1}{2},$ which makes the equation of the line $y = -\dfrac{1}{2}x.$ The slope of the line through $B$ is $2.$ The $y$ -intercept is $-2.$ This makes the equation of this line $y = 2x - 2.$

Equating the equations, we get $2x - 2 = -\dfrac{1}{2}x$ $x = \dfrac{4}{5}.$

This makes the $y$ -coordinate of $C$ $-\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{4}{5} = -\dfrac{2}{5}.$

The area of triangle $ABC$ is then $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot \dfrac{2}{5} = \dfrac{1}{5}.$

Thus, B is the correct answer.

16.

Tres corredores comienzan a correr simultáneamente desde el mismo punto de una pista circular de $500$ metros. Cada uno corre en el sentido de las agujas del reloj manteniendo velocidades constantes de $4.4,$ $4.8,$ y $5.0$ metros por segundo. Los corredores se detienen una vez que vuelven a estar todos juntos en algún punto de la pista circular. ¿Cuántos segundos corren los corredores?

Three runners start running simultaneously from the same point on a $500$ -meter circular track. They each run clockwise around the course maintaining constant speeds of $4.4,$ $4.8,$ and $5.0$ meters per second. The runners stop once they are all together again somewhere on the circular course. How many seconds do the runners run?

$1{,}000$

$1{,}250$

$2{,}500$

$5{,}000$

$10{,}000$

Conceptos:velocidad relativa mínimo común múltiplo distancia, velocidad y tiempo

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Usa velocidades relativas en la pista circular.

Use relative speeds on the circular track

Pista grande:

Halla cuándo el corredor intermedio y el rápido le sacan vueltas completas al corredor lento.

Find when the middle and fast runners lap the slow runner by whole laps

Solución:

Hallemos el tiempo que le toma al corredor que va a $4.8$ metros por segundo darle una vuelta a la persona más lenta.

Debemos tener que $4.8x - 4.4x = 500$ $x = 1250,$ donde $x$ es el tiempo que le toma al corredor más rápido darle una vuelta al otro.

Observa que $4.4 \cdot 1250 = 5500,$ lo que significa que estos dos corredores siempre se encuentran en la línea de salida.

Ahora debemos hallar el menor tiempo, $t,$ tal que $t$ sea múltiplo de $1250$ y el corredor más rápido termine en la línea de salida.

Cada $1250$ segundos, el corredor más rápido recorre $1250 \cdot 5 = 6250$ metros. Entonces en $2500$ segundos, el corredor más rápido recorre $12500$ metros, que es un número entero de vueltas.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Let us find the amount of time that it takes for the runner running at $4.8$ meters per second to lap the slowest person.

We must have that $4.8x - 4.4x = 500$ $x = 1250,$ where $x$ is the amount of time it takes for the faster runner to lap the other.

Note that $4.4 \cdot 1250 = 5500,$ which means that these two runners always intersect at the starting line.

We now have to find the least time, $t,$ such that $t$ is a multiple of $1250$ and the fastest runner ends up at the starting line.

Every $1250$ seconds, the fastest runner runs $1250 \cdot 5 = 6250$ meters. Then in $2500$ seconds, the fastest runner runs $12500$ meters, which is a whole number of laps.

Thus, C is the correct answer.

17.

Sean $a$ y $b$ enteros primos entre sí con $a > b > 0$ y $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.$ ¿Cuánto vale $a-b$ ?

Let $a$ and $b$ be relatively prime integers with $a > b > 0$ and $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.$ What is $a-b?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:factorización ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Factoriza $a^3-b^3$ .

Factor $a^3-b^3$

Pista grande:

La ecuación se convierte en una cuadrática en $\frac{a}{b}$ .

The equation becomes a quadratic in $\frac{a}{b}$

Solución:

Recuerda que podemos factorizar $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$ Al cancelar este factor obtenemos que $\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.$

Multiplicando en cruz y reordenando obtenemos $70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.$ Como $b \neq 0,$ podemos dividir todo entre $b^2$ para obtener $70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.$

Aplicando la fórmula cuadrática y notando que $a \gt b$ obtenemos que $\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.$

Como $a$ y $b$ son primos entre sí, tenemos que $a = 10$ y $b = 7.$ Su diferencia es $10 - 7 = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Recall that we can factor $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$ Canceling out this factor gives us that $\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.$

Cross-multiplying and rearranging gives us $70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.$ Since $b \neq 0,$ we can divide through by $b^2$ to get $70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.$

Applying the quadratic formula and noting that $a \gt b$ gives us that $\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.$

Since $a$ and $b$ are relatively prime, we have that $a = 10$ and $b = 7.$ Their difference is $10 - 7 = 3.$

Thus, C is the correct answer.

18.

La curva cerrada de la figura está formada por $9$ arcos circulares congruentes, cada uno de longitud $\dfrac{2\pi}{3},$ donde cada uno de los centros de las circunferencias correspondientes está entre los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ ¿Cuál es el área encerrada por la curva?

The closed curve in the figure is made up of $9$ congruent circular arcs each of length $\dfrac{2\pi}{3},$ where each of the centers of the corresponding circles is among the vertices of a regular hexagon of side $2.$ What is the area enclosed by the curve?

$2\pi+6$

$2\pi+4\sqrt{3}$

$3\pi+4$

$2\pi+3\sqrt{3}+2$

$\pi+6\sqrt{3}$

Conceptos:sector circular polígono regular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 1930

Pista pequeña:

Cada arco es un arco de $120^\circ$ de una circunferencia unitaria.

Each arc is a $120^\circ$ arc of a unit circle

Pista grande:

Reorganiza las piezas de sector alrededor del hexágono regular.

Rearrange the sector pieces around the regular hexagon

Solución:

Cada arco tiene radio $1$ y longitud $\frac{2\pi}{3},$ así que todos los sectores circulares correspondientes tienen la misma área. Como muestra el diagrama, las piezas de sector se pueden reacomodar: todo lo que se añade al hexágono regular se junta para formar exactamente un círculo unitario.

El hexágono regular está formado por seis triángulos equiláteros de lado $2,$ así que su área es $6\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=6\sqrt3.$ Al añadir el círculo unitario, el área total encerrada es $\pi+6\sqrt3.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Each arc has radius $1$ and length $\frac{2\pi}{3},$ so the corresponding circular sectors all have the same area. As the diagram shows, the sector pieces may be rearranged: everything added to the regular hexagon combines to exactly one unit circle.

The regular hexagon is made of six equilateral triangles of side $2,$ so its area is $6\left(\dfrac{\sqrt3}{4}\cdot2^2\right)=6\sqrt3.$ Adding the unit circle gives a total enclosed area of $\pi+6\sqrt3.$

Thus, E is the correct answer.

19.

Paula, la pintora, y sus dos ayudantes pintan cada uno a un ritmo constante, pero diferente. Siempre empiezan a las $8:00$ AM, y los tres siempre tardan el mismo tiempo en almorzar.

El lunes los tres pintaron el $50\%$ de una casa, terminando a las $4:00$ PM. El martes, cuando Paula no estaba, los dos ayudantes pintaron solo el $24\%$ de la casa y terminaron a las $2:12$ PM. El miércoles Paula trabajó sola y terminó la casa trabajando hasta las $7:12$ P.M.

¿Cuántos minutos duró el almuerzo de cada día?

Paula the painter and her two helpers each paint at constant, but different, rates. They always start at $8:00$ AM, and all three always take the same amount of time to eat lunch.

On Monday the three of them painted $50\%$ of a house, quitting at $4:00$ PM. On Tuesday, when Paula wasn’t there, the two helpers painted only $24\%$ of the house and quit at $2:12$ PM. On Wednesday Paula worked by herself and finished the house by working until $7:12$ P.M.

How long, in minutes, was each day’s lunch break?

$30$

$36$

$42$

$48$

$60$

Conceptos:tasa sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Sea el almuerzo de $m$ minutos.

Let the lunch break be $m$ minutes

Pista grande:

Usa el lunes para $p+h$ , el martes para $h$ y el miércoles para $p$ .

Use Monday for $p+h$ , Tuesday for $h$ , and Wednesday for $p$

Solución:

Sea el almuerzo de $m$ minutos, el ritmo de Paula de $p$ por ciento por minuto, y el ritmo combinado de los ayudantes de $h$ por ciento por minuto.

El lunes da $(p+h)(480-m)=50$ . El martes da $h(372-m)=24$ . Como el trabajo restante el miércoles era del $26$ por ciento, el miércoles da $p(672-m)=26$ .

Sumando las ecuaciones del martes y del miércoles y restando la del lunes se obtiene $108h-192p=0$ , así que $h=\dfrac{16}{9}p$ .

Sustituyendo en la del lunes se obtiene $\dfrac{25}{9}p(480-m)=50$ , mientras que la del miércoles da $p(672-m)=26$ . Resolviendo estas dos ecuaciones se obtiene $m=48$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let the lunch break be $m$ minutes, Paula’s rate be $p$ percent per minute, and the helpers’ combined rate be $h$ percent per minute.

Monday gives $(p+h)(480-m)=50$ . Tuesday gives $h(372-m)=24$ . Since the remaining work on Wednesday was $26$ percent, Wednesday gives $p(672-m)=26$ .

Adding the Tuesday and Wednesday equations and subtracting the Monday equation gives $108h-192p=0$ , so $h=\dfrac{16}{9}p$ .

Substituting into Monday gives $\dfrac{25}{9}p(480-m)=50$ , while Wednesday gives $p(672-m)=26$ . Solving these two equations gives $m=48$ .

Thus, D is the correct answer.

20.

Un cuadrado $3 \times 3$ se divide en $9$ cuadrados unitarios. Cada cuadrado unitario se pinta de blanco o de negro, siendo cada color igualmente probable, elegido de forma independiente y al azar.

Luego el cuadrado se rota $90^{\circ}$ en el sentido de las agujas del reloj alrededor de su centro, y todo cuadrado blanco en una posición antes ocupada por un cuadrado negro se pinta de negro. Los colores de todos los demás cuadrados quedan sin cambios. ¿Cuál es la probabilidad de que la cuadrícula sea ahora completamente negra?

A $3 \times 3$ square is partitioned into $9$ unit squares. Each unit square is painted either white or black with each color being equally likely, chosen independently and at random.

The square is then rotated $90^{\circ}$ clockwise about its center, and every white square in a position formerly occupied by a black square is painted black. The colors of all other squares are left unchanged. What is the probability the grid is now entirely black?

$\dfrac{49}{512}$

$\dfrac{7}{64}$

$\dfrac{121}{1024}$

$\dfrac{81}{512}$

$\dfrac{9}{32}$

Conceptos:probabilidad básica eventos independientes simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 1980

Pista pequeña:

Los cuadrados de las esquinas forman un $4$ -ciclo bajo la rotación.

Corner squares form a $4$ -cycle under rotation

Pista grande:

Para cada $4$ -ciclo, cuenta las coloraciones en las que ningún cuadrado blanco recibe un predecesor blanco.

For each $4$ -cycle, count colorings with no white square receiving a white predecessor

Solución:

El cuadrado central debe ser negro inicialmente, aportando probabilidad $\dfrac12$ . Los cuatro cuadrados de las esquinas forman un ciclo bajo la rotación, y los cuatro cuadrados centrales de los lados forman otro ciclo idéntico.

Para un $4$ -ciclo, las cuatro posiciones finales son todas negras a menos que un cuadrado blanco sea rotado a una posición que también era blanca. Las coloraciones iniciales exitosas son $BBBB$ , las cuatro rotaciones de $BBBW$ y las dos rotaciones de $BWBW$ , para $7$ coloraciones de $16$ .

El mismo conteo aplica al ciclo de los centros de los lados, de forma independiente. Por lo tanto, la probabilidad es $\dfrac12\left(\dfrac7{16}\right)^2=\dfrac{49}{512}$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The center square must initially be black, contributing probability $\dfrac12$ . The four corner squares form one cycle under the rotation, and the four edge-middle squares form another identical cycle.

For one $4$ -cycle, the final four positions are all black unless a white square is rotated into a position that was also white. The successful initial colorings are $BBBB$ , the four rotations of $BBBW$ , and the two rotations of $BWBW$ , for $7$ colorings out of $16$ .

The same count applies to the edge-middle cycle, independently. Therefore the probability is $\dfrac12\left(\dfrac7{16}\right)^2=\dfrac{49}{512}$ .

Thus, A is the correct answer.

21.

Sean los puntos $A=(0,0,0),$ $B=(1,0,0),$ $C=(0,2,0),$ y $D=(0,0,3).$ Los puntos $E,$ $F,$ $G,$ y $H$ son, respectivamente, los puntos medios de los segmentos $\overline{BD},$ $\text{ } \overline{AB},$ $\text{ } \overline {AC},$ y $\overline{DC}$ . ¿Cuál es el área de $EFGH$ ?

Let points $A=(0,0,0),$ $B=(1,0,0),$ $C=(0,2,0),$ and $D=(0,0,3).$ Points $E,$ $F,$ $G,$ and $H$ are midpoints of line segments $\overline{BD},$ $\text{ } \overline{AB},$ $\text{ } \overline {AC},$ and $\overline{DC}$ respectively. What is the area of $EFGH?$

$\sqrt{2}$

$\dfrac{2\sqrt{5}}{3}$

$\dfrac{3\sqrt{5}}{4}$

$\sqrt{3}$

$\dfrac{2\sqrt{7}}{3}$

Conceptos:Geometría 3D punto medio fórmula de la distancia

Nivel de dificultad: 1730

Pista pequeña:

Usa los segmentos medios en los triángulos $ABD$ y $ABC$ .

Use midsegments in triangles $ABD$ and $ABC$

Pista grande:

El cuadrilátero es un rectángulo con lados provenientes de $AD$ y $BC$ .

The quadrilateral is a rectangle with side lengths from $AD$ and $BC$

Solución:

Observa que $EF = \dfrac{1}{2}AD$ ya que es un segmento medio de $\triangle ABD.$ De manera similar, $HG = \dfrac{1}{2}AD$ y $FG = \dfrac{1}{2}BC.$

También tenemos que $\overline{EF}$ y $\overline{HG}$ son perpendiculares al plano $xy$ , lo que significa que son perpendiculares a $\overline{FG}$ y $\overline{EH}.$

Esto nos dice que $EFGH$ es un rectángulo ya que $EF = HG.$ Tenemos $EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}.$

También tenemos que $FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

El área de $EFGH$ es entonces $EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that $EF = \dfrac{1}{2}AD$ since it is a midsegment of $\triangle ABD.$ Similarly, $HG = \dfrac{1}{2}AD$ and $FG = \dfrac{1}{2}BC.$

We also have that $\overline{EF}$ and $\overline{HG}$ are perpendicular to the $xy$ -plane, which means that they are perpendicular to $\overline{FG}$ and $\overline{EH}.$

This tells us that $EFGH$ is rectangle since $EF = HG.$ We have $EF = \dfrac{1}{2} \cdot 3 = \dfrac{3}{2}.$

We also have that $FG = \dfrac{1}{2} \sqrt{1^2 + 2^2} = \dfrac{\sqrt{5}}{2}.$

The area of $EFGH$ is then $EF \cdot FG = \dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{\sqrt{5}}{2} = \dfrac{3\sqrt{5}}{4}.$

Thus, C is the correct answer.

22.

La suma de los primeros $m$ enteros impares positivos es $212$ más que la suma de los primeros $n$ enteros pares positivos. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de $n$ ?

The sum of the first $m$ positive odd integers is $212$ more than the sum of the first $n$ positive even integers. What is the sum of all possible values of $n?$

$255$

$256$

$257$

$258$

$259$

Conceptos:sumatoria diferencia de cuadrados Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2260

Pista pequeña:

Usa que los primeros $m$ números impares suman $m^2$ .

Use that the first $m$ odd numbers sum to $m^2$

Pista grande:

Convierte la condición en $(2m+p)(2m-p)=847$ .

Turn the condition into $(2m+p)(2m-p)=847$

Solución:

Los primeros $m$ enteros impares positivos suman $m^2$ , y los primeros $n$ enteros pares positivos suman $n(n+1)$ . Así $m^2=n(n+1)+212$ .

Como cuadrática en $n$ , esto tiene discriminante $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ , que debe ser un cuadrado impar. Sea $p^2=4m^2-847$ . Entonces $(2m+p)(2m-p)=847$ .

Los pares de factores positivos de $847$ son $847\cdot1$ , $121\cdot7$ y $77\cdot11$ . Dan $p=423,57,33$ , respectivamente.

Como $n=\dfrac{-1+p}{2}$ , los valores posibles de $n$ son $211,28,16$ . Su suma es $255$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

The first $m$ positive odd integers sum to $m^2$ , and the first $n$ positive even integers sum to $n(n+1)$ . Thus $m^2=n(n+1)+212$ .

As a quadratic in $n$ , this has discriminant $1-4(212-m^2)=4m^2-847$ , which must be an odd square. Let $p^2=4m^2-847$ . Then $(2m+p)(2m-p)=847$ .

The positive factor pairs of $847$ are $847\cdot1$ , $121\cdot7$ , and $77\cdot11$ . They give $p=423,57,33$ , respectively.

Because $n=\dfrac{-1+p}{2}$ , the possible values of $n$ are $211,28,16$ . Their sum is $255$ .

Thus, A is the correct answer.

23.

Adam, Benin, Chiang, Deshawn, Esther y Fiona tienen cuentas de internet. Algunos, pero no todos, son amigos de internet entre sí, y ninguno de ellos tiene un amigo de internet fuera de este grupo. Cada uno de ellos tiene el mismo número de amigos de internet. ¿De cuántas formas diferentes puede ocurrir esto?

Adam, Benin, Chiang, Deshawn, Esther, and Fiona have internet accounts. Some, but not all, of them are internet friends with each other, and none of them has an internet friend outside this group. Each of them has the same number of internet friends. In how many different ways can this happen?

$60$

$170$

$290$

$320$

$660$

Conceptos:teoría de grafos análisis por casos biyección

Nivel de dificultad: 2200

Pista pequeña:

Considera casos según el número común de amigos.

Case on the common number of friends

Pista grande:

Usa complementos para emparejar los casos de $1$ amigo y $4$ amigos, y los casos de $2$ amigos y $3$ amigos.

Use complements to pair the $1$ -friend and $4$ -friend cases, and the $2$ -friend and $3$ -friend cases

Solución:

Separamos en casos según el número de amigos que tiene cada persona. Este valor va de $1$ a $4$ , pues el grafo no es ni vacío ni completo.

Los casos de $1$ y $2$ amigos corresponden, respectivamente, a los de $4$ y $3$ amigos al tomar el grafo complementario, ya que elegir quiénes son amigos determina quiénes no lo son.

Caso $1:$ cada persona tiene $1$ amigo

Esto significa que las $6$ personas deben dividirse en $3$ parejas, y los integrantes de cada pareja son amigos.

Hay $5$ opciones para el amigo de la primera persona, lo que deja $4$ personas.

Luego hay $3$ opciones para el amigo de la siguiente persona sin pareja. Las $2$ personas restantes quedan obligadas a ser amigas.

Por tanto, hay $3 \cdot 5 = 15$ posibilidades en este caso.

Caso $2:$ cada persona tiene $2$ amigos

Hay dos posibilidades. La primera consiste en dos tríos cuyos integrantes son todos amigos entre sí.

Hay $\binom{6}{3} = 20$ formas de elegir el primer trío. Debemos dividir entre $2$ porque se pueden intercambiar los dos tríos, lo que da $20 \div 2 = 10$ configuraciones.

La segunda posibilidad es que las amistades formen un solo ciclo de $6$ vértices.

Cada orden de las seis personas alrededor de un ciclo produce uno de estos grafos. Cada grafo se cuenta $6$ veces por la elección de la persona inicial y $2$ veces por el sentido de recorrido, así que hay $\frac{6!}{6\cdot2}=60$ ciclos distintos de $6$ vértices. Junto con los $10$ pares de triángulos, este caso tiene $10+60=70$ configuraciones.

El número total de configuraciones es $2(15 + 70) = 170.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We case on the value of friends that each person has. This value ranges from $1$ to $4$ , since the graph is neither empty nor complete.

Note that the cases for $1$ and $2$ friends correspond with the case for $4$ and $3$ friends, since choosing who are friends determines who are not friends.

Case $1:$ everyone has $1$ friend

This means that the $6$ people must split up into $3$ pairs where the people in each pair are friends.

There are $5$ choices for the friend for the first person. This leaves $4$ people remaining.

There are then $3$ choices for the friend of the next unpaired person. The remaining $2$ people are then forced to be friends.

Therefore, there are $3 \cdot 5 = 15$ possibilities for this case.

Case $2:$ everyone has $2$ friends

There are two possibilities for this case. There could be two triples where everyone in a triple is friends with each other.

For this possibility, there are $\binom{6}{3} = 20$ ways to choose the people in the first triple. We have to divide by $2$ since we can swap the pairs. This gives us $20 \div 2 = 10$ configurations.

The second possibility is that the friends form one $6$ -cycle.

Every ordering of the six people around a cycle gives such a graph. Each graph is counted $6$ times by the choice of starting person and $2$ times by the direction of traversal, so there are $\frac{6!}{6\cdot2}=60$ distinct $6$ -cycles. Together with the $10$ pairs of triangles, this case has $10+60=70$ configurations.

The total number of arrangements is then $2(15 + 70) = 170.$

Thus, B is the correct answer.

24.

Sean $a,$ $b,$ y $c$ enteros positivos con $a\ge b\ge c$ tales que $a^2-b^2-c^2+ab=2011$ y $a^2+3b^2+3c^2-3ab-2ac-2bc$ $=-1997.$ ¿Cuánto vale $a$ ?

Let $a,$ $b,$ and $c$ be positive integers with $a\ge b\ge c$ such that $a^2-b^2-c^2+ab=2011$ and $a^2+3b^2+3c^2-3ab-2ac-2bc$ $=-1997.$ What is $a?$

$249$

$250$

$251$

$252$

$253$

Conceptos:manipulación algebraica Ecuación diofántica análisis por casos

Nivel de dificultad: 2350

Pista pequeña:

Primero suma las dos ecuaciones.

Add the two equations first

Pista grande:

Las tres diferencias al cuadrado deben ser $9,4,1$ en algún orden.

The three squared differences must be $9,4,1$ in some order

Solución:

Sumar las ecuaciones nos da $2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + ac + bc)$ $= 14.$

Podemos agrupar términos y factorizar esto para obtener $(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2$ $= 14.$

Observa que cada término del lado izquierdo es un cuadrado entero no negativo. La única terna de cuadrados que suma $14$ es $9, 4,$ y $1.$

Tenemos que $a - c$ es la mayor diferencia entre los tres pares. Por lo tanto, $a - c = 3.$

No podemos discernir cuál de los otros términos corresponde a cada cuadrado. Probemos $a - b = 1$ y $b - c = 2.$

Sustituir estos valores en la primera ecuación nos da $a^2 - (a - 1)^2 - (a - 3)^2$ $+ a(a - 1) = 2011.$ Al simplificar se obtiene $7a = 2021.$ Como $2021$ no es divisible por $7,$ tenemos que $a - b = 2$ y $b - c = 1.$

En el otro caso, $b=a-2$ y $c=a-3.$ La primera ecuación se convierte en $\begin{aligned} a^2-(a-2)^2-(a-3)^2\\ {}+a(a-2)&=2011, \end{aligned}$ es decir, $8a-13=2011.$ De ahí que $a=253.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Adding together the equations gives us $2(a^2 + b^2 + c^2) - 2(ab + ac + bc)$ $= 14.$

We can group terms and factor this to get $(a - b)^2 + (a - c)^2 + (b - c)^2$ $= 14.$

Note that every term on the left hand side is a nonnegative square integer. The only triple of squares that add to $14$ is $9, 4,$ and $1.$

We have that $a - c$ is the biggest difference among the three pairs. Therefore, $a - c = 3.$

We cannot discern which of the other terms we can match with the other squares. Let us try $a - b = 1$ and $b - c = 2.$

Plugging in these values into the first equation gives us $a^2 - (a - 1)^2 - (a - 3)^2$ $+ a(a - 1) = 2011.$ Simplifying yields $7a = 2021.$ Since $2021$ is not divisible by $7,$ we have that $a - b = 2$ and $b - c = 1.$

In the other case, $b=a-2$ and $c=a-3.$ The first equation becomes $\begin{aligned} a^2-(a-2)^2-(a-3)^2\\ {}+a(a-2)&=2011, \end{aligned}$ or $8a-13=2011.$ Hence $a=253.$

Thus, E is the correct answer.

25.

Los números reales $x,$ $y,$ y $z$ se eligen de forma independiente y al azar del intervalo $[0,n]$ para algún entero positivo $n.$ La probabilidad de que no haya dos de $x,$ $y,$ y $z$ que estén a menos de $1$ unidad entre sí es mayor que $\dfrac{1}{2}.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $n$ ?

Real numbers $x,$ $y,$ and $z$ are chosen independently and at random from the interval $[0,n]$ for some positive integer $n.$ The probability that no two of $x,$ $y,$ and $z$ are within $1$ unit of each other is greater than $\dfrac{1}{2}.$ What is the smallest possible value of $n?$

$7$

$8$

$9$

$10$

$11$

Conceptos:probabilidad geométrica volumen simetría

Nivel de dificultad: 2460

Pista pequeña:

Primero ordena los tres números aleatorios.

Order the three random numbers first

Pista grande:

Resta $1$ al número del medio y $2$ al número mayor.

Subtract $1$ from the middle number and $2$ from the largest number

Solución:

Este problema se presta a la probabilidad geométrica, ya que podemos ver el intervalo como un rango sobre un eje.

Sin pérdida de generalidad, supongamos $n \geq x \geq y \geq z \geq 0.$

Entonces los puntos $(x, y, z)$ que satisfacen esta restricción forman un tetraedro.

La altura de este tetraedro es $n,$ y la base tiene un área de $\dfrac{n^2}{2}.$ Esto hace que el volumen sea $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.$

Ahora debemos aplicar las restricciones del enunciado. Necesitamos hallar la región donde $|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.$

A partir de la condición de orden que impusimos, estas desigualdades se reducen a $x - y \geq 1 \text{ y } y - z \geq 1.$

Estas dos restricciones forman otro tetraedro como se muestra a continuación.

Observa que en el nuevo tetraedro, todas las dimensiones se han reducido en $2.$ Esto hace la altura $n - 2$ y la base $\dfrac{(n - 2)^2}{2}.$

El volumen es entonces $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)$ $= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.$

La probabilidad buscada es entonces $\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.$

Sustituyendo todas las opciones de respuesta, obtenemos que el menor valor tal que esta fracción es mayor que $\dfrac{1}{2}$ es $10.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

This problem lends itself to geometric probability since we can view the interval as a range on an axis.

WLOG, let $n \geq x \geq y \geq z \geq 0.$

Then we have that the points $(x, y, z)$ which satisfy this restriction form a tetrahedron.

The height of this tetrahedron is $n,$ and the base has an area of $\dfrac{n^2}{2}.$ This makes the volume $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{n^2}{2} \cdot n = \dfrac{n^3}{6}.$

Now we have to apply the restrictions from the problem statement. We need to find the region where $|x - y|, |x - z|, |y - z| \geq 1.$

From our ordering condition that we imposed, these inequalities reduce to $x - y \geq 1 \text{ and } y - z \geq 1.$

These two restrictions form another tetrahedron as shown below.

Note that in the new tetrahedron, all the dimensions have been reduced by $2.$ This makes the height $n - 2$ and the base $\dfrac{(n - 2)^2}{2}.$

The volume is then $\dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{(n - 2)^2}{2} \cdot (n - 2)$ $= \dfrac{(n - 2)^3}{6}.$

The desired probability is then $\dfrac{(n - 2)^3}{6} \div \dfrac{n^3}{6} = \dfrac{(n - 2)^3}{n^3}.$

Plugging in all the answer choices, we get that the smallest value such that this fraction is greater than $\dfrac{1}{2}$ is $10.$

Thus, D is the correct answer.