Question

Un hexágono regular de lado $1$ está inscrito en un círculo. Cada arco menor del círculo determinado por un lado del hexágono se refleja sobre ese lado. ¿Cuál es el área de la región limitada por estos $6$ arcos reflejados?

A regular hexagon of side length $1$ is inscribed in a circle. Each minor arc of the circle determined by a side of the hexagon is reflected over that side. What is the area of the region bounded by these $6$ reflected arcs?

$\frac{5\sqrt{3}}{2} - \pi$

$3\sqrt{3}-\pi$

$4\sqrt{3}-\frac{3\pi}{2}$

$\pi - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\pi + \sqrt{3}}{2}$

Solución:

El círculo original está formado por el hexágono regular más $6$ segmentos circulares iguales. Reflejar cada arco menor sobre su lado coloca esos mismos $6$ segmentos dentro del hexágono.

Por lo tanto, el promedio del área del círculo y del área de la región de los arcos reflejados es el área del hexágono regular. El hexágono tiene área $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}$ , y el círculo tiene radio $1$ , así que su área es $\pi$ .

Si el área buscada es $A$ , entonces $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}$ , así que $A=3\sqrt3-\pi$ .

Por lo tanto, la respuesta es B.

The original circle is made from the regular hexagon plus $6$ equal circular segments. Reflecting each minor arc over its side puts those same $6$ segments inside the hexagon instead.

Therefore the average of the circle's area and the reflected-arc region's area is the area of the regular hexagon. The hexagon has area $6\cdot\frac{\sqrt3}{4}=\frac{3\sqrt3}{2}$ , and the circle has radius $1$ , so its area is $\pi$ .

If the desired area is $A$ , then $\frac{A+\pi}{2}=\frac{3\sqrt3}{2}$ , so $A=3\sqrt3-\pi$ .

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall Problema 11

Solución:

El Problema 11 en otros años