Question

Dos dados de ocho caras tienen cada uno las caras numeradas del $1$ al $8.$ Al lanzar los dados, cada cara tiene la misma probabilidad de quedar arriba. ¿Cuál es la probabilidad de que el producto de los dos números de arriba sea mayor que su suma?

Two eight-sided dice each have faces numbered $1$ through $8.$ When the dice are rolled, each face has an equal probability of appearing on the top. What is the probability that the product of the two top numbers is greater than their sum?

$\dfrac{1}{2}$

$\dfrac{47}{64}$

$\dfrac{3}{4}$

$\dfrac{55}{64}$

$\dfrac{7}{8}$

Solución:

Hay $8 \cdot 8 = 64$ pares ordenados. La desigualdad $mn \gt m + n$ equivale a $(m-1)(n-1) \gt 1.$

Esto falla solo cuando $m = 1,$ $n = 1,$ o $m = n = 2,$ lo que corresponde a $8 + 8 - 1 + 1 = 16$ pares.

La probabilidad es $\dfrac{64 - 16}{64} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3}{4}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

There are $8 \cdot 8 = 64$ ordered pairs. The inequality $mn \gt m + n$ is equivalent to $(m-1)(n-1) \gt 1.$

This fails only when $m = 1,$ $n = 1,$ or $m = n = 2,$ which account for $8 + 8 - 1 + 1 = 16$ pairs.

The probability is $\dfrac{64 - 16}{64} = \dfrac{48}{64} = \dfrac{3}{4}.$

Thus, the correct answer is C.

2004 AMC 10B Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años