Soluciones del 2017 AMC 10B | LIVE by Po-Shen Loh

1.

Mary pensó en un número positivo de dos cifras. Lo multiplicó por $3$ y le sumó $11.$ Luego intercambió las cifras del resultado y obtuvo un número entre $71$ y $75,$ inclusive. ¿Cuál era el número de Mary?

Mary thought of a positive two-digit number. She multiplied it by $3$ and added $11.$ Then she switched the digits of the result, obtaining a number between $71$ and $75,$ inclusive. What was Mary’s number?

$11$

$12$

$13$

$14$

$15$

Conceptos:dígitos divisibilidad trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás a partir de los posibles resultados invertidos.

Work backward from the possible reversed results

Pista grande:

Después de invertir y restar $11$ , verifica la divisibilidad entre $3$ .

After reversing and subtracting $11$ , check divisibility by $3$

Solución:

Trabajamos hacia atrás desde los posibles resultados. Al invertir $71,72,73,74,75$ se obtiene $17,27,37,47,57,$ respectivamente. Al restar $11$ se obtiene $6,16,26,36,46.$ Solo $6$ y $36$ son divisibles por $3,$ y solo $36\div3=12$ tiene dos cifras.

Por tanto, la respuesta correcta es B.

Work backward from the possible results. Reversing $71,72,73,74,75$ gives $17,27,37,47,57,$ respectively. Subtracting $11$ gives $6,16,26,36,46.$ Only $6$ and $36$ are divisible by $3,$ and only $36\div3=12$ is a two-digit number.

Thus, the correct answer is B .

2.

Sofia corrió $5$ vueltas alrededor de la pista de $400$ metros de su escuela. En cada vuelta, corrió los primeros $100$ metros a una velocidad media de $4$ metros por segundo y los $300$ metros restantes a una velocidad media de $5$ metros por segundo. ¿Cuánto tiempo tardó Sofia en correr las $5$ vueltas?

Sofia ran $5$ laps around the $400$ -meter track at her school. For each lap, she ran the first $100$ meters at an average speed of $4$ meters per second and the remaining $300$ meters at an average speed of $5$ meters per second. How much time did Sofia take running the $5$ laps?

$5$ minutos y $35$ segundos

$5$ minutes and $35$ seconds

$6$ minutos y $40$ segundos

$6$ minutes and $40$ seconds

$7$ minutos y $5$ segundos

$7$ minutes and $5$ seconds

$7$ minutos y $25$ segundos

$7$ minutes and $25$ seconds

$8$ minutos y $10$ segundos

$8$ minutes and $10$ seconds

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo conversión de unidades

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Halla el tiempo de los primeros $100$ metros y de los últimos $300$ metros de una vuelta.

Find the time for the first $100$ meters and the last $300$ meters of one lap

Pista grande:

Multiplica el tiempo de una vuelta por $5$ y convierte los segundos en minutos.

Multiply one-lap time by $5$ and convert seconds to minutes

Solución:

En total corrió $5\cdot 100=500$ metros a $4$ metros por segundo y $5\cdot 300=1500$ metros a $5$ metros por segundo.

Por lo tanto, su tiempo es $\frac{500}4 + \frac{1500}5 = 425$ segundos.

Esto equivale en total a $7$ minutos y $5$ segundos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

She ran a total of $5\cdot 100=500$ meters at $4$ meters per second and $5\cdot 300=1500$ meters at $5$ meters per second.

Therefore, her time is $\frac{500}4 + \frac{1500}5 = 425$ seconds.

This is equal to a total of $7$ minutes and $5$ seconds.

Thus, the correct answer is C .

3.

Los números reales $x,$ $y,$ y $z$ satisfacen las desigualdades $0 < x < 1,$ $-1 < y < 0,$ y $1 < z < 2.$

¿Cuál de los siguientes números es necesariamente positivo?

Real numbers $x,$ $y,$ and $z$ satisfy the inequalities $0 < x < 1,$ $-1 < y < 0,$ and $1 < z < 2.$

Which of the following numbers is necessarily positive?

$y+x^2$

$y+xz$

$y+y^2$

$y+2y^2$

$y+z$

Conceptos:desigualdad contraejemplo

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

La opción $y+z$ se puede comprobar directamente a partir de las cotas dadas.

The choice $y+z$ can be tested directly from the given bounds

Pista grande:

Usa un pequeño contraejemplo para descartar cada una de las demás expresiones.

Use one small counterexample to reject each other expression

Solución:

Como $-1 < y$ y $1 < z,$ podemos sumar las desigualdades para ver que $0 < y+z.$ Esto prueba de forma natural que la opción E es correcta.

Además, podemos eliminar todas las demás opciones con los siguientes valores: $x=0.1,$ $y=-0.25,$ $z=1.25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Since $-1 < y$ and $1 < z,$ we can add the inequalities to see that $0 < y+z.$ This naturally proves choice E correct.

Furthermore, we can eliminate every other choice with the following values: $x=0.1,$ $y=-0.25,$ $z=1.25.$

Thus, the correct answer is E .

4.

Supongamos que $x$ y $y$ son números reales distintos de cero tales que $\frac{3x+y}{x-3y}=-2.$ ¿Cuál es el valor de $\frac{x+3y}{3x-y}?$

Suppose that $x$ and $y$ are nonzero real numbers such that $\frac{3x+y}{x-3y}=-2.$ What is the value of $\frac{x+3y}{3x-y}?$

$-3$

$-1$

$1$

$2$

$3$

Conceptos:ecuación racional manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Elimina el denominador de la ecuación dada.

Clear the denominator in the given equation

Pista grande:

La ecuación fuerza rápidamente una relación entre $x$ y $y$ .

The equation quickly forces a relation between $x$ and $y$

Solución:

Dado que $\frac{3x+y}{x-3y}=-2,$ podemos multiplicar por el denominador para obtener $3x+y = 6y-2x.$ Al resolver, vemos que $x=y.$

Por lo tanto, $\frac{x+3y}{3x-y} = \frac{x+3x}{3x-x}=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Given that $\frac{3x+y}{x-3y}=-2,$ we can multiply by the denominator to get $3x+y = 6y-2x.$ Solving, we can see that $x=y.$

Therefore, $\frac{x+3y}{3x-y} = \frac{x+3x}{3x-x}=2.$

Thus, the correct answer is D .

5.

Camilla tenía el doble de gomitas de arándano que de gomitas de cereza. Después de comerse $10$ de cada tipo, ahora tiene el triple de gomitas de arándano que de cereza. ¿Cuántas gomitas de arándano tenía originalmente?

Camilla had twice as many blueberry jelly beans as cherry jelly beans. After eating $10$ pieces of each kind, she now has three times as many blueberry jelly beans as cherry jelly beans. How many blueberry jelly beans did she originally have?

$10$

$20$

$30$

$40$

$50$

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Representa con variables las cantidades originales de cereza y de arándano.

Let the original cherry and blueberry counts be variables

Pista grande:

Plantea una ecuación antes y una después de comer las gomitas.

Use one equation before and one equation after eating the jelly beans

Solución:

Sea $c$ el número de gomitas de cereza y sea $b$ el número de gomitas de arándano.

Entonces sabemos que $b = 2c$ $b-10=3(c-10)$ a partir del primer y segundo enunciados respectivamente.

Por lo tanto, $2c-10 = 3c-30$ $c=20.$ Esto significa que $b = 2\cdot 20=40.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the number of cherry jelly beans be $c$ and let the number of blueberry jelly beans be $b.$

Then, we know $b = 2c$ $b-10=3(c-10)$ from the first and second statements respectively.

Therefore, $2c-10 = 3c-30$ $c=20.$ This means that $b = 2\cdot 20=40.$

Thus, the correct answer is D .

6.

¿Cuál es el mayor número de bloques sólidos de $2$ pulgadas $\times$ $2$ pulgadas $\times$ $1$ pulgada que caben en una caja de $3$ pulgadas $\times$ $2$ pulgadas $\times$ $3$ pulgadas?

What is the largest number of solid $2$ -in $\times$ $2$ -in $\times$ $1$ -in blocks that can fit in a $3$ -in $\times$ $2$ -in $\times$ $3$ -in box?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:volumen prisma rectangular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Empieza con la cota superior dada por el volumen.

Start with the volume upper bound

Pista grande:

Luego verifica que realmente se pueden acomodar cuatro bloques.

Then check that four blocks really can be arranged

Solución:

El volumen del objeto sólido grande es $3\cdot 3\cdot 2 = 18$ y el volumen del objeto más pequeño es $2\cdot 2\cdot 1=4.$ Esto significa que caben como máximo $4$ de los objetos pequeños.

Podemos lograrlo colocando $3$ de los objetos pequeños en un prisma rectangular de $3 \times 2 \times 2$ , y entonces queda un espacio de $3 \times 2 \times 1$ donde podemos colocar un objeto pequeño más.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The volume of the large solid object is $3\cdot 3\cdot 2 = 18$ and volume of the smaller object is $2\cdot 2\cdot 1=4.$ This means we can fit at most $4$ of the small objects.

We can make this happen by putting $3$ of the small objects in a $3 \times 2 \times 2$ rectangular prism, and then we have a $3 \times 2 \times 1$ space left where we can place one small object.

Thus, the correct answer is B .

7.

Samia salió en bicicleta a visitar a su amiga, viajando a una velocidad media de $17$ kilómetros por hora. Cuando había recorrido la mitad de la distancia hasta la casa de su amiga, se le pinchó una llanta y caminó el resto del camino a $5$ kilómetros por hora.

En total tardó $44$ minutos en llegar a la casa de su amiga. En kilómetros redondeados a la décima más cercana, ¿qué distancia caminó Samia?

Samia set off on her bicycle to visit her friend, traveling at an average speed of $17$ kilometers per hour. When she had gone half the distance to her friend’s house, a tire went flat, and she walked the rest of the way at $5$ kilometers per hour.

In all, it took her $44$ minutes to reach her friend’s house. In kilometers rounded to the nearest tenth, how far did Samia walk?

$2.0$

$2.2$

$2.8$

$3.4$

$4.4$

Conceptos:distancia, velocidad y tiempo ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Sea $d$ la distancia caminada, de modo que la distancia en bicicleta también sea $d$ .

Let the walking distance be $d$ , so the biking distance is also $d$

Pista grande:

Suma el tiempo en bicicleta y el tiempo caminando para obtener $44$ minutos.

Add the biking time and walking time to get $44$ minutes

Solución:

Sea $d$ la distancia que Samia caminó. Recorrió esa misma distancia en bicicleta, así que su tiempo total de viaje da $\dfrac{d}{17}+\dfrac{d}{5}=\dfrac{44}{60}.$ Al resolver se obtiene $d=\dfrac{17}{6}=2.833\ldots,$ que se redondea a $2.8$ kilómetros.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $d$ be the distance Samia walked. She bicycled the same distance, so her total travel time gives $\dfrac{d}{17}+\dfrac{d}{5}=\dfrac{44}{60}.$ Solving yields $d=\dfrac{17}{6}=2.833\ldots,$ which rounds to $2.8$ kilometers.

Thus, the correct answer is C .

8.

Los puntos $A(11, 9)$ y $B(2, -3)$ son vértices del $\triangle ABC$ con $AB=AC.$ La altura desde $A$ corta al lado opuesto en $D(-1, 3).$ ¿Cuáles son las coordenadas del punto $C$ ?

Points $A(11, 9)$ and $B(2, -3)$ are vertices of $\triangle ABC$ with $AB=AC.$ The altitude from $A$ meets the opposite side at $D(-1, 3).$ What are the coordinates of point $C?$

$(-8, 9)$

$(-4, 8)$

$(-4, 9)$

$(-2, 3)$

$(-1, 0)$

Conceptos:geometría analítica punto medio triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

En un triángulo isósceles, la altura desde el vértice también biseca la base.

In an isosceles triangle, the altitude from the vertex also bisects the base

Pista grande:

Usa $D$ como el punto medio de $BC$ .

Use $D$ as the midpoint of $BC$

Solución:

Como $AB=AC,$ la altura desde $A$ también biseca la base $BC.$ Por lo tanto, $D$ es el punto medio de $BC.$ Si $C=(x,y),$ entonces $\frac{x+2}2 = -1,$ $\frac{y-3}2=3.$ Por consiguiente, $C=(x,y)=(-4,9).$

Así, la respuesta correcta es C.

Since $AB=AC,$ the altitude from $A$ also bisects the base $BC.$ Therefore, $D$ is the midpoint of $BC.$ If $C=(x,y),$ then we have $\frac{x+2}2 = -1,$ $\frac{y-3}2=3.$ As such, $C=(x,y)=(-4,9).$

Thus, the correct answer is C .

9.

Un programa de radio tiene un concurso que consta de $3$ preguntas de opción múltiple, cada una con $3$ opciones. Un concursante gana si acierta $2$ o más de las preguntas. El concursante responde al azar cada pregunta. ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

A radio program has a quiz consisting of $3$ multiple-choice questions, each with $3$ choices. A contestant wins if he or she gets $2$ or more of the questions right. The contestant answers randomly to each question. What is the probability of winning?

$\dfrac{1}{27}$

$\dfrac{1}{9}$

$\dfrac{2}{9}$

$\dfrac{7}{27}$

$\dfrac{1}{2}$

Conceptos:probabilidad binomial análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Cuenta exactamente tres aciertos más exactamente dos aciertos.

Count exactly three correct plus exactly two correct

Pista grande:

Para exactamente dos aciertos, elige cuál pregunta se falla.

For exactly two correct, choose which question is missed

Solución:

La probabilidad de que un concursante acierte las $3$ es $\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac1{27}.$ La probabilidad de que acierte exactamente $2$ es $\binom32\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)=\dfrac6{27}.$ La probabilidad combinada es $\dfrac6{27}+\dfrac1{27}=\dfrac7{27}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The probability that a contestant gets all $3$ correct is $\left(\dfrac13\right)^3=\dfrac1{27}.$ The probability of getting exactly $2$ correct is $\binom32\left(\dfrac13\right)^2\left(\dfrac23\right)=\dfrac6{27}.$ The combined probability is $\dfrac6{27}+\dfrac1{27}=\dfrac7{27}.$

Thus, the correct answer is D .

10.

Las rectas con ecuaciones $ax-2y=c$ y $2x+by=-c$ son perpendiculares y se cortan en $(1, -5).$ ¿Cuánto vale $c$ ?

The lines with equations $ax-2y=c$ and $2x+by=-c$ are perpendicular and intersect at $(1, -5).$ What is $c?$

$-13$

$-8$

$2$

$8$

$13$

Conceptos:geometría analítica pendiente sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Reescribe ambas rectas en la forma pendiente-ordenada.

Rewrite both lines in slope-intercept form

Pista grande:

Las pendientes perpendiculares y el punto $(1,-5)$ determinan los parámetros.

Perpendicular slopes and the point $(1,-5)$ determine the parameters

Solución:

La primera ecuación se puede reescribir como $y=\dfrac a2x-\dfrac c2,$ y la segunda como $y=-\dfrac2b x-\dfrac cb.$ Como las rectas son perpendiculares, sus pendientes tienen producto $-1,$ así que $a=b.$

Al sustituir $(x,y)=(1,-5)$ en las dos ecuaciones originales se obtiene $a+10=c$ y $2-5a=-c.$ Al sumar estas ecuaciones resulta $12-4a=0,$ así que $a=3$ y $c=13.$

Por tanto, la respuesta correcta es E.

The first equation can be rewritten as $y=\dfrac a2x-\dfrac c2,$ and the second as $y=-\dfrac2b x-\dfrac cb.$ Because the lines are perpendicular, their slopes multiply to $-1,$ so $a=b.$

Substituting $(x,y)=(1,-5)$ into the two original equations gives $a+10=c$ and $2-5a=-c.$ Adding these equations yields $12-4a=0,$ so $a=3$ and $c=13.$

Thus, the correct answer is E .

11.

En la Preparatoria Typico, al $60\%$ de los estudiantes les gusta bailar, y al resto no. De quienes les gusta bailar, el $80\%$ dice que les gusta, y el resto dice que no les gusta. De quienes no les gusta bailar, el $90\%$ dice que no les gusta, y el resto dice que sí les gusta. ¿Qué fracción de los estudiantes que dicen que no les gusta bailar en realidad sí les gusta?

At Typico High School, $60\%$ of the students like dancing, and the rest dislike it. Of those who like dancing, $80\%$ say that they like it, and the rest say that they dislike it. Of those who dislike dancing, $90\%$ say that they dislike it, and the rest say that they like it. What fraction of students who say they dislike dancing actually like it?

$10\%$

$12\%$

$20\%$

$25\%$

$33\frac{1}{3}\%$

Conceptos:probabilidad condicional porcentaje

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Separa la preferencia real de la preferencia declarada.

Separate actual preference from reported preference

Pista grande:

El denominador es todo aquel que dice que no le gusta bailar.

The denominator is everyone who says they dislike dancing

Solución:

Del $60\%$ de las personas a quienes realmente les gusta bailar, solo el $80\%$ dice que le gusta. Así, el $48\%$ de todos los estudiantes dice que le gusta bailar, y el $60\%-48\% = 12\%$ de quienes sí disfrutan bailar dice que no le gusta.

Además, el $90\%$ del $40\%$ de personas a quienes no les gusta bailar dice que no le gusta, lo que representa el $36\%$ de todos los estudiantes.

Por tanto, el total que dice que no le gusta bailar es $12\%+36\% = 48\%.$

La fracción de quienes dicen que no les gusta bailar pero en realidad sí les gusta es $\frac{12}{48} = \frac 14 = 25\% .$

Así, la respuesta correcta es D.

Observe that of the $60\%$ of people that actually like dancing, only $80\%$ say they like dancing. This suggests that $48\%$ of the students say that they like dancing, and as such, $60\%-48\% = 12\%$ of the students who like dancing say they don’t like it.

Then, we know that $90\%$ of the $40\%$ of people who don’t like dancing say they don’t like it, which is $36\%$ of the total student population.

This means the total amount of people who say they don’t like dancing is $12\%+36\% = 48\%.$

We know then that the fraction of people who say they dislike dancing but actually like it is equal to: $\frac{12}{48} = \frac 14 = 25\% .$

Thus, the correct answer is D .

12.

El auto nuevo de Elmer tiene una eficiencia de combustible, medida en kilómetros por litro, un $50\%$ mejor que la de su auto viejo. Sin embargo, su auto nuevo usa diésel, que es un $20\%$ más caro por litro que la gasolina que usa su auto viejo. ¿Qué porcentaje de dinero ahorrará Elmer si usa su auto nuevo en lugar del viejo para un viaje largo?

Elmer’s new car gets $50\%$ better fuel efficiency, measured in kilometers per liter, than his old car. However, his new car uses diesel fuel, which is $20\%$ more expensive per liter than the gasoline his old car uses. By what percent will Elmer save money if he uses his new car instead of his old car for a long trip?

$20\%$

$26\tfrac23\%$

$27\tfrac79\%$

$33\tfrac13\%$

$41\tfrac23\%$

Conceptos:tasa porcentaje

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Compara el costo por kilómetro, no el costo por litro.

Compare cost per kilometer, not cost per liter

Pista grande:

El combustible nuevo usa menos litros, pero cada litro cuesta más.

New fuel uses fewer liters but each liter costs more

Solución:

Sea $M$ el rendimiento del auto viejo, en kilómetros por litro, y sea $C$ el precio de la gasolina, en dólares por litro. Entonces el auto viejo cuesta $\dfrac CM$ dólares por kilómetro de combustible.

El auto nuevo rinde $1.5M$ kilómetros por litro y su combustible cuesta $1.2C$ dólares por litro, así que su costo de combustible por kilómetro es $\dfrac{1.2C}{1.5M}=0.8\dfrac CM.$

El nuevo costo de combustible es el $80\%$ del anterior, así que Elmer ahorra un $20\%.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the old car’s fuel efficiency be $M$ kilometers per liter and let gasoline cost $C$ dollars per liter. The old car therefore costs $\dfrac CM$ dollars per kilometer to fuel.

The new car gets $1.5M$ kilometers per liter and its fuel costs $1.2C$ dollars per liter, so its fuel cost per kilometer is $\dfrac{1.2C}{1.5M}=0.8\dfrac CM.$

The new fuel cost is $80\%$ of the old one, so Elmer saves $20\%.$

Thus, the correct answer is A .

13.

Hay $20$ estudiantes que participan en un programa extraescolar que ofrece clases de yoga, bridge y pintura. Cada estudiante debe tomar al menos una de estas tres clases, pero puede tomar dos o las tres.

Hay $10$ estudiantes que toman yoga, $13$ que toman bridge y $9$ que toman pintura. Hay $9$ estudiantes que toman al menos dos clases. ¿Cuántos estudiantes toman las tres clases?

There are $20$ students participating in an after-school program offering classes in yoga, bridge, and painting. Each student must take at least one of these three classes, but may take two or all three.

There are $10$ students taking yoga, $13$ taking bridge, and $9$ taking painting. There are $9$ students taking at least two classes. How many students are taking all three classes?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Conceptos:inclusión-exclusión sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sea $x,y,z$ el número de estudiantes que toman exactamente una, dos y tres clases.

Let $x,y,z$ count students taking exactly one, two, and three classes

Pista grande:

La inscripción total en las clases cuenta estos grupos con pesos $1,2,3$ .

The total class enrollment counts these groups with weights $1,2,3$

Solución:

El número total de inscripciones en clases es $10+13+9=32.$

Sea $x$ el número de personas que toman $1,$ sea $y$ el número de personas que toman $2$ clases, y sea $z$ el número de personas que toman $3$ clases.

Entonces, sabemos que $x+2y+3z = 32.$

Además, el número total de personas es $20,$ así que $x+y+z = 20.$ Esto da $y+2z=12.$

El número de personas que toman al menos dos clases es $9,$ así que $y+z = 9.$

Por lo tanto, $z=3,$ que es la respuesta.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The number of classes taken total is $10+13+9=32.$

Let $x$ represent the number of people who take $1,$ let $y$ represent the number of people who take $2$ classes, and let $z$ represent the number of people who take $3$ classes.

Then, we know $x+2y+3z = 32.$

As such, the total number of people is $20,$ so $x+y+z = 20.$ This makes $y+2z=12.$

The number of people who take at least two classes is $9,$ so $y+z = 9.$

Therefore, $z=3,$ making that the answer.

Thus, the correct answer is C .

14.

Se elige al azar un entero $N$ en el rango $1\leq N \leq 2020$ . ¿Cuál es la probabilidad de que el residuo de $N^{16}$ al dividirlo entre $5$ sea $1$ ?

An integer $N$ is selected at random in the range $1\leq N \leq 2020$ . What is the probability that the remainder when $N^{16}$ is divided by $5$ is $1?$

$\dfrac{1}{5}$

$\dfrac{2}{5}$

$\dfrac{3}{5}$

$\dfrac{4}{5}$

$1$

Conceptos:Pequeño teorema de Fermat exponenciación modular probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Módulo $5$ , solo importa si $N$ es divisible entre $5$ .

Modulo $5$ , only whether $N$ is divisible by $5$ matters

Pista grande:

Usa el pequeño teorema de Fermat o revisa las clases de residuos módulo $5$ .

Use Fermat’s little theorem or check residue classes modulo $5$

Solución:

Por el pequeño teorema de Fermat, $N^4\equiv1\pmod5$ siempre que $N$ no sea divisible por $5.$ Por tanto, $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

Hay $\frac{2020}{5}=404$ múltiplos de $5,$ así que hay $2020-404=1616$ valores permitidos de $N.$

Un múltiplo de $5$ tiene $N^{16}\equiv0\pmod5,$ así que no funciona ningún otro valor. Por tanto, la probabilidad es $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

Así, la respuesta correcta es D.

By Fermat’s Little Theorem, $N^4\equiv1\pmod5$ whenever $N$ is not divisible by $5.$ Therefore, $N^{16}\equiv(N^4)^4\equiv1\pmod5.$

There are $\frac{2020}{5}=404$ multiples of $5,$ so there are $2020-404=1616$ allowable values of $N.$

A multiple of $5$ has $N^{16}\equiv0\pmod5,$ so no other values work. Thus the probability is $\dfrac{1616}{2020}=\dfrac45.$

Thus, the correct answer is D .

15.

El rectángulo $ABCD$ tiene $AB=3$ y $BC=4.$ El punto $E$ es el pie de la perpendicular desde $B$ a la diagonal $\overline{AC}.$ ¿Cuál es el área del $\triangle ADE$ ?

Rectangle $ABCD$ has $AB=3$ and $BC=4.$ Point $E$ is the foot of the perpendicular from $B$ to diagonal $\overline{AC}.$ What is the area of $\triangle ADE?$

$1$

$\dfrac{42}{25}$

$\dfrac{28}{15}$

$2$

$\dfrac{54}{25}$

Conceptos:semejanza razón de áreas triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Usa la semejanza entre $\triangle ABE$ y $\triangle ACB$ .

Use similarity between $\triangle ABE$ and $\triangle ACB$

Pista grande:

Luego compara $\triangle EAD$ con $\triangle CDA$ usando sus bases sobre $AC$ .

Then compare $\triangle EAD$ to $\triangle CDA$ using their bases on $AC$

Solución:

El área del $\triangle CDA$ es $\dfrac{3\cdot4}{2}=6$ . Como $E$ está sobre $AC$ , los triángulos $EAD$ y $CDA$ comparten la misma altura desde $D$ , así que $[EAD]=[CDA]\cdot \dfrac{AE}{AC}$ .

Por el teorema de Pitágoras, $AC=5$ . Además $\triangle ABE\sim \triangle ACB$ , así que $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$ , lo que da $AE=\dfrac95$ . Por lo tanto $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9}{25}$ .

Por lo tanto $[EAD]=6\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{25}$ . Así, E es la respuesta correcta.

The area of $\triangle CDA$ is $\dfrac{3\cdot4}{2}=6$ . Since $E$ lies on $AC$ , triangles $EAD$ and $CDA$ share the same altitude from $D$ , so $[EAD]=[CDA]\cdot \dfrac{AE}{AC}$ .

By the Pythagorean Theorem, $AC=5$ . Also $\triangle ABE\sim \triangle ACB$ , so $\dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac35$ , giving $AE=\dfrac95$ . Thus $\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{9}{25}$ .

Therefore $[EAD]=6\cdot \dfrac{9}{25}=\dfrac{54}{25}$ . Thus, E is the correct answer.

16.

¿Cuántos de los numerales en base diez de los enteros positivos menores o iguales que $2017$ contienen el dígito $0$ ?

How many of the base-ten numerals for the positive integers less than or equal to $2017$ contain the digit $0?$

$469$

$471$

$475$

$478$

$481$

Conceptos:dígitos conteo complementario

Nivel de dificultad: 1480

Pista pequeña:

Cuenta el complemento: los números sin ningún dígito $0$ .

Count the complement: numbers with no digit $0$

Pista grande:

Sepáralos en números de una, dos, tres y cuatro cifras hasta $2017$ .

Split by one-, two-, three-, and four-digit numbers up to $2017$

Solución:

Para los números menores que $100,$ solo hay un $0$ si es múltiplo de $10,$ de los cuales hay $9.$

Para los números entre $100$ y $999$ inclusive, usaremos conteo complementario. Hay $900$ números en total en este rango. Además, hay $9\cdot 9\cdot 9=729$ números en este rango sin ningún $0$ , ya que hay $9$ formas de elegir cada cifra para que no sea $0.$ Por lo tanto, el total en este rango es $171.$

Para los números entre $1000$ y $1999$ inclusive, usaremos de nuevo conteo complementario. Hay $1000$ números en total en este rango. Además, hay $1\cdot 9\cdot 9\cdot 9=729$ números en este rango sin ningún $0$ , ya que hay $9$ formas de elegir cada una de las últimas $3$ cifras para que no sea $0$ y la primera cifra debe ser $1.$ Por lo tanto, el total en este rango es $271.$

Hay $18$ números entre $2000$ y $2017$ inclusive, cada uno con un $0$ en la segunda cifra desde la izquierda.

Esto hace que el total sea $9+171+271+18=469.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

For numbers less than $100,$ we only have a $0$ if it is a multiple of $10,$ of which there are $9.$

For numbers between $100$ and $999$ inclusive, we will use complementary counting. There are $900$ total numbers in this range. Also, there are $9\cdot 9\cdot 9=729$ numbers in this range with no $0$ since there are $9$ ways to choose each digit to not be $0.$ Thus, the total in this range is $171.$

For numbers between $1000$ and $1999$ inclusive, we will use complementary counting again. There are $1000$ total numbers in this range. Also, there are $1\cdot 9\cdot 9\cdot 9=729$ numbers in this range with no $0$ since there are $9$ ways to choose each of the last $3$ digits to not be $0$ and the first digit must be $1.$ Thus, the total in this range is $271.$

There are $18$ numbers between $2000$ and $2017$ inclusive, each with a $0$ in the second digit from the left.

This makes the total $9+171+271+18=469.$

Thus, the correct answer is A .

17.

Llamamos a un entero positivo monótono si es un número de una cifra o si sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, forman una sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Por ejemplo, $3,$ $23578,$ y $987620$ son monótonos, pero $88,$ $7434,$ y $23557$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos monótonos hay?

Call a positive integer monotonous if it is a one-digit number or its digits, when read from left to right, form either a strictly increasing or a strictly decreasing sequence. For example, $3,$ $23578,$ and $987620$ are monotonous, but $88,$ $7434,$ and $23557$ are not. How many monotonous positive integers are there?

$1024$

$1524$

$1533$

$1536$

$2048$

Conceptos:subconjuntos dígitos biyección

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Los números crecientes quedan determinados por su conjunto de dígitos.

Increasing numbers are determined by their digit set

Pista grande:

Los números decrecientes pueden incluir el $0$ , pero el número $0$ en sí no es positivo.

Decreasing numbers may include $0$ , but the number $0$ itself is not positive

Solución:

Los enteros positivos estrictamente crecientes corresponden a los subconjuntos no vacíos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , escritos en orden creciente. Hay $2^9-1=511$ de estos.

Los enteros positivos estrictamente decrecientes corresponden a los subconjuntos de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , escritos en orden decreciente, salvo el conjunto vacío y $\{0\}$ . Hay $2^{10}-2=1022$ de estos.

Los números de una cifra del $1$ al $9$ se contaron en ambos grupos, así que el total es $511+1022-9=1524$ . Así, B es la respuesta correcta.

The strictly increasing positive integers correspond to the nonempty subsets of $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , written in increasing order. There are $2^9-1=511$ of these.

The strictly decreasing positive integers correspond to subsets of $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , written in decreasing order, except for the empty set and $\{0\}$ . There are $2^{10}-2=1022$ of these.

The one-digit numbers $1$ through $9$ were counted in both groups, so the total is $511+1022-9=1524$ . Thus, B is the correct answer.

18.

En la figura de abajo, $3$ de los $6$ discos se van a pintar de azul, $2$ de rojo y $1$ de verde. Dos coloraciones que se pueden obtener una de otra mediante una rotación o una reflexión de toda la figura se consideran iguales. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

In the figure below, $3$ of the $6$ disks are to be painted blue, $2$ are to be painted red, and $1$ is to be painted green. Two paintings that can be obtained from one another by a rotation or a reflection of the entire figure are considered the same. How many different paintings are possible?

$6$

$8$

$9$

$12$

$15$

Conceptos:combinaciones simetría análisis por casos

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Usa la simetría para reducir el disco verde a dos casos.

Use symmetry to reduce the green disk to two cases

Pista grande:

Para cada posición del verde, cuenta las posibles ubicaciones de los discos rojos salvo simetría.

For each green position, count possible red-disk placements up to symmetry

Solución:

Por simetría, el disco verde tiene dos tipos posibles de posición: una esquina o el punto medio de un lado. Fijemos un representante de cada tipo. Hay $\binom52=10$ maneras de elegir los dos discos rojos.

La reflexión que fija la posición verde fija uno de los otros discos e intercambia los otros cuatro en dos pares. Exactamente $2$ elecciones de discos rojos permanecen invariantes bajo esta reflexión: elegir cualquiera de los pares intercambiados. Las otras $8$ elecciones forman $4$ pares de imágenes especulares. Por tanto, hay $2+4=6$ pinturas para cada tipo de posición verde.

Los dos tipos dan entonces $6+6=12$ pinturas.

Así, la respuesta correcta es D.

By symmetry, the green disk has two possible types of position: a corner or a side midpoint. Fix one representative of either type. There are $\binom52=10$ ways to choose the two red disks.

The reflection that fixes the green position fixes one of the other disks and exchanges the other four disks in two pairs. Exactly $2$ red-disk choices are unchanged by this reflection: choosing either exchanged pair. The other $8$ choices form $4$ mirror-image pairs. Hence there are $2+4=6$ paintings for each type of green position.

The two types therefore give $6+6=12$ paintings.

Thus, the correct answer is D .

19.

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Prolonga el lado $\overline{AB}$ más allá de $B$ hasta un punto $B'$ de modo que $BB'=3 \cdot AB.$ De manera similar, prolonga el lado $\overline{BC}$ más allá de $C$ hasta un punto $C'$ de modo que $CC'=3 \cdot BC,$ y prolonga el lado $\overline{CA}$ más allá de $A$ hasta un punto $A'$ de modo que $AA'=3 \cdot CA.$

¿Cuál es la razón entre el área del $\triangle A'B'C'$ y el área del $\triangle ABC$ ?

Let $ABC$ be an equilateral triangle. Extend side $\overline{AB}$ beyond $B$ to a point $B'$ so that $BB'=3 \cdot AB.$ Similarly, extend side $\overline{BC}$ beyond $C$ to a point $C'$ so that $CC'=3 \cdot BC,$ and extend side $\overline{CA}$ beyond $A$ to a point $A'$ so that $AA'=3 \cdot CA.$

What is the ratio of the area of $\triangle A'B'C'$ to the area of $\triangle ABC?$

$9:1$

$16:1$

$25:1$

$36:1$

$37:1$

Conceptos:razón de áreas triángulo equilátero área del triángulo

Nivel de dificultad: 1860

Pista pequeña:

Divide el triángulo grande en el triángulo original y seis triángulos que lo rodean.

Break the large triangle into the original triangle and six surrounding triangles

Pista grande:

Compara el área de cada triángulo que lo rodea con la del original usando base y altura.

Compare each surrounding triangle area to the original using base and height

Solución:

Sea $X$ el área de $\triangle ABC.$ Cada uno de $\triangle BB'C,$ $\triangle CC'A,$ y $\triangle AA'B$ tiene una base tres veces tan larga como un lado correspondiente de $\triangle ABC$ y la misma altura. Por tanto, cada uno tiene área $3X.$

Luego, $\triangle AA'C'$ tiene tres veces la base y la misma altura que $\triangle ACC',$ cuya área es $3X.$ Así, $\triangle AA'C'$ tiene área $9X.$ Del mismo modo, $\triangle CC'B'$ y $\triangle BB'A'$ tienen área $9X.$

Estas siete regiones forman el triángulo grande, así que $\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}$ La razón pedida es $37:1.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let $X$ be the area of $\triangle ABC.$ Each of $\triangle BB'C,$ $\triangle CC'A,$ and $\triangle AA'B$ has a base three times as long as a side of $\triangle ABC$ and the same corresponding altitude. Each therefore has area $3X.$

Next, $\triangle AA'C'$ has three times the base and the same altitude as $\triangle ACC',$ whose area is $3X.$ Thus $\triangle AA'C'$ has area $9X.$ Similarly, $\triangle CC'B'$ and $\triangle BB'A'$ each have area $9X.$

These seven regions partition the large triangle, so $\begin{aligned}[A'B'C']&=X+3(3X)+3(9X)\\&=37X.\end{aligned}$ The requested ratio is $37:1.$

Thus, the correct answer is E .

20.

El número $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ tiene más de $60{,}000$ divisores enteros positivos. Se elige uno de ellos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea impar?

The number $21!$ $=51{,}090{,}942{,}171{,}709{,}440{,}000$ has over $60{,}000$ positive integer divisors. One of them is chosen at random. What is the probability that it is odd?

$\dfrac{1}{21}$

$\dfrac{1}{19}$

$\dfrac{1}{18}$

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{11}{21}$

Conceptos:conteo de factores factorización en primos probabilidad básica

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Cuenta el exponente de $2$ en $21!$ .

Count the exponent of $2$ in $21!$

Pista grande:

Para cada parte impar de un divisor, solo un exponente de $2$ da un divisor impar.

For each odd part of a divisor, only one exponent of $2$ gives an odd divisor

Solución:

El exponente de $2$ en $21!$ es $\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{21}{2}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{4}\right\rfloor\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{21}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{16}\right\rfloor\\ &=10+5+2+1=18. \end{aligned}$ Así, $21!=2^{18}d$ para algún entero impar $d.$

Para cada divisor $x$ de $d,$ los divisores de $21!$ cuya parte impar es $x$ son $x,2x,\ldots,2^{18}x.$ Exactamente uno de estos $19$ divisores es impar, así que la probabilidad es $\dfrac1{19}.$

Por tanto, la respuesta correcta es B.

The exponent of $2$ in $21!$ is $\begin{aligned} &\left\lfloor\dfrac{21}{2}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{4}\right\rfloor\\ &\quad{}+\left\lfloor\dfrac{21}{8}\right\rfloor+ \left\lfloor\dfrac{21}{16}\right\rfloor\\ &=10+5+2+1=18. \end{aligned}$ Thus $21!=2^{18}d$ for some odd integer $d.$

For every divisor $x$ of $d,$ the divisors of $21!$ with odd part $x$ are $x,2x,\ldots,2^{18}x.$ Exactly one of these $19$ divisors is odd, so the probability is $\dfrac1{19}.$

Thus, the correct answer is B .

21.

En el $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $AC=8,$ $BC=10,$ y $D$ es el punto medio de $\overline{BC}.$ ¿Cuál es la suma de los radios de las circunferencias inscritas en el $\triangle ADB$ y el $\triangle ADC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=6,$ $AC=8,$ $BC=10,$ and $D$ is the midpoint of $\overline{BC}.$ What is the sum of the radii of the circles inscribed in $\triangle ADB$ and $\triangle ADC?$

$\sqrt{5}$

$\dfrac{11}{4}$

$2\sqrt{2}$

$\dfrac{17}{6}$

$3$

Conceptos:circunferencia inscrita, incentro e inradio triángulo rectángulo área del triángulo

Nivel de dificultad: 1720

Pista pequeña:

Primero reconoce que el triángulo $6,8,10$ es rectángulo.

First recognize the $6,8,10$ triangle as right

Pista grande:

Usa que el área es igual al inradio por el semiperímetro para los dos triángulos más pequeños.

Use area equals inradius times semiperimeter for the two smaller triangles

Solución:

El triángulo $ABC$ es rectángulo, con ángulo recto en $A.$ Como $D$ es el punto medio de la hipotenusa, es el circuncentro del triángulo.

Por tanto, $AD = BD = DC = 5.$ Además, el área de $ABC$ es $\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.$

Las bases $BD$ y $DC$ son iguales, y los dos triángulos comparten la misma altura desde $A.$ Por tanto, $\triangle ABD$ y $\triangle ACD$ tienen área $12.$

Para cada triángulo, tenemos $A = rs$ , donde $A$ es el área, $r$ es el inradio y $s$ es el semiperímetro. Equivalentemente, $12=\dfrac12rP,$ donde $P$ es el perímetro, así que $r=\dfrac{24}{P}.$ Para $\triangle ABD,$ el inradio es $\dfrac{24}{5+5+6}=\dfrac32.$ Para $\triangle ACD,$ es $\dfrac{24}{5+5+8}=\dfrac43.$

Su suma es $\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .$

Así, la respuesta correcta es D.

The triangle $ABC$ is a right triangle with a right angle at $A.$ This makes $D$ the circumcenter of the triangle since it is the midpoint of the hypotenuse.

Therefore, $AD = BD = DC = 5.$ Also, the area of $ABC$ is $\dfrac{6\cdot 8}2 = 24.$

The bases $BD$ and $DC$ are equal, and the two triangles share the same altitude from $A.$ Therefore, $\triangle ABD$ and $\triangle ACD$ each have area $12.$

Then, for each triangle, we have $A = rs$ where $A$ is the area, $r$ is the inradius, and $s$ is the semiperimeter. Equivalently, $12=\dfrac12rP,$ where $P$ is the perimeter, so $r=\dfrac{24}{P}.$ For $\triangle ABD,$ the inradius is $\dfrac{24}{5+5+6}=\dfrac32.$ For $\triangle ACD,$ it is $\dfrac{24}{5+5+8}=\dfrac43.$

Their sum is $\dfrac 32 + \dfrac 43 = \dfrac{17}6 .$

Thus, the correct answer is D .

22.

El diámetro $\overline{AB}$ de una circunferencia de radio $2$ se prolonga hasta un punto $D$ fuera de la circunferencia de modo que $BD=3.$ Se elige el punto $E$ de modo que $ED=5$ y la recta $ED$ es perpendicular a la recta $AD.$ El segmento $\overline{AE}$ corta a la circunferencia en un punto $C$ entre $A$ y $E.$ ¿Cuál es el área del $\triangle ABC$ ?

The diameter $\overline{AB}$ of a circle of radius $2$ is extended to a point $D$ outside the circle so that $BD=3.$ Point $E$ is chosen so that $ED=5$ and line $ED$ is perpendicular to line $AD.$ Segment $\overline{AE}$ intersects the circle at a point $C$ between $A$ and $E.$ What is the area of $\triangle ABC?$

$\dfrac{120}{37}$

$\dfrac{140}{39}$

$\dfrac{145}{39}$

$\dfrac{140}{37}$

$\dfrac{120}{31}$

Conceptos:ángulo inscrito semejanza razón de áreas

Nivel de dificultad: 1900

Pista pequeña:

Usa el ángulo del semicírculo para obtener un triángulo rectángulo.

Use the semicircle angle to get a right triangle

Pista grande:

Compara $\triangle ABC$ y $\triangle AED$ por semejanza.

Compare $\triangle ABC$ and $\triangle AED$ by similarity

Solución:

Como el radio es $2$ y $BD =3,$ tenemos $AD = 7.$ Como $ED = 5$ y el ángulo en $D$ es recto, el área de $ADE$ es $\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2} .$

Por el teorema de Pitágoras, $AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}.$ Además, $\angle ACB$ es un ángulo recto, ya que $AB$ es un diámetro. Los triángulos comparten el ángulo en $A,$ así que $\triangle ABC\sim\triangle AED$ por semejanza ángulo-ángulo.

Sus hipotenusas correspondientes son $AB=4$ y $AE=\sqrt{74},$ así que su razón de áreas es $\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.$ Por lo tanto, $[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since the radius is $2$ and $BD =3,$ we have $AD = 7.$ Since $ED = 5$ and the angle at $D$ is a right angle, the area of $ADE$ is $\dfrac{5\cdot 7}{2} = \dfrac{35}{2} .$

By the Pythagorean Theorem, $AE=\sqrt{5^2+7^2}=\sqrt{74}.$ Also, $\angle ACB$ is a right angle because $AB$ is a diameter. The triangles share the angle at $A,$ so $\triangle ABC\sim\triangle AED$ by angle-angle similarity.

Their corresponding hypotenuses are $AB=4$ and $AE=\sqrt{74},$ so their area ratio is $\dfrac{[ABC]}{[AED]}=\left(\dfrac4{\sqrt{74}}\right)^2=\dfrac8{37}.$ Therefore, $[ABC]=\dfrac8{37}\cdot\dfrac{35}{2}=\dfrac{140}{37}.$

Thus, the correct answer is D .

23.

Sea $N=123456789101112\dots4344$ el número de $79$ cifras que se forma escribiendo los enteros del $1$ al $44$ en orden, uno tras otro. ¿Cuál es el residuo cuando $N$ se divide entre $45$ ?

Let $N=123456789101112\dots4344$ be the $79$ -digit number that is formed by writing the integers from $1$ to $44$ in order, one after the other. What is the remainder when $N$ is divided by $45?$

$1$

$4$

$9$

$18$

$44$

Conceptos:aritmética modular Teorema chino del resto dígitos

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Halla el residuo módulo $5$ y módulo $9$ .

Find the remainder modulo $5$ and modulo $9$

Pista grande:

Combínalos para obtener el residuo módulo $45$ .

Combine them to get the remainder modulo $45$

Solución:

Para hallar el residuo al dividir entre $45,$ debemos hallar los residuos al dividir entre $5$ y $9.$ El residuo al dividir entre $5$ es el residuo de la cifra de las unidades al dividir entre $5,$ es decir, $4.$

Para hallar el residuo al dividir entre $9,$ normalmente sumamos las cifras. Sin embargo, todo número de dos cifras tiene el mismo residuo módulo $9$ que la suma de sus cifras, así que basta sumar los enteros del $1$ al $44,$ porque cada entero es congruente con su propia suma de cifras. Esta suma es $\dfrac{44\cdot45}{2}=990,$ que es múltiplo de $9.$ Por tanto, $N$ es múltiplo de $9.$

Como es múltiplo de $9$ y deja residuo $4$ al dividirse entre $5,$ su residuo al dividirse entre $45$ es $9.$

Así, la respuesta correcta es C.

To find the remainder when divided by $45,$ we must find the remainder when divided by $5$ and $9.$ The remainder when divided by $5$ is the remainder when the units digit is divided by $5,$ making it $4.$

To find the remainder when divided by $9,$ we usually find the sum of the digits. However, each double digit number has the same remainder when divided by $9$ as its digit sum, so we can just sum the integers from $1$ to $44,$ because each integer is congruent to its own digit sum. This sum is $\dfrac{44\cdot45}{2}=990,$ which is a multiple of $9.$ Thus, $N$ is a multiple of $9.$

Since it is a multiple of $9$ and has a remainder of $4$ when divided by $5,$ the remainder when divided by $45$ is $9.$

Thus, the correct answer is C .

24.

Los vértices de un triángulo equilátero están sobre la hipérbola $xy=1,$ y un vértice de esta hipérbola es el baricentro del triángulo. ¿Cuál es el cuadrado del área del triángulo?

The vertices of an equilateral triangle lie on the hyperbola $xy=1,$ and a vertex of this hyperbola is the centroid of the triangle. What is the square of the area of the triangle?

$48$

$60$

$108$

$120$

$169$

Conceptos:hipérbola triángulo equilátero baricentro simetría

Nivel de dificultad: 2380

Pista pequeña:

Usa la simetría de la hipérbola respecto de $y=x$ .

Use symmetry of the hyperbola about $y=x$

Pista grande:

Relaciona la distancia del baricentro al vértice con el circunradio del triángulo equilátero.

Relate the centroid-to-vertex distance to the circumradius of the equilateral triangle

Solución:

Por simetría, supongamos que el centroide es el vértice de la hipérbola $G=(1,1).$ Al menos dos vértices del triángulo están en la misma rama de la hipérbola. No pueden estar ambos en la rama negativa: si dos coordenadas $x$ fueran negativas, la tercera excedería $3,$ mientras que la suma de las tres coordenadas $y$ sería menor que $\frac{1}{3},$ contradiciendo que el centroide es $(1,1)$ . Por tanto, dos vértices están en la rama positiva.

Escribamos estos vértices como $P=(a,\frac{1}{a})$ y $Q=(b,\frac{1}{b}),$ donde $a,b>0.$ El centroide de un triángulo equilátero también es su circuncentro, así que $P$ y $Q$ están a la misma distancia de $G.$ Para $t>0,$ el cuadrado de la distancia de $(t,\frac{1}{t})$ a $G$ es $\left(t+\dfrac1t\right)\left(t+\dfrac1t-2\right).$ Esto aumenta estrictamente cuando $t+\frac{1}{t}$ aumenta desde $2,$ por lo que los puntos distintos deben satisfacer $b=\frac{1}{a}.$ Así, $P$ y $Q$ son reflejos respecto de $y=x.$

El tercer vértice está en la mediatriz $y=x.$ Sus coordenadas también satisfacen $xy=1,$ así que es $(1,1)$ o $(-1,-1).$ No puede ser el centroide, por lo que es $(-1,-1).$ Entonces el circunradio es la distancia de $(1,1)$ a $(-1,-1),$ es decir, $2\sqrt2.$

Al dividir el triángulo equilátero en tres triángulos desde su centro, su área es $3\cdot\dfrac12(2\sqrt2)^2\sin120^\circ=6\sqrt3.$ El cuadrado del área es $(6\sqrt3)^2=108.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

By symmetry, assume that the centroid is the hyperbola vertex $G=(1,1).$ At least two triangle vertices lie on the same branch of the hyperbola. They cannot both lie on the negative branch: if two of their $x$ -coordinates were negative, the third would exceed $3,$ while the sum of the three $y$ -coordinates would be less than $\frac{1}{3},$ contradicting that their centroid is $(1,1).$ Thus two vertices lie on the positive branch.

Write these vertices as $P=(a,\frac{1}{a})$ and $Q=(b,\frac{1}{b}),$ where $a,b>0.$ The centroid of an equilateral triangle is also its circumcenter, so $P$ and $Q$ are equidistant from $G.$ For $t>0,$ the squared distance from $(t,\frac{1}{t})$ to $G$ is $\left(t+\dfrac1t\right)\left(t+\dfrac1t-2\right).$ This is strictly increasing as $t+\frac{1}{t}$ increases from $2,$ so the distinct points must satisfy $b=\frac{1}{a}.$ Hence $P$ and $Q$ are reflections across $y=x.$

The third vertex lies on the perpendicular bisector $y=x.$ Its coordinates also satisfy $xy=1,$ so it is either $(1,1)$ or $(-1,-1).$ It cannot equal the centroid, so it is $(-1,-1).$ Therefore, the circumradius is the distance from $(1,1)$ to $(-1,-1),$ namely $2\sqrt2.$

Dividing the equilateral triangle into three triangles at its center gives its area as $3\cdot\dfrac12(2\sqrt2)^2\sin120^\circ=6\sqrt3.$ The square of the area is $(6\sqrt3)^2=108.$

Thus, the correct answer is C .

25.

El año pasado Isabella presentó $7$ exámenes de matemáticas y obtuvo $7$ calificaciones distintas, cada una un entero entre $91$ y $100,$ inclusive. Después de cada examen notó que el promedio de sus calificaciones era un entero. Su calificación en el séptimo examen fue $95.$ ¿Cuál fue su calificación en el sexto examen?

Last year Isabella took $7$ math tests and received $7$ different scores, each an integer between $91$ and $100,$ inclusive. After each test she noticed that the average of her test scores was an integer. Her score on the seventh test was $95.$ What was her score on the sixth test?

$92$

$94$

$96$

$98$

$100$

Conceptos:divisibilidad media acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

La calificación total final debe ser múltiplo de $7$ .

The final total score must be a multiple of $7$

Pista grande:

Usa la séptima calificación para forzar la suma de las primeras seis, luego usa la divisibilidad entre $5$ .

Use the seventh score to force the first six-score sum, then use divisibility by $5$

Solución:

Sea $S$ la suma de las siete calificaciones. Como los siete promedios fueron enteros, $S$ es divisible entre $7$ . Además, las siete calificaciones distintas están entre $91$ y $100$ , así que $91+92+\cdots+97$ $\le S\le$ $94+95+\cdots+100$ .

Así, $658\le S\le 679$ , y los posibles múltiplos de $7$ son $658,665,672,679$ . Como la séptima calificación es $95$ , las primeras seis calificaciones suman $S-95$ , que debe ser divisible entre $6$ . Esto obliga a que $S=665$ .

Las primeras seis calificaciones suman $570$ . El promedio de las primeras cinco también fue un entero, así que la suma de las primeras cinco calificaciones es divisible entre $5$ . Por lo tanto, la sexta calificación es divisible entre $5$ . Como la séptima calificación ya es $95$ y todas las calificaciones son distintas, la sexta calificación es $100$ . Así, E es la respuesta correcta.

Let $S$ be the sum of all seven scores. Since all seven averages were integers, $S$ is divisible by $7$ . Also the seven distinct scores are between $91$ and $100$ , so $91+92+\cdots+97$ $\le S\le$ $94+95+\cdots+100$ .

Thus $658\le S\le 679$ , and the possible multiples of $7$ are $658,665,672,679$ . Since the seventh score is $95$ , the first six scores sum to $S-95$ , which must be divisible by $6$ . This forces $S=665$ .

The first six scores sum to $570$ . The first five-score average was also an integer, so the sum of the first five scores is divisible by $5$ . Therefore the sixth score is divisible by $5$ . Since the seventh score is already $95$ and all scores are distinct, the sixth score is $100$ . Thus, E is the correct answer.