Soluciones del 2000 AMC 10 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

En el año 2001, Estados Unidos será sede de la Olimpiada Internacional de Matemáticas. Sean $I,$ $M$ y $O$ enteros positivos distintos tales que el producto $I \cdot M \cdot O = 2001.$ ¿Cuál es el mayor valor posible de la suma $I + M + O$ ?

In the year 2001, the United States will host the International Mathematical Olympiad. Let $I,$ $M,$ and $O$ be distinct positive integers such that the product $I \cdot M \cdot O = 2001.$ What is the largest possible value of the sum $I + M + O?$

$23$

$55$

$99$

$111$

$671$

Conceptos:factorización en primos optimización

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Al factorizar se obtiene $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

Para maximizar la suma con el producto fijo, reparte los factores tanto como sea posible: toma $I = 1$ y combina los dos primos mayores, $M = 3$ y $O = 23 \cdot 29 = 667.$

La suma es $1 + 3 + 667 = 671.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Factoring gives $2001 = 3 \cdot 23 \cdot 29.$

To maximize the sum with the product fixed, spread the factors as much as possible: take $I = 1$ and combine the two largest primes, $M = 3$ and $O = 23 \cdot 29 = 667.$

The sum is $1 + 3 + 667 = 671.$

Thus, the correct answer is E.

2.

¿Cuál de las siguientes opciones es igual a $2000 \cdot 2000^{2000}$ ?

Which of the following is equal to $2000 \cdot 2000^{2000}?$

$2000^{2001}$

$4000^{2000}$

$2000^{4000}$

$4{,}000{,}000^{2000}$

$2000^{4{,}000{,}000}$

Conceptos:exponente

Nivel de dificultad: 870

Solución:

Escribe el factor $2000$ como $2000^1.$ Entonces $\begin{aligned} 2000^1 \cdot 2000^{2000} &= 2000^{1 + 2000} \\ &= 2000^{2001}. \end{aligned}$

Cada una de las otras opciones es mayor que $2000^{2001}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Write the factor $2000$ as $2000^1.$ Then $\begin{aligned} 2000^1 \cdot 2000^{2000} &= 2000^{1 + 2000} \\ &= 2000^{2001}. \end{aligned}$

Each of the other options is larger than $2000^{2001}.$

Thus, the correct answer is A.

3.

Cada día, Jenny comía el $20\%$ de las gomitas que había en su frasco al comienzo de ese día. Al final del segundo día quedaban $32$ . ¿Cuántas gomitas había originalmente en el frasco?

Each day, Jenny ate $20\%$ of the jellybeans that were in her jar at the beginning of that day. At the end of the second day, $32$ remained. How many jellybeans were in the jar originally?

$40$

$50$

$55$

$60$

$75$

Conceptos:porcentaje trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 960

Solución:

Como Jenny come el $20\%$ cada día, al final de cada día queda el $80\%$ .

Si $x$ es la cantidad original, entonces $(0.8)^2 x = 0.64x = 32,$ de modo que $x = 50.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since Jenny eats $20\%$ each day, $80\%$ remain at the end of each day.

If $x$ is the original number, then $(0.8)^2 x = 0.64x = 32,$ so $x = 50.$

Thus, the correct answer is B.

4.

Chandra paga a un proveedor de servicios en línea una cuota mensual fija más un cargo por hora por el tiempo de conexión. Su factura de diciembre fue de $12.48, pero en enero su factura fue de $17.54 porque usó el doble de tiempo de conexión que en diciembre. ¿Cuál es la cuota mensual fija?

Chandra pays an on-line service provider a fixed monthly fee plus an hourly charge for connect time. Her December bill was $12.48, but in January her bill was $17.54 because she used twice as much connect time as in December. What is the fixed monthly fee?

$2.53

$5.06

$6.24

$7.42

$8.77

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1030

Solución:

En enero solo se duplicó el tiempo de conexión, así que el aumento $\$17.54 - \$12.48 = \$5.06$ es igual al costo del tiempo de conexión de diciembre.

Por lo tanto, la cuota mensual fija es $\$12.48 - \$5.06 = \$7.42.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

January doubled only the connect time, so the increase $\$17.54 - \$12.48 = \$5.06$ equals December's connect-time cost.

The fixed monthly fee is therefore $\$12.48 - \$5.06 = \$7.42.$

Thus, the correct answer is D.

5.

Los puntos $M$ y $N$ son los puntos medios de los lados $PA$ y $PB$ del $\triangle PAB.$ A medida que $P$ se mueve a lo largo de una recta paralela al lado $AB,$ ¿cuántas de las cuatro cantidades que se enumeran a continuación cambian?

(a) la longitud del segmento $MN;$ (b) el perímetro del $\triangle PAB;$ (c) el área del $\triangle PAB;$ (d) el área del trapecio $ABNM.$

Points $M$ and $N$ are the midpoints of sides $PA$ and $PB$ of $\triangle PAB.$ As $P$ moves along a line that is parallel to side $AB,$ how many of the four quantities listed below change?

(a) the length of the segment $MN;$ (b) the perimeter of $\triangle PAB;$ (c) the area of $\triangle PAB;$ (d) the area of trapezoid $ABNM.$

$0$

$1$

$2$

$3$

$4$

Conceptos:área del triángulo punto medio rectas paralelas

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Como $MN$ es una base media, $MN = \tfrac12 AB,$ que es fijo.

La base $AB$ y la altura desde $P$ hasta $AB$ son ambas constantes mientras $P$ se desliza a lo largo de la recta paralela, por lo que el área del $\triangle PAB$ no cambia. El trapecio $ABNM$ es el triángulo menos el $\triangle PMN,$ y las áreas de ambos son constantes, así que su área tampoco cambia.

Solo el perímetro cambia, ya que $PA$ y $PB$ varían al moverse $P$ . Así que exactamente una cantidad cambia.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $MN$ is a midsegment, $MN = \tfrac12 AB,$ which is fixed.

The base $AB$ and the height from $P$ to $AB$ are both constant as $P$ slides along the parallel line, so the area of $\triangle PAB$ does not change. The trapezoid $ABNM$ is the triangle minus $\triangle PMN,$ both of whose areas are constant, so its area does not change either.

Only the perimeter changes, since $PA$ and $PB$ vary as $P$ moves. So exactly one quantity changes.

Thus, the correct answer is B.

6.

La sucesión de Fibonacci $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ comienza con dos $1$ , y cada término posterior es la suma de sus dos predecesores. ¿Cuál de los diez dígitos es el último en aparecer en la posición de las unidades de un número de la sucesión de Fibonacci?

The Fibonacci sequence $1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, \ldots$ starts with two $1$ s, and each term afterwards is the sum of its two predecessors. Which one of the ten digits is the last to appear in the units position of a number in the Fibonacci sequence?

$0$

$4$

$6$

$7$

$9$

Conceptos:Fibonacci dígito de las unidades reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

Registrando solo los dígitos de las unidades se obtiene la sucesión $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

Al buscar la primera aparición de cada dígito, el dígito $6$ es el último de los diez dígitos en aparecer.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Recording only the units digits gives the sequence $\begin{gathered} 1, 1, 2, 3, 5, 8, 3, 1, 4, 5, 9, \\ 4, 3, 7, 0, 7, 7, 4, 1, 5, 6, \ldots \end{gathered}$

Scanning for the first appearance of each digit, the digit $6$ is the last of the ten digits to show up.

Thus, the correct answer is C.

7.

En el rectángulo $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ está sobre $\overline{AB},$ y $\overline{DB}$ y $\overline{DP}$ trisecan $\angle ADC.$ ¿Cuál es el perímetro del $\triangle BDP$ ?

In rectangle $ABCD,$ $AD = 1,$ $P$ is on $\overline{AB},$ and $\overline{DB}$ and $\overline{DP}$ trisect $\angle ADC.$ What is the perimeter of $\triangle BDP?$

$3 + \dfrac{\sqrt3}{3}$

$2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}$

$2 + 2\sqrt2$

$\dfrac{3 + 3\sqrt5}{2}$

$2 + \dfrac{5\sqrt3}{3}$

Conceptos:triángulo rectángulo especial rectángulo perímetro

Nivel de dificultad: 1390

Solución:

El ángulo recto $\angle ADC = 90^\circ$ se triseca en tres ángulos de $30^\circ$ , por lo que $\angle ADP = 30^\circ$ y $\angle ADB = 60^\circ.$

En el triángulo rectángulo $ADP,$ con $AD = 1,$ se obtiene $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ y $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}.$

En el triángulo rectángulo $ADB,$ con $AD = 1,$ se obtiene $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ y $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Entonces $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$

El perímetro del $\triangle BDP$ es $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The right angle $\angle ADC = 90^\circ$ is trisected into three $30^\circ$ angles, so $\angle ADP = 30^\circ$ and $\angle ADB = 60^\circ.$

In right triangle $ADP,$ with $AD = 1,$ we get $DP = \dfrac{1}{\cos 30^\circ} = \dfrac{2\sqrt3}{3}$ and $AP = \tan 30^\circ = \dfrac{\sqrt3}{3}.$

In right triangle $ADB,$ with $AD = 1,$ we get $DB = \dfrac{1}{\cos 60^\circ} = 2$ and $AB = \tan 60^\circ = \sqrt3.$

Then $\begin{aligned} PB = AB - AP &= \sqrt3 - \dfrac{\sqrt3}{3} \\ &= \dfrac{2\sqrt3}{3}. \end{aligned}$

The perimeter of $\triangle BDP$ is $\begin{gathered} DP + PB + DB \\ = \dfrac{2\sqrt3}{3} + \dfrac{2\sqrt3}{3} + 2 \\ = 2 + \dfrac{4\sqrt3}{3}. \end{gathered}$

Thus, the correct answer is B.

8.

En la Escuela Secundaria Olympic, $\tfrac25$ de los estudiantes de primer año y $\tfrac45$ de los de segundo año presentaron el AMC 10. Dado que el número de participantes de primer año y de segundo año fue el mismo, ¿cuál de las siguientes afirmaciones debe ser verdadera?

At Olympic High School, $\tfrac25$ of the freshmen and $\tfrac45$ of the sophomores took the AMC 10. Given that the number of freshmen and sophomore contestants was the same, which of the following must be true?

Hay cinco veces más estudiantes de segundo año que de primer año.

There are five times as many sophomores as freshmen.

Hay el doble de estudiantes de segundo año que de primer año.

There are twice as many sophomores as freshmen.

Hay tantos estudiantes de primer año como de segundo año.

There are as many freshmen as sophomores.

Hay el doble de estudiantes de primer año que de segundo año.

There are twice as many freshmen as sophomores.

Hay cinco veces más estudiantes de primer año que de segundo año.

There are five times as many freshmen as sophomores.

Conceptos:razón y proporción ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Solución:

Sean $f$ y $s$ los números de estudiantes de primer y segundo año. Los conteos de participantes son iguales, así que $\tfrac25 f = \tfrac45 s.$

Multiplicando por $5$ se obtiene $2f = 4s,$ de modo que $f = 2s.$ Hay el doble de estudiantes de primer año que de segundo año.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $f$ and $s$ be the numbers of freshmen and sophomores. The contestant counts are equal, so $\tfrac25 f = \tfrac45 s.$

Multiplying by $5$ gives $2f = 4s,$ so $f = 2s.$ There are twice as many freshmen as sophomores.

Thus, the correct answer is D.

9.

Si $|x - 2| = p,$ donde $x \lt 2,$ entonces $x - p =$

If $|x - 2| = p,$ where $x \lt 2,$ then $x - p =$

$-2$

$2$

$2 - 2p$

$2p - 2$

$|2p - 2|$

Conceptos:valor absoluto manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1170

Solución:

Como $x \lt 2,$ tenemos $|x - 2| = 2 - x = p,$ de modo que $x = 2 - p.$

Entonces $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Because $x \lt 2,$ we have $|x - 2| = 2 - x = p,$ so $x = 2 - p.$

Then $x - p = (2 - p) - p = 2 - 2p.$

Thus, the correct answer is C.

10.

Los lados de un triángulo de área positiva tienen longitudes $4,$ $6,$ y $x.$ Los lados de un segundo triángulo de área positiva tienen longitudes $4,$ $6,$ y $y.$ ¿Cuál es el menor número positivo que no es un valor posible de $|x - y|$ ?

The sides of a triangle with positive area have lengths $4,$ $6,$ and $x.$ The sides of a second triangle with positive area have lengths $4,$ $6,$ and $y.$ What is the smallest positive number that is not a possible value of $|x - y|?$

$2$

$4$

$6$

$8$

$10$

Conceptos:desigualdad triangular acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Por la desigualdad triangular, cada uno de $x$ y $y$ puede ser cualquier número estrictamente entre $6 - 4 = 2$ y $6 + 4 = 10.$

Entonces $|x - y|$ puede tomar cualquier valor con $0 \le |x - y| \lt 8.$

El menor número positivo que no se puede alcanzar es $10 - 2 = 8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

By the triangle inequality, each of $x$ and $y$ can be any number strictly between $6 - 4 = 2$ and $6 + 4 = 10.$

Then $|x - y|$ can take any value with $0 \le |x - y| \lt 8.$

The smallest positive number not attainable is $10 - 2 = 8.$

Thus, the correct answer is D.

11.

Se eligen dos números primos diferentes entre $4$ y $18$ . Cuando su suma se resta de su producto, ¿cuál de los siguientes números se podría obtener?

Two different prime numbers between $4$ and $18$ are chosen. When their sum is subtracted from their product, which of the following numbers could be obtained?

$21$

$60$

$119$

$180$

$231$

Conceptos:primo paridad acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

Los primos entre $4$ y $18$ son $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ y $17.$ El producto de dos de ellos es impar y la suma es par, así que $xy - (x + y)$ es impar.

Como $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ aumenta al crecer cualquiera de los primos, el resultado va desde $5 \cdot 7 - 12 = 23$ hasta $13 \cdot 17 - 30 = 191.$

La única opción impar en $[23, 191]$ es $119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The primes between $4$ and $18$ are $5,$ $7,$ $11,$ $13,$ and $17.$ The product of two of them is odd and the sum is even, so $xy - (x + y)$ is odd.

Since $xy - (x + y)$ $= (x - 1)(y - 1) - 1$ increases as either prime increases, the result ranges from $5 \cdot 7 - 12 = 23$ up to $13 \cdot 17 - 30 = 191.$

The only odd option in $[23, 191]$ is $119 = 11 \cdot 13 - (11 + 13).$

Thus, the correct answer is C.

12.

Las figuras $0, 1, 2,$ y $3$ constan de $1, 5, 13,$ y $25$ cuadrados unitarios que no se superponen, respectivamente. Si el patrón continuara, ¿cuántos cuadrados unitarios que no se superponen habría en la figura $100$ ?

Figures $0, 1, 2,$ and $3$ consist of $1, 5, 13,$ and $25$ nonoverlapping unit squares, respectively. If the pattern were continued, how many nonoverlapping unit squares would there be in figure $100?$

$10401$

$19801$

$20201$

$39801$

$40801$

Conceptos:suma de los primeros n números impares cuadrado perfecto reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1240

Solución:

La figura $n$ se puede dividir en la suma de los primeros $n$ números impares y los primeros $n+1$ números impares, lo que da $n^2 + (n+1)^2$ cuadrados unitarios.

Para la figura $100,$ esto es $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Figure $n$ can be split into the sum of the first $n$ odd numbers and the first $n+1$ odd numbers, giving $n^2 + (n+1)^2$ unit squares.

For figure $100,$ this is $\begin{aligned} 100^2 + 101^2 &= 10000 + 10201 \\ &= 20201. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

13.

Hay $5$ clavijas amarillas, $4$ clavijas rojas, $3$ clavijas verdes, $2$ clavijas azules y $1$ clavija naranja que se deben colocar en un tablero triangular de clavijas. ¿De cuántas maneras se pueden colocar las clavijas de modo que ninguna fila (horizontal) ni columna (vertical) contenga dos clavijas del mismo color?

There are $5$ yellow pegs, $4$ red pegs, $3$ green pegs, $2$ blue pegs, and $1$ orange peg to be placed on a triangular peg board. In how many ways can the pegs be placed so that no (horizontal) row or (vertical) column contains two pegs of the same color?

$0$

$1$

$5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!$

$15!/(5! \cdot 4! \cdot 3! \cdot 2! \cdot 1!)$

$15!$

Conceptos:arreglos con restricciones deducción lógica

Nivel de dificultad: 1370

Solución:

El tablero tiene cinco filas y cinco columnas. Para evitar dos clavijas amarillas en una fila o columna, debe haber exactamente una clavija amarilla en cada fila, lo que obliga a las clavijas amarillas a ubicarse en la diagonal larga.

Las cuatro clavijas rojas deben ir entonces en las filas $2$ a $5,$ y las únicas posiciones que quedan también las obligan a formar una sola diagonal. Continuando con verde, azul y naranja, cada color queda forzado a una posición única.

Por lo tanto, hay exactamente una disposición válida.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The board has five rows and five columns. To avoid two yellow pegs in a row or column, there must be exactly one yellow peg in each row, forcing the yellow pegs onto the long diagonal.

The four red pegs must then each go in rows $2$ through $5,$ and the only positions left force them into a single diagonal as well. Continuing with green, blue, and orange, every color is forced into a unique position.

Hence there is exactly one valid arrangement.

Thus, the correct answer is B.

14.

La señora Walter aplicó un examen en una clase de matemáticas de cinco estudiantes. Ingresó las calificaciones en orden aleatorio en una hoja de cálculo, que recalculaba el promedio de la clase después de ingresar cada calificación. La señora Walter notó que, después de ingresar cada calificación, el promedio siempre era un entero. Las calificaciones (en orden ascendente) eran $71, 76, 80, 82,$ y $91.$ ¿Cuál fue la última calificación que ingresó la señora Walter?

Mrs. Walter gave an exam in a mathematics class of five students. She entered the scores in random order into a spreadsheet, which recalculated the class average after each score was entered. Mrs. Walter noticed that after each score was entered, the average was always an integer. The scores (listed in ascending order) were $71, 76, 80, 82,$ and $91.$ What was the last score Mrs. Walter entered?

$71$

$76$

$80$

$82$

$91$

Conceptos:divisibilidad aritmética modular media

Nivel de dificultad: 1560

Solución:

Los residuos de $71, 76, 80, 82, 91$ módulo $3$ son $2, 1, 2, 1, 1.$ La suma de las primeras tres calificaciones debe ser divisible por $3,$ y el único triple así es $76 + 82 + 91 = 249,$ por lo que la tercera calificación ingresada es $91$ y las dos primeras son $76$ y $82.$

Como $249$ es uno más que un múltiplo de $4,$ la cuarta calificación debe ser tres más que un múltiplo de $4,$ lo cual solo cumple $71$ . Eso deja $80$ como la quinta y última calificación.

En efecto, $76, 158, 249, 320, 400$ son divisibles por $1, 2, 3, 4, 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The residues of $71, 76, 80, 82, 91$ modulo $3$ are $2, 1, 2, 1, 1.$ The sum of the first three scores must be divisible by $3,$ and the only such triple is $76 + 82 + 91 = 249,$ so the third score entered is $91$ and the first two are $76$ and $82.$

Since $249$ is one more than a multiple of $4,$ the fourth score must be three more than a multiple of $4,$ which only $71$ satisfies. That leaves $80$ as the fifth and last score.

Indeed $76, 158, 249, 320, 400$ are divisible by $1, 2, 3, 4, 5.$

Thus, the correct answer is C.

15.

Dos números reales no nulos, $a$ y $b,$ satisfacen $ab = a - b.$ Halla un valor posible de $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab.$

Two non-zero real numbers, $a$ and $b,$ satisfy $ab = a - b.$ Find a possible value of $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab.$

$-2$

$-\dfrac12$

$\dfrac13$

$\dfrac12$

$2$

Conceptos:manipulación algebraica sustitución

Nivel de dificultad: 1420

Solución:

Sobre el denominador común $ab,$ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Sustituyendo $ab = a - b$ se obtiene $\dfrac{a^2 + b^2 - (a - b)^2}{ab} = \dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Over the common denominator $ab,$ $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} - ab = \dfrac{a^2 + b^2 - (ab)^2}{ab}.$

Substituting $ab = a - b$ gives $\dfrac{a^2 + b^2 - (a - b)^2}{ab} = \dfrac{2ab}{ab} = 2.$

Thus, the correct answer is E.

16.

El diagrama muestra $28$ puntos reticulares, cada uno a una unidad de sus vecinos más cercanos. El segmento $AB$ corta al segmento $CD$ en $E.$ Halla la longitud del segmento $AE.$

The diagram shows $28$ lattice points, each one unit from its nearest neighbors. Segment $AB$ meets segment $CD$ at $E.$ Find the length of segment $AE.$

$\dfrac{4\sqrt5}{3}$

$\dfrac{5\sqrt5}{3}$

$\dfrac{12\sqrt5}{7}$

$2\sqrt5$

$\dfrac{5\sqrt{65}}{9}$

Conceptos:geometría analítica fórmula de la distancia sistema de ecuaciones

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Coloca los puntos en $A = (0, 3),$ $B = (6, 0),$ $C = (4, 2),$ $D = (2, 0).$

La recta $AB$ es $x + 2y = 6$ y la recta $CD$ es $x - y = 2.$ Resolviendo simultáneamente se obtiene $E = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3}\right).$

Entonces $\begin{aligned} AE &= \sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{5\sqrt5}{3}. \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Place the points at $A = (0, 3),$ $B = (6, 0),$ $C = (4, 2),$ $D = (2, 0).$

Line $AB$ is $x + 2y = 6$ and line $CD$ is $x - y = 2.$ Solving simultaneously gives $E = \left(\dfrac{10}{3}, \dfrac{4}{3}\right).$

Then $\begin{aligned} AE &= \sqrt{\left(\dfrac{10}{3}\right)^2 + \left(\dfrac{4}{3} - 3\right)^2} \\ &= \sqrt{\dfrac{100}{9} + \dfrac{25}{9}} \\ &= \dfrac{5\sqrt5}{3}. \end{aligned}$

Thus, the correct answer is B.

17.

Boris tiene una increíble máquina para cambiar monedas. Cuando introduce una moneda de veinticinco centavos, devuelve cinco monedas de cinco centavos; cuando introduce una de cinco centavos, devuelve cinco monedas de un centavo; y cuando introduce una moneda de un centavo, devuelve cinco de veinticinco centavos. Boris comienza con una sola moneda de un centavo. ¿Cuál de las siguientes cantidades podría tener Boris después de usar la máquina repetidamente?

Boris has an incredible coin changing machine. When he puts in a quarter, it returns five nickels; when he puts in a nickel, it returns five pennies; and when he puts in a penny, it returns five quarters. Boris starts with just one penny. Which of the following amounts could Boris have after using the machine repeatedly?

$3.63

$5.13

$6.30

$7.45

$9.07

Conceptos:invariante aritmética modular dinero

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Cambiar una moneda de veinticinco centavos por cinco de cinco centavos, o una de cinco centavos por cinco de un centavo, no cambia el valor total. Solo cambiar un centavo por cinco monedas de veinticinco centavos lo cambia, agregando $5 \cdot 25 - 1 = 124$ centavos.

Partiendo de $1$ centavo, Boris siempre tiene $1 + 124n$ centavos para algún entero no negativo $n.$

Solo $\$7.45$ tiene esta forma, ya que $745 = 1 + 124 \cdot 6.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Trading a quarter for five nickels or a nickel for five pennies does not change the total value. Only trading a penny for five quarters changes it, adding $5 \cdot 25 - 1 = 124$ cents.

Starting from $1$ cent, Boris always has $1 + 124n$ cents for some nonnegative integer $n.$

Only $\$7.45$ has this form, since $745 = 1 + 124 \cdot 6.$

Thus, the correct answer is D.

18.

Charlyn camina completamente alrededor del borde de un cuadrado cuyos lados miden cada uno $5$ km. Desde cualquier punto de su trayecto puede ver exactamente $1$ km horizontalmente en todas las direcciones. ¿Cuál es el área de la región formada por todos los puntos que Charlyn puede ver durante su caminata, expresada en kilómetros cuadrados y redondeada al entero más cercano?

Charlyn walks completely around the boundary of a square whose sides are each $5$ km long. From any point on her path she can see exactly $1$ km horizontally in all directions. What is the area of the region consisting of all points Charlyn can see during her walk, expressed in square kilometers and rounded to the nearest whole number?

$24$

$27$

$39$

$40$

$42$

Conceptos:descomposición de áreas área del círculo estimación

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Dentro del cuadrado, Charlyn ve todo excepto un cuadrado central de lado $5 - 2 = 3,$ un área de $25 - 9 = 16$ kilómetros cuadrados.

Fuera del cuadrado, la región consta de cuatro rectángulos de $5 \times 1$ cada uno más cuatro cuartos de círculo de radio $1,$ un área de $4 \cdot 5 + \pi = 20 + \pi$ kilómetros cuadrados.

El área total es $36 + \pi \approx 39$ kilómetros cuadrados.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Inside the square, Charlyn sees everything except a central square of side $5 - 2 = 3,$ an area of $25 - 9 = 16$ square kilometers.

Outside the square, the region is four rectangles each $5 \times 1$ plus four quarter circles of radius $1,$ an area of $4 \cdot 5 + \pi = 20 + \pi$ square kilometers.

The total area is $36 + \pi \approx 39$ square kilometers.

Thus, the correct answer is C.

19.

Por un punto de la hipotenusa de un triángulo rectángulo se trazan rectas paralelas a los catetos del triángulo, de modo que el triángulo queda dividido en un cuadrado y dos triángulos rectángulos más pequeños. El área de uno de los dos triángulos rectángulos pequeños es $m$ veces el área del cuadrado. La razón entre el área del otro triángulo rectángulo pequeño y el área del cuadrado es

Through a point on the hypotenuse of a right triangle, lines are drawn parallel to the legs of the triangle so that the triangle is divided into a square and two smaller right triangles. The area of one of the two small right triangles is $m$ times the area of the square. The ratio of the area of the other small right triangle to the area of the square is

$\dfrac{1}{2m + 1}$

$m$

$1 - m$

$\dfrac{1}{4m}$

$\dfrac{1}{8m^2}$

Conceptos:semejanza razón de áreas triángulo rectángulo

Nivel de dificultad: 1750

Solución:

Sea el cuadrado de lado $1.$ Un triángulo pequeño tiene catetos $1$ y $r,$ con área $\tfrac12 r = m,$ de modo que $r = 2m.$

Los dos triángulos pequeños son semejantes, así que el otro tiene catetos $1$ y $\tfrac1r,$ con área $\tfrac12 \cdot \tfrac1r = \tfrac{1}{4m}.$

Como el cuadrado tiene área $1,$ la razón buscada es $\dfrac{1}{4m}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the square have side $1.$ One small triangle has legs $1$ and $r,$ with area $\tfrac12 r = m,$ so $r = 2m.$

The two small triangles are similar, so the other has legs $1$ and $\tfrac1r,$ with area $\tfrac12 \cdot \tfrac1r = \tfrac{1}{4m}.$

Since the square has area $1,$ the desired ratio is $\dfrac{1}{4m}.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Sean $A,$ $M,$ y $C$ enteros no negativos tales que $A + M + C = 10.$ ¿Cuál es el valor máximo de $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A \end{aligned}$ ?

Let $A,$ $M,$ and $C$ be nonnegative integers such that $A + M + C = 10.$ What is the maximum value of $\begin{aligned} &A \cdot M \cdot C + A \cdot M \\ &\quad {}+ M \cdot C + C \cdot A? \end{aligned}$

$49$

$59$

$69$

$79$

$89$

Conceptos:factorización optimización

Nivel de dificultad: 1820

Solución:

Observa que $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}$

Maximizamos un producto de tres enteros positivos cuya suma es $13.$ La partición más equilibrada es $4, 4, 5,$ que da $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.$

El máximo es $80 - 11 = 69.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Notice that $\begin{gathered} A \cdot M \cdot C + AM + MC + CA \\ = (A+1)(M+1)(C+1) \\ {}- (A + M + C) - 1 \\ = (A+1)(M+1)(C+1) - 11. \end{gathered}$

We maximize a product of three positive integers summing to $13.$ The most balanced split is $4, 4, 5,$ giving $4 \cdot 4 \cdot 5 = 80.$

The maximum is $80 - 11 = 69.$

Thus, the correct answer is C.

21.

Si todos los caimanes son criaturas feroces y algunos bichos rastreros son caimanes, ¿cuáles afirmaciones deben ser verdaderas?

I. Todos los caimanes son bichos rastreros.

II. Algunas criaturas feroces son bichos rastreros.

III. Algunos caimanes no son bichos rastreros.

If all alligators are ferocious creatures and some creepy crawlers are alligators, which statement(s) must be true?

I. All alligators are creepy crawlers.

II. Some ferocious creatures are creepy crawlers.

III. Some alligators are not creepy crawlers.

Solo I

I only

Solo II

II only

Solo III

III only

Solo II y III

II and III only

Ninguna debe ser verdadera

None must be true

Conceptos:deducción lógica Diagrama de Venn

Nivel de dificultad: 1510

Solución:

Algunos bichos rastreros son caimanes, y todos los caimanes son feroces, así que esas criaturas son a la vez bichos rastreros y feroces. Por lo tanto, algunas criaturas feroces son bichos rastreros, lo que hace verdadera la II.

La afirmación I falla porque no todo caimán tiene que ser un bicho rastrero, y la III falla porque es posible que todos los caimanes sean bichos rastreros. Solo la II debe cumplirse.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Some creepy crawlers are alligators, and all alligators are ferocious, so those creatures are both creepy crawlers and ferocious. Hence some ferocious creatures are creepy crawlers, making II true.

Statement I fails because not every alligator need be a creepy crawler, and III fails because it is possible that all alligators are creepy crawlers. Only II must hold.

Thus, the correct answer is B.

22.

Una mañana, cada miembro de la familia de Angela bebió una mezcla de $8$ onzas de café con leche. Las cantidades de café y leche variaban de taza en taza, pero nunca eran cero. Angela bebió un cuarto de la cantidad total de leche y un sexto de la cantidad total de café. ¿Cuántas personas hay en la familia?

One morning each member of Angela's family drank an $8$ -ounce mixture of coffee with milk. The amounts of coffee and milk varied from cup to cup, but were never zero. Angela drank a quarter of the total amount of milk and a sixth of the total amount of coffee. How many people are in the family?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:media ponderada acotación a casos límite mezcla razón y proporción

Nivel de dificultad: 1900

Solución:

Supongamos que hay $n$ personas, que beben $8n$ onzas en total, repartidas en leche $M$ y café $C.$ Angela bebió una taza, así que $\tfrac14 M + \tfrac16 C = \tfrac1n (M + C).$

El lado izquierdo es un promedio ponderado de $\tfrac14$ y $\tfrac16,$ así que $\tfrac1n$ está estrictamente entre $\tfrac16$ y $\tfrac14.$ Eso obliga a $4 \lt n \lt 6,$ de modo que $n = 5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let there be $n$ people, drinking $8n$ ounces total, split into milk $M$ and coffee $C.$ Angela drank one cup, so $\tfrac14 M + \tfrac16 C = \tfrac1n (M + C).$

The left side is a weighted average of $\tfrac14$ and $\tfrac16,$ so $\tfrac1n$ lies strictly between $\tfrac16$ and $\tfrac14.$ That forces $4 \lt n \lt 6,$ so $n = 5.$

Thus, the correct answer is C.

23.

Cuando la media, la mediana y la moda de la lista $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ se ordenan de manera creciente, forman una progresión aritmética no constante. ¿Cuál es la suma de todos los valores reales posibles de $x$ ?

When the mean, median, and mode of the list $10, 2, 5, 2, 4, 2, x$ are arranged in increasing order, they form a non-constant arithmetic progression. What is the sum of all possible real values of $x?$

$3$

$6$

$9$

$17$

$20$

Conceptos:media mediana (datos)sucesión aritmética análisis por casos

Nivel de dificultad: 1950

Solución:

La moda siempre es $2,$ y la media es $\dfrac{25 + x}{7}.$ Para que los valores formen una progresión aritmética no constante, examinamos la mediana.

Si $x = 3,$ la lista ordenada es $2, 2, 2, 3, 4, 5, 10,$ con mediana $3$ y media $4,$ lo que da la progresión $2, 3, 4.$

Si $x = 17,$ la lista ordenada es $2, 2, 2, 4, 5, 10, 17,$ con mediana $4$ y media $6,$ lo que da la progresión $2, 4, 6.$

Ningún otro valor de $x$ funciona, así que la suma de todos los valores posibles es $3 + 17 = 20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The mode is always $2,$ and the mean is $\dfrac{25 + x}{7}.$ For the values to form a non-constant arithmetic progression we examine the median.

If $x = 3,$ the sorted list is $2, 2, 2, 3, 4, 5, 10,$ with median $3$ and mean $4,$ giving the progression $2, 3, 4.$

If $x = 17,$ the sorted list is $2, 2, 2, 4, 5, 10, 17,$ with median $4$ and mean $6,$ giving the progression $2, 4, 6.$

No other value of $x$ works, so the sum of all possible values is $3 + 17 = 20.$

Thus, the correct answer is E.

24.

Sea $f$ una función para la cual $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Halla la suma de todos los valores de $z$ para los cuales $f(3z) = 7.$

Let $f$ be a function for which $f\left(\dfrac{x}{3}\right) = x^2 + x + 1.$ Find the sum of all values of $z$ for which $f(3z) = 7.$

$-\dfrac13$

$-\dfrac19$

$0$

$\dfrac59$

$\dfrac53$

Conceptos:función sustitución Fórmulas de Vieta

Nivel de dificultad: 1690

Solución:

Para evaluar $f(3z),$ toma $\dfrac{x}{3} = 3z,$ de modo que $x = 9z.$ Entonces $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

Igualando esto a $7$ se obtiene $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

Por la fórmula de la suma de raíces, la suma de los valores de $z$ es $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

To evaluate $f(3z),$ set $\dfrac{x}{3} = 3z,$ so $x = 9z.$ Then $\begin{aligned} f(3z) &= (9z)^2 + 9z + 1 \\ &= 81z^2 + 9z + 1. \end{aligned}$

Setting this equal to $7$ gives $81z^2 + 9z - 6 = 0.$

By the sum-of-roots formula, the sum of the values of $z$ is $-\dfrac{9}{81} = -\dfrac19.$

Thus, the correct answer is B.

25.

En el año $N,$ el día $300$ del año es martes. En el año $N + 1,$ el día $200$ también es martes. ¿En qué día de la semana cayó el día $100$ del año $N - 1$ ?

In year $N,$ the $300$ th day of the year is a Tuesday. In year $N + 1,$ the $200$ th day is also a Tuesday. On what day of the week did the $100$ th day of year $N - 1$ occur?

jueves

Thursday

viernes

Friday

sábado

Saturday

domingo

Sunday

lunes

Monday

Conceptos:fecha y hora aritmética modular

Nivel de dificultad: 1860

Solución:

Desde el día $300$ del año $N$ hasta el día $200$ del año $N + 1$ hay $(L - 300) + 200$ días, donde $L$ es la duración del año $N.$ Si $N$ no fuera bisiesto, esto es $265 \equiv 6 \pmod 7,$ lo que daría un lunes, no un martes. Así que el año $N$ es bisiesto, y el conteo es $266 = 7 \cdot 38,$ consistente con un martes.

Entonces los años $N - 1$ y $N + 1$ no son bisiestos.

El día $100$ del año $N - 1$ precede al martes (día $300$ del año $N$ ) por $(365 - 100) + 300 = 565$ días. Como $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ ese día está $5$ días antes en la semana que el martes, es decir, un jueves.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

From day $300$ of year $N$ to day $200$ of year $N + 1$ is $(L - 300) + 200$ days, where $L$ is the length of year $N.$ If $N$ were not a leap year, this is $265 \equiv 6 \pmod 7,$ giving a Monday, not a Tuesday. So year $N$ is a leap year, and the count is $266 = 7 \cdot 38,$ consistent with Tuesday.

Then years $N - 1$ and $N + 1$ are not leap years.

The $100$ th day of year $N - 1$ precedes the Tuesday (day $300$ of year $N$ ) by $(365 - 100) + 300 = 565$ days. Since $565 = 7 \cdot 80 + 5,$ that day is $5$ days earlier in the week than Tuesday, which is a Thursday.

Thus, the correct answer is A.