Question

El lunes, $6$ estudiantes fueron al centro de tutoría al mismo tiempo, y cada uno fue asignado al azar a uno de los $6$ tutores de turno. El martes, los mismos $6$ estudiantes se presentaron, los mismos $6$ tutores estaban de turno, y los estudiantes fueron nuevamente asignados al azar a los tutores. ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente $2$ estudiantes se reunieran con el mismo tutor tanto el lunes como el martes?

On Monday, $6$ students went to the tutoring center at the same time, and each one was randomly assigned to one of the $6$ tutors on duty. On Tuesday, the same $6$ students showed up, the same $6$ tutors were on duty, and the students were again randomly assigned to the tutors. What is the probability that exactly $2$ students met with the same tutor both Monday and Tuesday?

$\dfrac{1}{16}$

$\dfrac{3}{16}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{3}{8}$

$\dfrac{1}{2}$

Solución:

La asignación de cada día es una permutación de los $6$ estudiantes entre los $6$ tutores. Comparando los dos días, el número que mantiene el mismo tutor es el número de puntos fijos de $\tau = \pi_{\text{Tue}}^{-1}\pi_{\text{Mon}},$ que es en sí misma una permutación uniformemente aleatoria de $6$ elementos. Queremos exactamente $2$ puntos fijos, así que elegimos esos $2$ de $\binom{6}{2}$ maneras y desordenamos los otros $4,$ donde $D_4 = 9.$ La probabilidad es $\dfrac{\binom{6}{2} D_4}{6!} = \dfrac{15 \cdot 9}{720} = \dfrac{3}{16}.$ Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Each day's assignment is a permutation of the $6$ students among the $6$ tutors. Comparing the two days, the number who keep the same tutor is the number of fixed points of $\tau = \pi_{\text{Tue}}^{-1}\pi_{\text{Mon}},$ itself a uniformly random permutation of $6$ elements. We want exactly $2$ fixed points, so choose those $2$ in $\binom{6}{2}$ ways and derange the other $4,$ where $D_4 = 9.$ The probability is $\dfrac{\binom{6}{2} D_4}{6!} = \dfrac{15 \cdot 9}{720} = \dfrac{3}{16}.$ Thus, B is the correct answer.

2025 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años