2013 AMC 10B — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

¿Cuál es el valor de la siguiente expresión? $\frac{2+4+6}{1+3+5} - \frac{1+3+5}{2+4+6}$

What is the value of the following expression? $\frac{2+4+6}{1+3+5} - \frac{1+3+5}{2+4+6}$

$-1$

$\dfrac{5}{36}$

$\dfrac{7}{12}$

$\dfrac{49}{20}$

$\dfrac{43}{3}$

Respuesta: C

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Calcula por separado la suma de los números pares y la de los impares.

Compute the even and odd sums separately

Pista grande:

Después de simplificar, convierte ambas fracciones a un denominador común.

Convert both fractions to a common denominator after simplifying

Solución:

$\begin{aligned} &\frac{2+4+6}{1+3+5} - \frac{1+3+5}{2+4+6} \\ \ &= \dfrac {12}9 - \dfrac 9{12} \\ &= \dfrac 43 - \dfrac 34 \\ &= \dfrac 7{12} \end{aligned}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

$\begin{aligned} &\frac{2+4+6}{1+3+5} - \frac{1+3+5}{2+4+6} \\ \ &= \dfrac {12}9 - \dfrac 9{12} \\ &= \dfrac 43 - \dfrac 34 \\ &= \dfrac 7{12} \end{aligned}$

Thus, the correct answer is C.

2.

El señor Green mide su jardín rectangular caminando dos de sus lados y encuentra que mide $15$ pasos por $20$ pasos. Cada paso del señor Green mide $2$ pies de largo. El señor Green espera obtener media libra de papas por cada pie cuadrado de su jardín. ¿Cuántas libras de papas espera obtener el señor Green de su jardín?

Mr. Green measures his rectangular garden by walking two of the sides and finds that it is $15$ steps by $20$ steps. Each of Mr. Green’s steps is $2$ feet long. Mr. Green expects a half a pound of potatoes per square foot from his garden. How many pounds of potatoes does Mr. Green expect from his garden?

$600$

$800$

$1000$

$1200$

$1400$

Respuesta: A

Conceptos:conversión de unidades área tasa

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Primero convierte cada lado del jardín de pasos a pies.

Convert each garden side from steps to feet

Pista grande:

Después multiplica el área por media libra por pie cuadrado.

Multiply area by half a pound per square foot

Solución:

Las dimensiones del jardín son $2\cdot 15 = 30$ pies por $2\cdot 20=40$ pies. Así, la superficie, en pies cuadrados, es $30\cdot 40 = 1200.$

Por lo tanto, se esperan $1200\cdot \dfrac 12 =600$ libras de papas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

The dimensions of the garden are $2\cdot 15 = 30$ feet by $2\cdot 20=40$ feet. Thus, the square footage is $30\cdot 40 = 1200.$

Therefore, there are $1200\cdot \dfrac 12 =600$ pounds of potatoes.

Thus, the correct answer is A .

3.

En cierto día de enero, la temperatura máxima en Lincoln, Nebraska, fue $16$ grados más alta que la temperatura mínima, y el promedio de las temperaturas máxima y mínima fue $3$ grados. ¿Cuál fue la temperatura mínima en Lincoln ese día (en grados)?

On a particular January day, the high temperature in Lincoln, Nebraska, was $16$ degrees higher than the low temperature, and the average of the high and low temperatures was $3$ degrees. What was the low temperature in Lincoln that day (in degrees)?

$-13$

$-8$

$-5$

$-3$

$11$

Respuesta: C

Conceptos:media ecuación lineal

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Las temperaturas máxima y mínima están a la misma distancia del promedio.

The high and low temperatures are equally spaced around the average

Pista grande:

La temperatura mínima está $8$ grados por debajo del promedio.

The low temperature is $8$ degrees below the average

Solución:

Sea $l$ la temperatura mínima. Entonces, la temperatura máxima es $l+16.$

El promedio satisface $\dfrac{l+l+16}2 = l+8 = 3.$ Por lo tanto, $l = -5.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $l$ represent the low temperature. Then the high temperature is $l+16.$

The average satisfies $\dfrac{l+l+16}2 = l+8 = 3.$ Therefore, $l = -5.$

Thus, the correct answer is C.

4.

Al contar desde $3$ hasta $201,$ el número $53$ ocupa la posición $51.$ Al contar hacia atrás desde $201$ hasta $3,$ el número $53$ ocupa la posición $n.$ ¿Cuánto vale $n$ ?

When counting from $3$ to $201,$ the number $53$ is in position $51.$ When counting backward from $201$ to $3,$ the number $53$ is in position $n.$ What is $n?$

$146$

$147$

$148$

$149$

$150$

Respuesta: D

Conceptos:conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Cuenta hacia atrás usando $201$ como posición $1$ .

Count backward by using $201$ as position $1$

Pista grande:

Un número $x$ ocupa la posición $202-x$ al contar hacia atrás.

A number $x$ is in backward position $202-x$

Solución:

Al contar hacia atrás, $201$ es el primer número, $200$ es el segundo y, en general, $x$ es el número $202-x$ .

Así, $53$ es el número $202-53=149$ contado.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

When counting backward, $201$ is the first number, $200$ is the second, and in general $x$ is the $202-x$ th number.

Thus $53$ is the $202-53=149$ th number counted.

Thus, the correct answer is D .

5.

Los enteros positivos $a$ y $b$ son cada uno menores que $6.$ ¿Cuál es el menor valor posible de la siguiente expresión? $2 \cdot a - a \cdot b$

Positive integers $a$ and $b$ are each less than $6.$ What is the smallest possible value of the following expression? $2 \cdot a - a \cdot b$

$-20$

$-15$

$-10$

$0$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:factorización optimización

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Factoriza la expresión como $a(2-b)$ .

Factor the expression as $a(2-b)$

Pista grande:

Haz que $2-b$ sea lo más negativo posible mientras haces $a$ lo más grande posible.

Make $2-b$ as negative as possible while making $a$ large

Solución:

La expresión es $2a-ab=a(2-b)$ .

Para hacerla lo más pequeña posible, elige $b$ lo más grande posible para que $2-b$ sea lo más negativo, y elige $a$ lo más grande posible. Como $a,b<6$ , toma $a=b=5$ .

El valor mínimo es $5(2-5)=-15$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

The expression is $2a-ab=a(2-b)$ .

To make it as small as possible, choose $b$ as large as possible so that $2-b$ is most negative, and choose $a$ as large as possible. Since $a,b<6$ , take $a=b=5$ .

The minimum value is $5(2-5)=-15$ .

Thus, the correct answer is B .

6.

La edad promedio de $33$ estudiantes de quinto grado es $11.$ La edad promedio de $55$ de sus padres es $33.$ ¿Cuál es la edad promedio de todos estos padres y estudiantes de quinto grado?

The average age of $33$ fifth-graders is $11.$ The average age of $55$ of their parents is $33.$ What is the average age of all of these parents and fifth-graders?

$22$

$23.25$

$24.75$

$26.25$

$28$

Respuesta: C

Conceptos:media

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Usa la edad total, no el promedio de los dos promedios.

Use total age, not the average of the two averages

Pista grande:

Calcula $33\cdot11+55\cdot33$ y divide entre $88$ .

Compute $33\cdot11+55\cdot33$ and divide by $88$

Solución:

La suma de las edades de todos los estudiantes de quinto grado y sus padres es: $33\cdot 11+55\cdot 33 = 66\cdot 33.$

Luego, como el promedio es la suma dividida entre el número de personas, la edad promedio debe ser: $\dfrac{66\cdot 33}{88} = \dfrac 34 \cdot 33 = 24.75 .$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The sum of the ages of all the fifth-graders and their parents is: $33\cdot 11+55\cdot 33 = 66\cdot 33.$

Then, as the average is the sum divided by the number of people, the average age must be: $\dfrac{66\cdot 33}{88} = \dfrac 34 \cdot 33 = 24.75 .$

Thus, the correct answer is C .

7.

Seis puntos están igualmente espaciados alrededor de una circunferencia de radio $1.$ Tres de estos puntos son los vértices de un triángulo que no es ni equilátero ni isósceles. ¿Cuál es el área de este triángulo?

Six points are equally spaced around a circle of radius $1.$ Three of these points are the vertices of a triangle that is neither equilateral nor isosceles. What is the area of this triangle?

$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$1$

$\sqrt{2}$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular triángulo rectángulo especial área del triángulo

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

El único triángulo permitido, no isósceles, a partir de seis puntos igualmente espaciados es un triángulo $30$ - $60$ - $90$

The only allowed non-isosceles triangle from six equally spaced points is a $30$ - $60$ - $90$ triangle

Pista grande:

Usa el diámetro como la hipotenusa.

Use the diameter as the hypotenuse

Solución:

Seis puntos igualmente espaciados en la circunferencia forman un hexágono regular. Un triángulo que use tres de ellos no es equilátero ni isósceles solo cuando sus ángulos son $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ .

La hipotenusa es un diámetro de la circunferencia unitaria, así que tiene longitud $2$ . Los catetos del triángulo $30$ - $60$ - $90$ son $1$ y $\sqrt3$ .

El área es $\frac12\cdot1\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3}{2}$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Six equally spaced points on the circle form a regular hexagon. A triangle using three of them is not equilateral or isosceles only when its angles are $30^\circ,60^\circ,90^\circ$ .

The hypotenuse is a diameter of the unit circle, so it has length $2$ . The legs of the $30$ - $60$ - $90$ triangle are $1$ and $\sqrt3$ .

The area is $\frac12\cdot1\cdot\sqrt3=\frac{\sqrt3}{2}$ .

Thus, the correct answer is B .

8.

El auto de Ray promedia $40$ millas por galón de gasolina, y el auto de Tom promedia $10$ millas por galón de gasolina. Ray y Tom conducen cada uno la misma cantidad de millas. ¿Cuál es la tasa combinada de millas por galón de gasolina de los autos?

Ray’s car averages $40$ miles per gallon of gasoline, and Tom’s car averages $10$ miles per gallon of gasoline. Ray and Tom each drive the same number of miles. What is the cars’ combined rate of miles per gallon of gasoline?

$10$

$16$

$25$

$30$

$40$

Respuesta: B

Conceptos:tasa razón y proporción

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Haz que ambos autos recorran una distancia común conveniente.

Let both cars drive a convenient common distance

Pista grande:

Las millas por galón combinadas son las millas totales divididas entre los galones totales.

Combined miles per gallon is total miles divided by total gallons

Solución:

Haz que cada auto recorra $40$ millas, entonces juntos recorren $80$ millas.

Ray usa $1$ galón, mientras que Tom usa $4$ galones, así que juntos usan $5$ galones.

La tasa combinada es $80\div5=16$ millas por galón.

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let each car drive $40$ miles. Together they drive $80$ miles.

Ray uses $1$ gallon, while Tom uses $4$ gallons, so together they use $5$ gallons.

The combined rate is $80\div5=16$ miles per gallon.

Thus, the correct answer is B .

9.

Tres enteros positivos son cada uno mayores que $1,$ tienen un producto de $27000 ,$ y son coprimos dos a dos. ¿Cuál es su suma?

Three positive integers are each greater than $1,$ have a product of $27000 ,$ and are pairwise relatively prime. What is their sum?

$100$

$137$

$156$

$160$

$165$

Respuesta: D

Conceptos:factorización en primos máximo común divisor

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Coloca cada factor de potencia de primo completo en uno de los tres números.

Put each prime-power factor wholly into one of the three numbers

Pista grande:

Coprimos dos a dos significa que ningún primo puede aparecer en dos números distintos.

Pairwise relatively prime means no prime can appear in two different numbers

Solución:

Solo uno de ellos es múltiplo de $2,$ solo uno de ellos es múltiplo de $3,$ y solo uno de ellos es múltiplo de $5.$

Como cada uno de los enteros positivos es mayor que $1,$ cada uno de ellos debe ser múltiplo de uno de los primos dados.

Ahora, $27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3,$ por lo que los números deben ser $2^3,3^3,5^3,$ y su suma es $160.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Only one number is a multiple of $2,$ only one is a multiple of $3,$ and only one is a multiple of $5.$

Since each positive integer is greater than $1,$ each must be a multiple of one of these primes.

Now $27000=2^3\cdot 3^3\cdot 5^3.$ Therefore, the numbers must be $2^3,3^3,5^3,$ and their sum is $160.$

Thus, the correct answer is D.

10.

Los jugadores de un equipo de baloncesto acertaron el $50\%$ de sus tiros de dos puntos y el $40\%$ de sus tiros de tres puntos, lo que resultó en $54$ puntos. Intentaron un $50\%$ más de tiros de dos puntos que de tres puntos. ¿Cuántos tiros de tres puntos intentaron?

A basketball team’s players were successful on $50\%$ of their two-point shots and $40\%$ of their three-point shots, which resulted in $54$ points. They attempted $50\%$ more two-point shots than three-point shots. How many three-point shots did they attempt?

$10$

$15$

$20$

$25$

$30$

Respuesta: C

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sea $x$ el número de intentos de tres puntos.

Let $x$ be the number of three-point attempts

Pista grande:

Traduce los porcentajes de aciertos a puntos totales en términos de $x$ .

Translate made-shot percentages into total points in terms of $x$

Solución:

Sea $t$ el número de intentos de tres puntos.

El número de tiros de tres puntos acertados es $0.4 t,$ lo que da $1.2t$ puntos.

El número de intentos de dos puntos es $1.5t,$ así que se aciertan $0.75t,$ lo que da $1.5t$ puntos.

Así, el número total de puntos satisface $2.7t=54,$ y, por lo tanto, $t=20.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $t$ be the number of three-point attempts.

The number of made three-point shots is $0.4 t,$ giving $1.2t$ points.

The number of two-point attempts is $1.5t,$ so the number made is $0.75t,$ giving $1.5t$ points.

Thus the total number of points satisfies $2.7t=54,$ so $t=20.$

Thus, the correct answer is C.

11.

Los números reales $x$ e $y$ satisfacen la ecuación $x^2+y^2=10x-6y-34.$ ¿Cuánto vale $x+y$ ?

Real numbers $x$ and $y$ satisfy the equation $x^2+y^2=10x-6y-34.$ What is $x+y?$

$1$

$2$

$3$

$6$

$8$

Respuesta: B

Conceptos:completar el cuadrado

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pasa todos los términos a un lado y completa dos cuadrados.

Move all terms to one side and complete two squares

Pista grande:

Una suma de cuadrados es igual a cero solo cuando ambos cuadrados son cero.

A sum of squares equals zero only when both squares are zero

Solución:

Esto se puede reescribir como $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

Al completar el cuadrado se obtiene $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Como ambos términos cuadrados son no negativos y su suma es $0,$ ambos deben ser $0$ . Por lo tanto, $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

Por lo tanto, $x=5,y=-3.$ Esto hace que la suma sea $x+y=2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

This can be rewritten as $x^2-10x+y^2+6y+34=0.$

Completing the square yields $x^2-10x+25+y^2+6y+9$ $=(x-5)^2+(y+3)^2$ $=0.$ Since both squared terms are nonnegative and their sum is $0,$ both must be $0$ . Thus $(x-5)^2 = (y+3)^2=0.$

Therefore, $x=5,y=-3,$ so $x+y=2.$

Thus, the correct answer is B.

12.

Sea $S$ el conjunto de los lados y las diagonales de un pentágono regular. Se seleccionan al azar, sin reemplazo, dos elementos de $S$ . ¿Cuál es la probabilidad de que los dos segmentos elegidos tengan la misma longitud?

Let $S$ be the set of sides and diagonals of a regular pentagon. A pair of elements of $S$ are selected at random without replacement. What is the probability that the two chosen segments have the same length?

$\dfrac{2}5$

$\dfrac{4}9$

$\dfrac{1}2$

$\dfrac{5}9$

$\dfrac{4}5$

Respuesta: B

Conceptos:probabilidad básica polígono regular muestreo sin reemplazo

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Un pentágono regular tiene cinco lados iguales y cinco diagonales iguales.

A regular pentagon has five equal sides and five equal diagonals

Pista grande:

Después de elegir el primer segmento, cuenta las opciones de la misma longitud entre los nueve restantes.

After one segment is chosen, count same-length choices among the remaining nine

Solución:

Un pentágono regular tiene $5$ lados de una longitud y $5$ diagonales de otra longitud.

Después de elegir el primer segmento, quedan $9$ segmentos, y exactamente $4$ de ellos tienen la misma longitud que el primer segmento elegido.

Por lo tanto, la probabilidad es $\frac49$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

A regular pentagon has $5$ sides of one length and $5$ diagonals of another length.

After the first segment is chosen, there are $9$ segments left, and exactly $4$ of them have the same length as the first chosen segment.

Therefore the probability is $\frac49$ .

Thus, the correct answer is B .

13.

Jo y Blair se turnan para contar desde $1$ hasta uno más que el último número dicho por la otra persona. Jo empieza diciendo “ $1$ ”, así que Blair sigue diciendo “ $1,$ $2$ ”. Luego Jo dice “ $1,$ $2,$ $3$ ”, y así sucesivamente. ¿Qué número se dice en la posición $53$ ?

Jo and Blair take turns counting from $1$ to one more than the last number said by the other person. Jo starts by saying “ $1$ ”, so Blair follows by saying “ $1,$ $2$ ”. Jo then says “ $1,$ $2,$ $3$ ”, and so on. What number is spoken in position $53$ ?

$2$

$3$

$5$

$6$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:número triangular reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Encuentra el número triangular justo antes de $53$ .

Find the triangular number just before $53$

Pista grande:

La siguiente lista dicha empieza de nuevo en $1$ .

The next spoken list starts again at $1$

Solución:

Hasta el turno que termina en $n$ , el número total de números pronunciados es $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$

Después del turno que termina en $9$ , se han pronunciado exactamente $\frac{9\cdot10}{2}=45$ números. El turno siguiente es la lista $1,2,\ldots,10$ , así que su octava entrada es el número pronunciado en la posición $53$ . Esa entrada es $8$ .

Así, la respuesta correcta es E.

Through the turn ending with $n$ , the total number of numbers spoken is $1+2+\cdots+n=\frac{n(n+1)}2.$

After the turn ending with $9$ , exactly $\frac{9\cdot10}{2}=45$ numbers have been spoken. The next turn is the list $1,2,\ldots,10$ , so its eighth entry is the $53$ rd number spoken. That entry is $8$ .

Thus, the correct answer is E .

14.

Se define $a\clubsuit b=a^2b-ab^2 .$ ¿Cuál de las siguientes opciones describe el conjunto de puntos $(x, y)$ para los que $x\clubsuit y=y\clubsuit x$ ?

Define $a\clubsuit b=a^2b-ab^2 .$ Which of the following describes the set of points $(x, y)$ for which $x\clubsuit y=y\clubsuit x ?$

Un conjunto finito de puntos

A finite set of points

Una recta

One line

Dos rectas paralelas

Two parallel lines

Dos rectas que se cortan

Two intersecting lines

Tres rectas

Three lines

Respuesta: E

Conceptos:operación personalizada factorización

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Desarrolla ambas expresiones de la operación personalizada.

Expand both custom-operation expressions

Pista grande:

Factoriza la ecuación resultante en factores de recta.

Factor the resulting equation into line factors

Solución:

La condición $x\clubsuit y=y\clubsuit x$ se desarrolla como $x^2y-xy^2=y^2x-yx^2$ .

Al combinar términos semejantes y factorizar se obtiene $2x^2y-2xy^2=2xy(x-y)=0$ .

Por lo tanto, $x=0$ , $y=0$ o $x=y$ , y estas son tres rectas.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The condition is $x\clubsuit y=y\clubsuit x$ , so $x^2y-xy^2=y^2x-yx^2$ .

Combining like terms gives $2x^2y-2xy^2=2xy(x-y)=0$ .

Thus $x=0$ , $y=0$ , or $x=y$ . These are three lines.

Thus, the correct answer is E .

15.

Un alambre se corta en dos piezas, una de longitud $a$ y la otra de longitud $b.$ La pieza de longitud $a$ se dobla para formar un triángulo equilátero, y la pieza de longitud $b$ se dobla para formar un hexágono regular. El triángulo y el hexágono tienen la misma área. ¿Cuánto vale $\frac{a}{b}$ ?

A wire is cut into two pieces, one of length $a$ and the other of length $b.$ The piece of length $a$ is bent to form an equilateral triangle, and the piece of length $b$ is bent to form a regular hexagon. The triangle and the hexagon have equal area. What is $\frac{a}{b}?$

$1$

$\dfrac{\sqrt{6}}{2}$

$\sqrt{3}$

$2$

$\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$

Respuesta: B

Conceptos:polígono regular triángulo equilátero escalamiento de potencias de longitud, área y volumen

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Piensa en el hexágono regular como seis triángulos equiláteros pequeños.

Compare the side length of the large equilateral triangle with the small equilateral triangles inside the hexagon

Pista grande:

Las áreas escalan como el cuadrado de la longitud del lado.

Areas scale as the square of side length

Solución:

Sea $s$ la longitud del lado del triángulo equilátero y $A$ su área. Entonces $a=3s.$

De este modo, un hexágono con lado $s$ tendría $6$ triángulos equiláteros, con longitud de lado $s,$ por lo que su área es $6A.$

Por lo tanto, la longitud del lado del hexágono con área $A$ es igual a $\dfrac{s}{\sqrt 6} .$ Así, $b = 6\cdot \dfrac{s}{\sqrt 6} = s\sqrt 6 .$

Esto hace que $\dfrac ab = \dfrac{3s}{s\sqrt 6} = \dfrac{3 \sqrt 6}6 = \dfrac{\sqrt 6} 2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let $s$ be the side length of the equilateral triangle and $A$ its area. Then $a=3s.$

A regular hexagon of side length $s$ consists of $6$ equilateral triangles of side length $s,$ so its area is $6A.$

Therefore, a regular hexagon of area $A$ has side length $\dfrac{s}{\sqrt 6} .$ Hence $b = 6\cdot \dfrac{s}{\sqrt 6} = s\sqrt 6 .$

It follows that $\dfrac ab = \dfrac{3s}{s\sqrt 6} = \dfrac{3 \sqrt 6}6 = \dfrac{\sqrt 6} 2.$

Thus, the correct answer is B.

16.

En el $\triangle ABC,$ las medianas $AD$ y $CE$ se cortan en $P,$ $PE=1.5,$ $PD=2,$ y $DE=2.5.$ ¿Cuál es el área del cuadrilátero $AEDC$ ?

In triangle $\triangle ABC,$ medians $AD$ and $CE$ intersect at $P,$ $PE=1.5,$ $PD=2,$ and $DE=2.5.$ What is the area of $AEDC?$

$13$

$13.5$

$14$

$14.5$

$15$

Respuesta: B

Conceptos:baricentro mediana (geometría)Terna pitagórica área

Nivel de dificultad: 1600

Pista pequeña:

Usa la razón del centroide, dos a uno, en ambas medianas.

Use the centroid ratio on both medians

Pista grande:

El triángulo $1.5,2,2.5$ es rectángulo.

The $1.5,2,2.5$ triangle is right

Solución:

Como $PE:PD:DE=1.5:2:2.5$ $=3:4:5$ , el triángulo $DPE$ es rectángulo en $P$ . Así, las medianas $AD$ y $CE$ son perpendiculares.

El centroide divide cada mediana en una razón $2:1$ , así que $CE=3\cdot PE=4.5$ y $AD=3\cdot PD=6$ .

El cuadrilátero $AEDC$ tiene diagonales perpendiculares $AD$ y $CE$ , así que su área es $\frac12(AD)(CE)=\frac12\cdot6\cdot4.5=13.5$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Since $PE:PD:DE=1.5:2:2.5$ $=3:4:5$ , triangle $DPE$ is right at $P$ . Thus medians $AD$ and $CE$ are perpendicular.

The centroid divides each median in a $2:1$ ratio, so $CE=3\cdot PE=4.5$ and $AD=3\cdot PD=6$ .

Quadrilateral $AEDC$ has perpendicular diagonals $AD$ and $CE$ , so its area is $\frac12(AD)(CE)=\frac12\cdot6\cdot4.5=13.5$ .

Thus, the correct answer is B .

17.

Alex tiene $75$ fichas rojas y $75$ fichas azules. Hay un puesto donde Alex puede entregar dos fichas rojas y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha azul, y otro puesto donde Alex puede entregar tres fichas azules y recibir a cambio una ficha plateada y una ficha roja. Alex sigue intercambiando fichas hasta que ya no sean posibles más intercambios. ¿Cuántas fichas plateadas tendrá Alex al final?

Alex has $75$ red tokens and $75$ blue tokens. There is a booth where Alex can give two red tokens and receive in return a silver token and a blue token, and another booth where Alex can give three blue tokens and receive in return a silver token and a red token. Alex continues to exchange tokens until no more exchanges are possible. How many silver tokens will Alex have at the end?

$62$

$82$

$83$

$102$

$103$

Respuesta: E

Conceptos:Ecuación diofántica invariante simulación de procesos

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

Sean $m$ y $n$ las cantidades de los dos tipos de intercambio.

Let $m$ and $n$ be the numbers of the two exchange types

Pista grande:

Que no haya más movimientos significa menos de $2$ fichas rojas y menos de $3$ fichas azules.

No more moves means fewer than $2$ red and fewer than $3$ blue tokens

Solución:

Supón que Alex hace $m$ intercambios en el puesto de fichas rojas y $n$ intercambios en el puesto de fichas azules.

Entonces tiene $75-2m+n$ fichas rojas y $75+m-3n$ fichas azules. Al final debe tener menos de $2$ fichas rojas y menos de $3$ fichas azules.

Al resolver estas posibilidades terminales se obtienen solo dos conteos finales candidatos de fichas: $(1,2)$ , que proviene de $(m,n)=(59,44)$ , o $(0,0)$ , que proviene de $(m,n)=(60,45)$ .

El conteo final $(0,0)$ es imposible, porque el último intercambio siempre crearía una ficha azul o una ficha roja.

El conteo final $(1,2)$ es alcanzable. Partiendo de $(75,75)$ fichas rojas y azules, haz $25$ intercambios en el puesto azul, luego $50$ en el puesto rojo, después $16$ en el puesto azul, $8$ en el puesto rojo, $3$ en el puesto azul y, por último, $1$ en el puesto rojo. Los conteos de fichas rojas y azules pasan a ser $\begin{aligned} &(100,0),(0,50),(16,2),\\ &(0,10),(3,1),(1,2). \end{aligned}$

Por lo tanto, Alex termina con $59+44=103$ fichas plateadas, y la respuesta correcta es E.

Suppose Alex makes $m$ exchanges at the red-token booth and $n$ exchanges at the blue-token booth.

He then has $75-2m+n$ red tokens and $75+m-3n$ blue tokens. At the end he must have fewer than $2$ red tokens and fewer than $3$ blue tokens.

Solving these terminal possibilities gives only two candidate final token counts: $(1,2)$ , which comes from $(m,n)=(59,44)$ , or $(0,0)$ , which comes from $(m,n)=(60,45)$ .

The final count $(0,0)$ is impossible, because the last exchange would always create either one blue token or one red token.

The final count $(1,2)$ is attainable. Starting from $(75,75)$ red and blue tokens, make $25$ blue-booth exchanges, then $50$ red-booth exchanges, then $16$ blue-booth exchanges, then $8$ red-booth exchanges, then $3$ blue-booth exchanges, and finally $1$ red-booth exchange. The red-blue counts become $\begin{aligned} &(100,0),(0,50),(16,2),\\ &(0,10),(3,1),(1,2). \end{aligned}$

Therefore Alex ends with $59+44=103$ silver tokens, and the correct answer is E .

18.

El número $2013$ tiene la propiedad de que su cifra de las unidades es la suma de sus otras cifras, es decir $2+0+1=3.$ ¿Cuántos enteros menores que $2013$ pero mayores que $1000$ tienen esta propiedad?

The number $2013$ has the property that its units digit is the sum of its other digits, that is $2+0+1=3.$ How many integers less than $2013$ but greater than $1000$ have this property?

$33$

$34$

$45$

$46$

$58$

Respuesta: D

Conceptos:dígitos análisis por casos número triangular

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Cuenta los números de $1001$ a $1999$ según su cifra de las unidades.

Count numbers from $1001$ to $1999$ by their units digit

Pista grande:

Trata por separado el pequeño rango de $2000$ a $2012$ .

Handle the small range from $2000$ to $2012$ separately

Solución:

Dadas las tres primeras cifras, si su suma es menor o igual que $9,$ se crea un número con la propiedad.

Ahora separamos los casos según la cifra de los millares.

Si la cifra de los millares es $1,$ entonces la suma de las cifras de las centenas y las decenas debe ser menor o igual que $8.$ Para cada suma posible $s,$ hay $s+1$ formas de elegir las otras cifras, ya que la cifra de las centenas puede ir desde $0$ hasta $s.$

Así, este caso da el noveno número triangular: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

Si la cifra de los millares es $2,$ entonces el único número que cumple la condición y es menor que $2013$ es $2002,$ lo que da un total de $46$ casos.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Once the first three digits are given, their sum determines the units digit, provided that the sum is at most $9.$

We separate the possibilities according to the thousands digit.

If the thousands digit is $1,$ then the sum of the hundreds and tens digits must be at most $8.$ For each possible sum $s,$ there are $s+1$ choices, because the hundreds digit can range from $0$ to $s.$

Thus, this case gives the ninth triangular number: $\dfrac{9\cdot 10}2 =45.$

If the thousands digit is $2,$ the only qualifying number below $2013$ is $2002,$ giving $46$ cases in total.

Thus, the correct answer is D.

19.

Los números reales $c,$ $b,$ $a$ forman una sucesión aritmética con $a \geq b \geq c \geq 0.$ La cuadrática $ax^2+bx+c$ tiene exactamente una raíz. ¿Cuál es esta raíz?

The real numbers $c,$ $b,$ $a$ form an arithmetic sequence with $a \geq b \geq c \geq 0.$ The quadratic $ax^2+bx+c$ has exactly one root. What is this root?

$-7-4\sqrt{3}$

$-2-\sqrt{3}$

$-1$

$-2+\sqrt{3}$

$-7+4\sqrt{3}$

Respuesta: D

Conceptos:cuadrática sucesión aritmética

Nivel de dificultad: 1790

Pista pequeña:

Escribe la sucesión aritmética como $b-d,b,b+d$ .

Write the arithmetic sequence as $b-d,b,b+d$

Pista grande:

Usa la condición de discriminante cero.

Use the zero discriminant condition

Solución:

Sea $d$ la diferencia común, así que $c=b-d$ y $a=b+d$ .

Una cuadrática con exactamente una raíz real tiene discriminante $0$ , así que $b^2-4ac=0$ . Al sustituir se obtiene $b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2$ , de donde $4d^2=3b^2$ .

Como $b,d\ge0$ , $2d=\sqrt3 b$ . La raíz doble es $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let the common difference be $d$ , so $c=b-d$ and $a=b+d$ .

A quadratic with exactly one real root has discriminant $0$ , so $b^2-4ac=0$ . Substituting gives $b^2=4(b+d)(b-d)=4b^2-4d^2$ , hence $4d^2=3b^2$ .

Since $b,d\ge0$ , $2d=\sqrt3 b$ . The double root is $\frac{-b}{2a}=\frac{-b}{2(b+d)}=\frac{-1}{2+\sqrt3}=-2+\sqrt3$ .

Thus, the correct answer is D .

20.

El número $2013$ se expresa en la forma $2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!},$ donde $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ y $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ son enteros positivos y $a_1 + b_1$ es lo más pequeño posible. ¿Cuánto vale $|a_1 - b_1|$ ?

The number $2013$ is expressed in the form $2013 = \frac {a_1!a_2!\cdots a_m!}{b_1!b_2!\cdots b_n!},$ where $a_1 \ge a_2 \ge \cdots \ge a_m$ and $b_1 \ge b_2 \ge \cdots \ge b_n$ are positive integers and $a_1 + b_1$ is as small as possible. What is $|a_1 - b_1|?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: B

Conceptos:factorial factorización en primos

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

El numerador debe incluir un factor de $61$ .

The numerator must include a factor of $61$

Pista grande:

Cualquier primo no deseado menor que $61$ , especialmente $59$ , debe cancelarse en el denominador.

Any unwanted prime below $61$ , especially $59$ , must be canceled from the denominator

Solución:

La factorización en primos es $2013=3\cdot11\cdot61$ , así que el numerador debe contener un factor de $61$ . Por lo tanto, $a_1\ge61$ .

Pero $61!$ también contiene el factor primo $59$ , que no está en $2013$ , así que el denominador debe contener un factor de $59$ . Por lo tanto, $b_1\ge59$ .

La cota inferior $a_1+b_1\ge120$ es alcanzable porque $2013=\frac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}$ .

Así, $|a_1-b_1|=61-59=2$ , y la respuesta correcta es B.

The prime factorization is $2013=3\cdot11\cdot61$ , so the numerator must contain a factor of $61$ . Hence $a_1\ge61$ .

But $61!$ also contains the prime factor $59$ , which is not in $2013$ , so the denominator must contain a factor of $59$ . Hence $b_1\ge59$ .

The lower bound $a_1+b_1\ge120$ is attainable because $2013=\frac{61!\,11!\,3!}{59!\,10!\,5!}$ .

Thus $|a_1-b_1|=61-59=2$ , and the correct answer is B .

21.

Dos sucesiones no decrecientes de enteros no negativos tienen primeros términos distintos. Cada sucesión tiene la propiedad de que cada término, a partir del tercero, es la suma de los dos términos anteriores, y el séptimo término de cada sucesión es $N.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $N$ ?

Two non-decreasing sequences of nonnegative integers have different first terms. Each sequence has the property that each term beginning with the third is the sum of the previous two terms, and the seventh term of each sequence is $N.$ What is the smallest possible value of $N$ ?

$55$

$89$

$104$

$144$

$273$

Respuesta: C

Conceptos:Fibonacci Ecuación diofántica optimización

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Escribe el séptimo término en función de los dos primeros términos.

Write the seventh term in terms of the first two terms

Pista grande:

Usa las relaciones de divisibilidad por $8$ y por $5$ para forzar los inicios distintos más pequeños.

Use divisibility by $8$ and $5$ to force the smallest distinct starts

Solución:

Una sucesión que empieza con $u,v$ tiene séptimo término $5u+8v$ .

Para dos sucesiones $(a_1,a_2)$ y $(b_1,b_2)$ con primeros términos distintos, supón que $a_1\lt b_1$ . Entonces $5a_1+8a_2=5b_1+8b_2$ , así que $5(b_1-a_1)=8(a_2-b_2)$ .

Como $5$ y $8$ son coprimos, $b_1-a_1$ es al menos $8$ , y entonces el orden no decreciente da $b_2\ge b_1\ge a_1+8$ .

La construcción más pequeña es $a_1=0$ , $b_1=b_2=8$ y $a_2=13$ . Esto da $N=5\cdot0+8\cdot13=104$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

A sequence starting with $u,v$ has seventh term $5u+8v$ .

For two sequences $(a_1,a_2)$ and $(b_1,b_2)$ with different first terms, assume $a_1\lt b_1$ . Then $5a_1+8a_2=5b_1+8b_2$ , so $5(b_1-a_1)=8(a_2-b_2)$ .

Since $5$ and $8$ are relatively prime, $b_1-a_1$ is at least $8$ , and then nondecreasing order gives $b_2\ge b_1\ge a_1+8$ .

The smallest construction is $a_1=0$ , $b_1=b_2=8$ , and $a_2=13$ . This gives $N=5\cdot0+8\cdot13=104$ .

Thus, the correct answer is C .

22.

El octágono regular $ABCDEFGH$ tiene su centro en $J.$ Cada uno de los vértices y el centro se deben asociar con uno de los dígitos $1$ al $9,$ usando cada dígito una vez, de tal manera que las sumas de los números en las líneas $AJE,$ $BJF,$ $CJG,$ y $DJH$ sean todas iguales. ¿De cuántas maneras se puede hacer esto?

The regular octagon $ABCDEFGH$ has its center at $J.$ Each of the vertices and the center are to be associated with one of the digits $1$ through $9,$ with each digit used once, in such a way that the sums of the numbers on the lines $AJE,$ $BJF,$ $CJG,$ and $DJH$ are all equal. In how many ways can this be done?

$384$

$576$

$1152$

$1680$

$3456$

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado mágico aritmética modular emparejamiento y agrupación principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

El dígito central contribuye a las cuatro sumas de línea.

The center digit contributes to all four line sums

Pista grande:

Después de elegir el centro, empareja los dígitos restantes en pares opuestos de igual suma.

After choosing the center, pair the remaining digits into equal-sum opposite pairs

Solución:

Sea $S$ definida como: $\begin{aligned} S &= A+J+E \\ &=B+J+F \\ &=C+J+G \\ &=D+J+H \end{aligned}$ $\begin{aligned} 4S &= A+B+C+D+E \\ &\quad+F+G+H+4J \end{aligned}$ $4S = 45+3J$ $45+3J \equiv 0 \mod 4$ $3J \equiv 3 \mod 4$ $J \equiv 1 \mod 4$

Esto significa que $J=1,5,9.$ A partir de aquí, supongamos que $J=1.$ Veremos que los otros casos son lo bastante similares como para omitirlos.

Si $J=1,$ entonces los pares de números que satisfacen la igualdad anterior son $2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6$ Hay $4!$ formas de distribuir los pares en los cuatro grupos, y luego $2^4$ formas de intercambiar los elementos dentro de los pares (es decir, $2+9\iff 9+2$ ).

En los casos $J=5$ y $J=9$ se obtiene el mismo número de agrupaciones e intercambios. Así, hay $3\cdot 4! \cdot 2^4 = 1152$ posibilidades.

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Let $S$ be defined as: $\begin{aligned} S &= A+J+E \\ &=B+J+F \\ &=C+J+G \\ &=D+J+H \end{aligned}$ $\begin{aligned} 4S &= A+B+C+D+E \\ &\quad+F+G+H+4J \end{aligned}$ $4S = 45+3J$ $45+3J \equiv 0 \mod 4$ $3J \equiv 3 \mod 4$ $J \equiv 1 \mod 4$

This means that $J=1,5,9.$ From here, let’s assume $J=1.$ We will see that the other cases are similar enough to omit.

If $J=1,$ then we know that the pairs of numbers that satisfy the equality above are: $2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6$ There are $4!$ ways to distribute the pairs over the four groups, and then $2^4$ ways for these groups to swap elements (i.e. $2+9\iff 9+2$ ).

Now, if we look at the $J=5$ and $J=9$ cases, we see a similar pattern in the number of groupings and swaps. As such, we have: $3\cdot 4! \cdot 2^4 = 1152$ possibilities.

Thus, the correct answer is C .

23.

En el $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ y $CA=15.$ Los puntos distintos $D,$ $E,$ y $F$ están en los segmentos $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ y $\overline{DE},$ respectivamente, de modo que $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ y $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ La longitud del segmento $\overline{DF}$ se puede escribir como $\frac{m}{n},$ donde $m$ y $n$ son enteros positivos coprimos. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

In triangle $\triangle ABC,$ $AB=13,$ $BC=14,$ and $CA=15.$ Distinct points $D,$ $E,$ and $F$ lie on segments $\overline{BC},$ $\overline{CA},$ and $\overline{DE},$ respectively, such that $\overline{AD}\perp\overline{BC},$ $\overline{DE}\perp\overline{AC},$ and $\overline{AF}\perp\overline{BF}.$ The length of segment $\overline{DF}$ can be written as $\frac{m}{n},$ where $m$ and $n$ are relatively prime positive integers. What is $m+n?$

$18$

$21$

$24$

$27$

$30$

Respuesta: B

Conceptos:cuadrilátero cíclico Teorema de Ptolomeo altura semejanza

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Usa los datos de área del triángulo $13$ - $14$ - $15$ para hallar el pie de la altura.

Use the $13$ - $14$ - $15$ area data to find the altitude foot

Pista grande:

Usa el cuadrilátero cíclico o los triángulos semejantes para ubicar $F$ en $DE$ .

Use the cyclic quadrilateral or similar triangles to locate $F$ on $DE$

Solución:

Sea $BD=x$ , de modo que $CD=14-x$ . Al aplicar el teorema de Pitágoras a los triángulos rectángulos $ABD$ y $ACD$ , obtenemos $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.$ Por tanto, $BD=5$ , $CD=9$ y $AD=12$ .

Esto produce el siguiente diagrama:

Como $AD\perp BC$ y $DE\perp AC$ , tenemos $\angle ADE=\angle ACD$ . Además, $\angle AFB=\angle ADB=90^\circ$ , por lo que $A,B,D,F$ son concíclicos. Entonces $\angle ABF=\angle ADF=\angle ACD.$ En el triángulo rectángulo $ACD$ , $\cos(\angle ACD)=\frac35$ y $\sin(\angle ACD)=\frac45$ . Por consiguiente, en el triángulo rectángulo $ABF$ , $\begin{aligned} BF&=13\cdot\frac35,\\ AF&=13\cdot\frac45. \end{aligned}$

Por el teorema de Ptolomeo, $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Por tanto, $\begin{aligned} 13\cdot DF&+5\left(13\cdot\frac45\right)\\ &=12\left(13\cdot\frac35\right). \end{aligned}$

Al dividir entre $13$ , obtenemos $DF+4=\frac{36}{5}$ , así que $DF=\frac{16}{5}$ . Por tanto, $m+n=21$ , y la respuesta correcta es B.

Let $BD=x$ , so $CD=14-x$ . Applying the Pythagorean Theorem to right triangles $ABD$ and $ACD$ gives $13^2-x^2=15^2-(14-x)^2.$ Thus $BD=5$ , $CD=9$ , and $AD=12$ .

This yields the following diagram:

Because $AD\perp BC$ and $DE\perp AC$ , we have $\angle ADE=\angle ACD$ . Also, $\angle AFB=\angle ADB=90^\circ$ , so $A,B,D,F$ are concyclic. Hence $\angle ABF=\angle ADF=\angle ACD.$ In right triangle $ACD$ , $\cos(\angle ACD)=\frac35$ and $\sin(\angle ACD)=\frac45$ . Therefore, in right triangle $ABF$ , $\begin{aligned} BF&=13\cdot\frac35,\\ AF&=13\cdot\frac45. \end{aligned}$

By Ptolemy’s Theorem, we get $\begin{aligned} &AB \cdot DF + DB \cdot AF \\ &= BF\cdot AD . \end{aligned}$ Therefore, $\begin{aligned} 13\cdot DF&+5\left(13\cdot\frac45\right)\\ &=12\left(13\cdot\frac35\right). \end{aligned}$

Dividing by $13$ gives $DF+4=\frac{36}{5}$ , so $DF=\frac{16}{5}$ . Thus $m+n=21$ , and the correct answer is B .

24.

Un entero positivo $n$ es “bonito” si existe un entero positivo $m$ con exactamente cuatro divisores positivos (incluidos $1$ y $m$ ) tal que la suma de los cuatro divisores es igual a $n.$ ¿Cuántos números del conjunto $\{ 2010,2011,2012,\dotsc,2019 \}$ son bonitos?

A positive integer $n$ is “nice” if there is a positive integer $m$ with exactly four positive divisors (including $1$ and $m$ ) such that the sum of the four divisors is equal to $n.$ How many numbers in the set $\{ 2010,2011,2012,\dotsc,2019 \}$ are nice?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Respuesta: A

Conceptos:suma de factores primo análisis por casos

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Los números con cuatro divisores son de la forma $p^3$ o $pq$ .

Four-divisor numbers are either $p^3$ or $pq$

Pista grande:

Para el caso $pq$ , convierte la suma de divisores en $(p+1)(q+1)$ .

Convert the divisor sum for $pq$ into $(p+1)(q+1)$

Solución:

Un entero con exactamente cuatro divisores positivos es de la forma $p^3$ o $pq$ , donde $p$ y $q$ son primos distintos.

Si $m=p^3$ , la suma de divisores es $1+p+p^2+p^3$ . Los valores para $p=11$ y $p=13$ caen por debajo y por encima del intervalo $2010$ a $2019$ , así que este caso no da ninguno.

En el caso $m=pq$ , la suma de divisores es $1+p+q+pq=(p+1)(q+1)$ . Si uno de los primos es $2$ , la suma es divisible entre $3$ ; solo $2010$ y $2016$ cumplen, pero $\frac{2010}{3}-1=669$ y $\frac{2016}{3}-1=671$ no son primos.

Si ambos primos son impares, entonces la suma es divisible entre $4$ , lo que deja $2012$ y $2016$ . La factorización $2012=4\cdot503$ daría los primos $3$ y $502$ , imposible, mientras que $2016=4\cdot504$ $=(3+1)(503+1)$ sí funciona.

Así, exactamente un número es bonito, y la respuesta correcta es A.

An integer with exactly four positive divisors is either $p^3$ or $pq$ , where $p$ and $q$ are distinct primes.

If $m=p^3$ , the divisor sum is $1+p+p^2+p^3$ . The values for $p=11$ and $p=13$ fall below and above the interval $2010$ to $2019$ , so this case gives none.

In the $m=pq$ case, the divisor sum is $1+p+q+pq=(p+1)(q+1)$ . If one prime is $2$ , the sum is divisible by $3$ ; only $2010$ and $2016$ qualify, but $\frac{2010}{3}-1=669$ and $\frac{2016}{3}-1=671$ are not prime.

If both primes are odd, then the sum is divisible by $4$ , leaving $2012$ and $2016$ . The factorization $2012=4\cdot503$ would give primes $3$ and $502$ , impossible, while $2016=4\cdot504$ $=(3+1)(503+1)$ works.

Thus exactly one number is nice, and the correct answer is A .

25.

Bernardo elige un entero positivo de tres cifras $N$ y escribe tanto su representación en base $5$ como su representación en base $6$ en una pizarra. Más tarde, LeRoy ve los dos números que Bernardo ha escrito. Tratando los dos números como enteros en base $10,$ los suma para obtener un entero $S.$

Por ejemplo, si $N = 749,$ Bernardo escribe los números $10,$ $\!444$ y $3,$ $\!245,$ y LeRoy obtiene la suma $S = 13,$ $\!689.$ ¿Para cuántas elecciones de $N$ las dos cifras más a la derecha de $S,$ en orden, son las mismas que las de $2N$ ?

Bernardo chooses a three-digit positive integer $N$ and writes both its base- $5$ and base- $6$ representations on a blackboard. Later LeRoy sees the two numbers Bernardo has written. Treating the two numbers as base- $10$ integers, he adds them to obtain an integer $S.$

For example, if $N = 749,$ Bernardo writes the numbers $10,$ $\!444$ and $3,$ $\!245,$ and LeRoy obtains the sum $S = 13,$ $\!689.$ For how many choices of $N$ are the two rightmost digits of $S,$ in order, the same as those of $2N?$

$5$

$10$

$15$

$20$

$25$

Respuesta: E

Conceptos:base numérica aritmética modular Teorema chino del resto

Nivel de dificultad: 2440

Pista pequeña:

Rastrea las dos últimas cifras en base $5$ y en base $6$ con congruencias.

Track the last two base- $5$ and base- $6$ digits with congruences

Pista grande:

Trabaja módulo $25$ , $36$ y $100$ .

Work modulo $25$ , $36$ , and $100$

Solución:

Basta con trabajar módulo $900=\operatorname{lcm}(25,36,100)$ , porque las dos últimas cifras en base $5$ , en base $6$ y en base diez se repiten con ese período.

Sean las dos últimas cifras en base $5$ iguales a $a_1a_0$ y las dos últimas cifras en base $6$ iguales a $b_1b_0$ . La condición de la cifra de las unidades da $a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}$ , así que $a_0=b_0$ .

Escribiendo $N=150N_3+30a_1+a_0$ , la condición de la cifra de las decenas en base $6$ da $N_3\equiv a_1+b_1\pmod6$ , así que $N=900N_4+180a_1$ $+150b_1+a_0$ .

La condición de la cifra de las decenas para $S$ y $2N$ se reduce a $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ . Con $0\le a_1\le4$ y $0\le b_1\le5$ , los pares válidos son $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ .

Hay $5$ opciones para $a_0=b_0$ , así que hay $5\cdot5=25$ elecciones de $N$ .

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

It is enough to work modulo $900=\operatorname{lcm}(25,36,100)$ , because the last two base- $5$ , base- $6$ , and decimal digits repeat with that period.

Let the last two base- $5$ digits be $a_1a_0$ and the last two base- $6$ digits be $b_1b_0$ . The units digit condition gives $a_0+b_0\equiv2N\equiv2a_0\pmod{10}$ , so $a_0=b_0$ .

Writing $N=150N_3+30a_1+a_0$ , the base- $6$ tens digit condition gives $N_3\equiv a_1+b_1\pmod6$ , so $N=900N_4+180a_1$ $+150b_1+a_0$ .

The tens digit condition for $S$ and $2N$ reduces to $5a_1\equiv b_1\pmod{10}$ . With $0\le a_1\le4$ and $0\le b_1\le5$ , the valid pairs are $(0,0),(2,0),(4,0),(1,5),(3,5)$ .

There are $5$ choices for $a_0=b_0$ , so there are $5\cdot5=25$ choices of $N$ .

Thus, the correct answer is E .

Problemas del 2013 AMC 10B

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 720

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 870

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