2022 AMC 10A — Problemas y examen en línea cronometrado

1.

¿Cuál es el valor de

3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3}}}?

What is the value of

3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3+\dfrac{1}{3}}}?

\dfrac{31}{10}

\dfrac{49}{15}

\dfrac{33}{10}

\dfrac{109}{33}

\dfrac{15}{4}

Respuesta: D

Conceptos:fracción continua fracción

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Comienza por el denominador más interno.

Start from the innermost denominator

Pista grande:

Simplifica una capa de la fracción continua a la vez.

Simplify one layer of the continued fraction at a time

Solución:

Podemos simplificar esta expresión de la siguiente manera:

\begin{aligned} 3 +& \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3}}} \\ &= 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{\dfrac{10}{3}}} \\ &= 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{3}{10}} \\ &= 3 + \dfrac{1}{\dfrac{33}{10}} \\ &= 3 + \dfrac{10}{33} \\ &= \dfrac{109}{33}. \end{aligned}

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

We can simplify this expression as follows:

\begin{aligned} 3 +& \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{3}}} \\ &= 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{1}{\dfrac{10}{3}}} \\ &= 3 + \dfrac{1}{3 + \dfrac{3}{10}} \\ &= 3 + \dfrac{1}{\dfrac{33}{10}} \\ &= 3 + \dfrac{10}{33} \\ &= \dfrac{109}{33}. \end{aligned}

Thus, D is the correct answer.

2.

Mike recorrió

15

vueltas en bicicleta en

57

minutos. Supón que pedaleó a velocidad constante todo el tiempo. ¿Aproximadamente cuántas vueltas completó en los primeros

27

minutos?

Mike cycled

15

laps in

57

minutes. Assume he cycled at a constant speed throughout. Approximately how many laps did he complete in the first

27

minutes?

5

7

9

11

13

Respuesta: B

Conceptos:razón y proporción estimación

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Usa una proporción porque la velocidad es constante.

Use a proportion because the speed is constant

Pista grande:

Estima solo después de formar la fracción exacta.

Estimate only after forming the exact fraction

Solución:

Podemos plantear una proporción para resolver este problema:

\dfrac{15}{57} = \dfrac{x}{27}.

Multiplicando en cruz, obtenemos

x = \dfrac{15}{57} \cdot 27 = \dfrac{135}{19} \approx 7.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

We can set up a proportion to solve this problem:

\dfrac{15}{57} = \dfrac{x}{27}.

Cross multiplying, we get

x = \dfrac{15}{57} \cdot 27 = \dfrac{135}{19} \approx 7.

Thus, B is the correct answer.

3.

La suma de tres números es

96.

El primer número es

6

veces el tercer número, y el tercer número es

40

menos que el segundo número. ¿Cuál es el valor absoluto de la diferencia entre el primer y el segundo número?

The sum of three numbers is

96.

The first number is

6

times the third number, and the third number is

40

less than the second number. What is the absolute value of the difference between the first and second numbers?

1

2

3

4

5

Respuesta: E

Conceptos:sistema de ecuaciones ecuación lineal

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Toma el tercer número como la variable.

Let the third number be the variable

Pista grande:

Escribe los otros dos números en términos de esa variable.

Write the other two numbers in terms of that variable

Solución:

Sean

x, y,

y

z

los tres números. Las condiciones del problema nos dan las siguientes relaciones:

\begin{aligned} x+y+z&=96 &&\text{(1)} \\ x&=6z &&\text{(2)} \\ z&=y-40 &&\text{(3)}. \end{aligned}

Reordenando

(3),

obtenemos

y = z + 40.

Sustituyendo esta nueva ecuación y

(2)

en

(1),

obtenemos

6z + z + 40 + z = 96

8z + 40 = 96

8z = 56 \Rightarrow z = 7.

De aquí obtenemos que

x = 6 \cdot z = 6 \cdot 7 = 42

y

y = z + 40 = 7 + 40 = 47.

Por consiguiente,

y - x = 47 - 42 = 5.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let

x, y,

and

z

be the three numbers. The conditions from the problem give us the following relations:

\begin{aligned} x+y+z&=96 &&\text{(1)} \\ x&=6z &&\text{(2)} \\ z&=y-40 &&\text{(3)}. \end{aligned}

Rearranging

(3),

we get

y = z + 40.

Plugging this new equation and

(2)

into

(1),

we get

6z + z + 40 + z = 96

8z + 40 = 96

8z = 56 \Rightarrow z = 7.

From this, we get that

x = 6 \cdot z = 6 \cdot 7 = 42

and

y = z + 40 = 7 + 40 = 47.

Therefore,

y - x = 47 - 42 = 5.

Thus, E is the correct answer.

4.

En algunos países, la eficiencia de combustible de los automóviles se mide en litros por

100

kilómetros, mientras que otros países usan millas por galón. Supón que

1

kilómetro equivale a

m

millas, y

1

galón equivale a

l

litros. ¿Cuál de las siguientes opciones da la eficiencia de combustible en litros por

100

kilómetros para un auto que rinde

x

millas por galón?

In some countries, automobile fuel efficiency is measured in liters per

100

kilometers while other countries use miles per gallon. Suppose that

1

kilometer equals

m

miles, and

1

gallon equals

l

liters. Which of the following gives the fuel efficiency in liters per

100

kilometers for a car that gets

x

miles per gallon?

\dfrac{x}{100lm}

\dfrac{xlm}{100}

\dfrac{lm}{100x}

\dfrac{100}{xlm}

\dfrac{100lm}{x}

Respuesta: E

Conceptos:conversión de unidades tasa

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Convierte primero millas por galón en galones por kilómetro.

Convert miles per gallon into gallons per kilometer first

Pista grande:

Litros por

100

kilómetros es el estilo recíproco de millas por galón.

Liters per

100

kilometers is the reciprocal style of miles per gallon

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Un auto que rinde

x

millas por galón consume

\frac{1}{x}

galones por milla.

Como

1

milla equivale a

\frac{1}{m}

kilómetros, esto es

\frac{m}{x}

galones por kilómetro.

Multiplicando por

l

litros por galón se obtiene

\frac{lm}{x}

litros por kilómetro, así que para

100

kilómetros el combustible usado es

\frac{100lm}{x}

litros.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

A car that gets

x

miles per gallon uses

\frac{1}{x}

gallons per mile.

Since

1

mile is

\frac{1}{m}

kilometers, this is

\frac{m}{x}

gallons per kilometer.

Multiplying by

l

liters per gallon gives

\frac{lm}{x}

liters per kilometer, so for

100

kilometers the fuel used is

\frac{100lm}{x}

liters.

Thus, E is the correct answer.

5.

El cuadrado

ABCD

tiene lado de longitud

1.

Los puntos

P,

Q,

R,

y

S

están cada uno sobre un lado de

ABCD

de modo que

APQCRS

es un hexágono convexo equilátero con lado de longitud

s.

¿Cuánto vale

s

?

Square

ABCD

has side length

1.

Points

P,

Q,

R,

and

S

each lie on a side of

ABCD

such that

APQCRS

is an equilateral convex hexagon with side length

s.

What is

s?

\dfrac{\sqrt{2}}{3}

\dfrac{1}{2}

2 - \sqrt{2}

1 - \dfrac{\sqrt{2}}{4}

\dfrac{2}{3}

Respuesta: C

Conceptos:cuadrado (geometría)triángulo rectángulo especial racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Usa el triángulo

45

–

45

–

90

en una esquina del cuadrado.

Use the

45

–

45

–

90

triangle at a corner of the square

Pista grande:

Escribe el lado del cuadrado como un lado del hexágono más un cateto de la esquina.

Write the side of the square as one hexagon side plus one corner leg

Solución:

Considera el diagrama:

Como

AP = QC = s,

sabemos que

PB = BQ.

Esto muestra que

\triangle PBQ

es un triángulo rectángulo isósceles con hipotenusa

PQ=s.

Usando el teorema de Pitágoras, obtenemos que

PB = \dfrac{s}{\sqrt{2}}.

También sabemos que

1 = AB = AP + PB = s + \dfrac{s}{\sqrt{2}}.

Esta ecuación se simplifica a

1 = (1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}})s

lo que implica que

s = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}.

Podemos racionalizar esta fracción para obtener

\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \cdot \dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = 2 - \sqrt{2}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider the diagram:

Since

AP = QC = s,

we know that

PB = BQ.

This shows that

\triangle PBQ

is an isosceles right triangle with hypotenuse

PQ=s.

Using the Pythagorean theorem, we get that

PB = \dfrac{s}{\sqrt{2}}.

We also know that

1 = AB = AP + PB = s + \dfrac{s}{\sqrt{2}}.

This equation simplifies to

1 = (1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}})s

Which implies that

s = \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{\sqrt{2}}} = \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1}.

We can rationalize this fraction to get

\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} + 1} \cdot \dfrac{\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2} - 1} = 2 - \sqrt{2}.

Thus, C is the correct answer.

6.

¿Qué expresión es igual a

\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|

para

a < 0

?

Which expression is equal to

\left|a-2-\sqrt{(a-1)^2}\right|

for

a < 0?

3 - 2a

1 - a

1

a + 1

3

Respuesta: A

Conceptos:valor absoluto radical

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Reemplaza la raíz cuadrada de un cuadrado por un valor absoluto.

Replace the square root of a square by an absolute value

Pista grande:

Usa el signo de cada expresión cuando a es negativo.

Use the sign of each expression when a is negative

Solución:

Por la definición de raíz cuadrada, obtenemos que

\sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|.

Como

a < 0,

obtenemos que

a - 1 < 0,

lo que significa que

|a - 1| = 1 - a.

Por lo tanto, toda la expresión se simplifica a

|a - 2 - (1 - a)| = |2a - 3|.

Como

a < 0,

sabemos que

2a - 3 < 0.

Esto significa que

|2a - 3| = 3 - 2a.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

By the definition of square root, we get that

\sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1|.

Since

a < 0,

we get that

a - 1 < 0,

which means that

|a - 1| = 1 - a.

The whole expression therefore simplifies to

|a - 2 - (1 - a)| = |2a - 3|.

Since

a < 0,

we know that

2a - 3 < 0.

This means that

|2a - 3| = 3 - 2a.

Thus, A is the correct answer.

7.

El mínimo común múltiplo de un entero positivo

n

y

18

es

180,

y el máximo común divisor de

n

y

45

es

15.

¿Cuál es la suma de los dígitos de

n

?

The least common multiple of a positive integer

n

and

18

is

180,

and the greatest common divisor of

n

and

45

is

15.

What is the sum of the digits of

n?

3

6

8

9

12

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo máximo común divisor factorización en primos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Compara los exponentes de los primos en las condiciones del mínimo común múltiplo y del máximo común divisor.

Compare prime exponents in the lcm and gcd conditions

Pista grande:

La condición del máximo común divisor controla el exponente de

3

de manera distinta a la condición del mínimo común múltiplo.

The gcd condition controls the exponent of

3

differently from the lcm condition

Solución:

Factoriza en primos

18=2\cdot3^2,

45=3^2\cdot5,

y

180=2^2\cdot3^2\cdot5.

La condición del mínimo común múltiplo obliga a que el exponente de

2

en

n

sea

2,

el exponente de

5

sea

1,

el exponente de

3

sea a lo sumo

2,

y todos los demás exponentes primos sean

0.

La condición del máximo común divisor

\gcd(n,45)=15=3\cdot5

obliga además a que el exponente de

3

en

n

sea exactamente

1.

Por lo tanto

n=2^2\cdot3\cdot5=60,

y la suma de sus dígitos es

6.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Prime factorize

18=2\cdot3^2,

45=3^2\cdot5,

and

180=2^2\cdot3^2\cdot5.

The lcm condition forces the exponent of

2

in

n

to be

2,

the exponent of

5

to be

1,

the exponent of

3

to be at most

2,

and every other prime exponent to be

0.

The gcd condition

\gcd(n,45)=15=3\cdot5

further forces the exponent of

3

in

n

to be exactly

1.

Therefore

n=2^2\cdot3\cdot5=60,

and the sum of its digits is

6.

Thus, B is the correct answer.

8.

Un conjunto de datos consta de

6

enteros positivos (no necesariamente distintos):

1,

7,

5,

2,

5,

y

X.

El promedio (media aritmética) de los

6

números es igual a un valor del conjunto de datos. ¿Cuál es la suma de todos los valores posibles de

X

?

A data set consists of

6

(not distinct) positive integers:

1,

7,

5,

2,

5,

and

X.

The average (arithmetic mean) of the

6

numbers equals a value in the data set. What is the sum of all possible values of

X?

10

26

32

36

40

Respuesta: D

Conceptos:media análisis por casos

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

El promedio debe ser igual a uno de los valores listados o a X.

The average must equal one of the listed data values or X

Pista grande:

Iguala el promedio a cada valor posible y conserva solo los valores positivos de X.

Set the average equal to each possible value and keep only positive X values

Solución:

El promedio de los

6

números es

\dfrac{1 + 7 + \cdots + X}{6} = \dfrac{20 + X}{6}.

Este valor puede ser igual a cualquiera de los términos del conjunto, así que podemos analizar por casos según a qué sea igual.

\dfrac{20 + X}{6} = 1 \iff X = -14

\dfrac{20 + X}{6} = 7 \iff X = 22

\dfrac{20 + X}{6} = 5 \iff X = 10

\dfrac{20 + X}{6} = 2 \iff X = -8

\dfrac{20 + X}{6} = X \iff X = 4

Sumando todos los valores positivos de

X,

obtenemos

36.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The average of the

6

numbers is

\dfrac{1 + 7 + \cdots + X}{6} = \dfrac{20 + X}{6}.

This value can equal any of the terms in the set, so we can case on what it equals.

\dfrac{20 + X}{6} = 1 \iff X = -14

\dfrac{20 + X}{6} = 7 \iff X = 22

\dfrac{20 + X}{6} = 5 \iff X = 10

\dfrac{20 + X}{6} = 2 \iff X = -8

\dfrac{20 + X}{6} = X \iff X = 4

Adding up all the positive values for

X,

we get

36.

Thus, D is the correct answer.

9.

Un rectángulo se divide en

5

regiones como se muestra. Cada región se pintará de un color sólido: rojo, naranja, amarillo, azul o verde, de modo que las regiones que se tocan queden pintadas de colores distintos, y los colores pueden usarse más de una vez. ¿Cuántas coloraciones diferentes son posibles?

A rectangle is partitioned into

5

regions as shown. Each region is to be painted a solid color—red, orange, yellow, blue, or green—so that regions that touch are painted different colors, and colors can be used more than once. How many different colorings are possible?

120

270

360

540

720

Respuesta: D

Conceptos:arreglos con restricciones principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Colorea las regiones en un orden en el que cada nueva región tenga vecinos ya conocidos.

Color the regions in an order where each new region has known neighbors

Pista grande:

Después de los dos primeros colores, cada región restante tiene tres opciones.

After the first two colors, each remaining region has three choices

Solución:

Hay

5

opciones para el color del rectángulo inferior izquierdo. Esto obliga a que haya

4

opciones para el rectángulo superior izquierdo. El rectángulo inferior central toca a los dos anteriores, así que hay

3

opciones de color para este rectángulo.

El rectángulo superior derecho también está limitado a

3

colores, ya que toca a los dos rectángulos anteriores. Finalmente, el rectángulo inferior derecho también tiene

3

opciones de color.

Multiplicando todo esto, obtenemos

5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540

coloraciones en total.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

There are

5

choices for the color of the bottom left rectangle. This forces there to be

4

choices for the top left rectangle. The middle bottom rectangle touches both of the previous ones, so there are

3

color options for this rectangle.

The rectangle in the top right is also limited to

3

colors since it touches the two previous rectangles. Finally, the rectangle in the bottom right also has

3

color options.

Multiplying these together, we get

5\cdot4\cdot3\cdot3\cdot3=540

total colorings.

Thus, D is the correct answer.

10.

Daniel encuentra una tarjeta rectangular y mide que su diagonal es de

8

centímetros. Luego recorta cuadrados iguales de lado

1

cm en dos esquinas opuestas de la tarjeta y mide que la distancia entre los dos vértices más cercanos de estos cuadrados es de

4 \sqrt{2}

centímetros, como se muestra abajo. ¿Cuál es el área de la tarjeta original?

Daniel finds a rectangular index card and measures its diagonal to be

8

centimeters. Daniel then cuts out equal squares of side

1

cm at two opposite corners of the index card and measures the distance between the two closest vertices of these squares to be

4 \sqrt{2}

centimeters, as shown below. What is the area of the original index card?

14

10 \sqrt{2}

16

12 \sqrt{2}

18

Respuesta: E

Conceptos:rectángulo Teorema de Pitágoras manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Toma como a y b las longitudes de los lados originales.

Let the original side lengths be a and b

Pista grande:

Usa las dos longitudes de diagonal dadas para hallar a+b y ab.

Use the two given diagonal lengths to find a+b and ab

Solución:

Podemos etiquetar

a

y

b

como el ancho y el alto, como en el diagrama. Entonces obtenemos que

a^2 + b^2 = 64

y

(a - 2)^2 + (b - 2)^2 = 32.

La última expresión se simplifica a

a^2 + b^2 - 4a - 4b + 4 + 4 = 32,

que es lo mismo que

72 - 4(a + b) = 32.

De aquí obtenemos

a + b = 10.

Elevando esto al cuadrado, obtenemos

a^2 + b^2 + 2ab = 100,

lo que nos da

2ab = 36,

lo que significa que el área

(ab)

es

18.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can label

a

and

b

as the width and height as in the diagram. Then we get that

a^2 + b^2 = 64

and

(a - 2)^2 + (b - 2)^2 = 32.

The latter expression simplifies to

a^2 + b^2 - 4a - 4b + 4 + 4 = 32,

which is the same as

72 - 4(a + b) = 32.

From this we get

a + b = 10.

Squaring this, we get

a^2 + b^2 + 2ab = 100,

which gets us that

2ab = 36,

which means that the area

(ab)

is

18.

Thus, E is the correct answer.

11.

Ted escribió por error

2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}

como

2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.

¿Cuál es la suma de todos los números reales

m

para los cuales estas dos expresiones tienen el mismo valor?

Ted mistakenly wrote

2^m\cdot\sqrt{\dfrac{1}{4096}}

as

2\cdot\sqrt[m]{\dfrac{1}{4096}}.

What is the sum of all real numbers

m

for which these two expressions have the same value?

5

6

7

8

9

Respuesta: C

Conceptos:exponente cuadrática

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Reescribe

4096

como una potencia de

2

.

Rewrite

4096

as a power of

2

Pista grande:

Después de igualar las potencias de

2,

resuelve la ecuación cuadrática resultante en m.

After matching powers of

2,

solve the resulting quadratic equation in m

Solución:

Podemos reescribir

4096

como

2^{12},

así que

\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.

Entonces, si igualamos las expresiones dadas, obtenemos

2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.

Igualando los exponentes, obtenemos

m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.

Multiplicando por

m,

obtenemos

m^2 - 6m = m - 12

y así

m^2 - 7m + 12 = 0

(m-4)(m-3)

m=4,~m=3

Por lo tanto, vemos que la suma de las soluciones es

7.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

We can rewrite

4096

as

2^{12},

so

\dfrac{1}{4096} = 2^{-12}.

Then if we equate the given expressions, we get

2^m \cdot 2^{-6} = 2 \cdot 2^{\frac{-12}{m}}.

Equating the exponents, we get

m - 6 = 1 + \dfrac{-12}{m}.

Multiplying by

m,

we get

m^2 - 6m = m - 12

and so

m^2 - 7m + 12 = 0

(m-4)(m-3)

m=4,~m=3

Therefore, we can see that the sum of the solutions is

7.

Thus, C is the correct answer.

12.

En Halloween,

31

niños entraron a la oficina del director pidiendo dulces. Se pueden clasificar en tres tipos: algunos siempre mienten; algunos siempre dicen la verdad; y algunos mienten y dicen la verdad de forma alternada. Los alternadores eligen arbitrariamente su primera respuesta, ya sea mentira o verdad, pero cada afirmación posterior tiene el valor de verdad opuesto al de la anterior. El director hizo a todos las mismas tres preguntas en este orden.

«¿Eres un veraz?» El director dio un dulce a cada uno de los

22

niños que respondieron que sí.

«¿Eres un alternador?» El director dio un dulce a cada uno de los

15

niños que respondieron que sí.

«¿Eres un mentiroso?» El director dio un dulce a cada uno de los

9

niños que respondieron que sí.

¿Cuántos dulces en total dio el director a los niños que siempre dicen la verdad?

On Halloween

31

children walked into the principal’s office asking for candy. They can be classified into three types: Some always lie; some always tell the truth; and some alternately lie and tell the truth. The alternaters arbitrarily choose their first response, either a lie or the truth, but each subsequent statement has the opposite truth value from its predecessor. The principal asked everyone the same three questions in this order.

“Are you a truth-teller?” The principal gave a piece of candy to each of the

22

children who answered yes.

“Are you an alternater?” The principal gave a piece of candy to each of the

15

children who answered yes.

“Are you a liar?” The principal gave a piece of candy to each of the

9

children who answered yes.

How many pieces of candy in all did the principal give to the children who always tell the truth?

7

12

21

27

31

Respuesta: A

Conceptos:veraces y mentirosos deducción lógica

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Separa a los alternadores según si empiezan con la verdad o con la mentira.

Separate alternaters by whether they start with truth or lie

Pista grande:

Los dos primeros recuentos de respuestas afirmativas bastan para determinar el número de veraces.

The first two yes-counts are enough to determine the number of truth-tellers

Solución:

Para la primera pregunta, los veraces responderán que sí, los mentirosos responderán que sí, y los alternadores que decidieron mentir primero dirán que sí. Los alternadores que deciden decir la verdad primero dirán que no. Denotamos esto como

22 = t + l + a_l.

Para la segunda pregunta, los mentirosos responderán que sí, y los alternadores que decidieron mentir primero dirán que sí (están obligados a decir la verdad en esta pregunta). Los veraces responderán que no, y los alternadores que dijeron la verdad primero mentirían en esta ronda, respondiendo que no. Denotamos esto como

15 = l + a_l.

De esto obtenemos que

t = 7.

El director solo da dulces a los niños que siempre dicen la verdad en la primera ronda, por lo que les da únicamente

7

dulces en total.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

For the first question, the truth-tellers will respond yes, the liars will respond yes, and the alternaters who decided to lie first will say yes. The alternaters who decide to tell the truth first will say no. Denote this as

22 = t + l + a_l.

For the second questions, the liars will respond yes, and the alternaters who decided to lie first will say yes (they are forced to tell the truth for this question). The truth-tellers will respond no, and the alternaters who told the truth first would lie this round, responding no. Denote this as

15 = l + a_l.

From this, we get that

t = 7.

The principal only gives candy to children who always tell the truth in the first round, therefore only giving them

7

candies total.

Thus, A is the correct answer.

13.

Sea

\triangle ABC

un triángulo escaleno. El punto

P

está sobre

\overline{BC}

de modo que

\overline{AP}

biseca

\angle BAC.

La recta que pasa por

B

perpendicular a

\overline{AP}

corta a la recta que pasa por

A

paralela a

\overline{BC}

en el punto

D.

Supón que

BP = 2

y

PC = 3.

¿Cuánto vale

AD

?

Let

\triangle ABC

be a scalene triangle. Point

P

lies on

\overline{BC}

so that

\overline{AP}

bisects

\angle BAC.

The line through

B

perpendicular to

\overline{AP}

intersects the line through

A

parallel to

\overline{BC}

at point

D.

Suppose

BP = 2

and

PC = 3.

What is

AD?

8

9

10

11

12

Respuesta: C

Conceptos:teorema de la bisectriz semejanza triángulo isósceles

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Usa el teorema de la bisectriz en el triángulo ABC.

Use the angle bisector theorem on triangle ABC

Pista grande:

La recta perpendicular crea un triángulo isósceles antes de la semejanza final.

The perpendicular line creates an isosceles triangle before the final similarity

Solución:

Consideremos el siguiente diagrama:

Sea

Y

la intersección de

\overline{BD}

y

\overline{AC}.

Por el teorema de la bisectriz,

AB:AC=BP:PC=2:3,

así que escribimos

AB=2x

y

AC=3x.

La reflexión respecto de la bisectriz

\overline{AP}

envía el rayo

AB

al rayo

AC.

Como

BY\perp AP,

envía

B

a

Y.

Por tanto,

AY=AB=2x,

y entonces

YC=AC-AY=x.

Como

AD\parallel BC,

con

B,Y,D

colineales y

A,Y,C

colineales, tenemos

\triangle BYC\sim\triangle DYA.

Entonces

\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.

Finalmente,

BC=BP+PC=5,

así que

AD=2BC=10.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider the following diagram:

Let

Y

be the intersection of

\overline{BD}

and

\overline{AC}.

By the Angle Bisector Theorem,

AB:AC=BP:PC=2:3,

so write

AB=2x

and

AC=3x.

Reflection across the angle bisector

\overline{AP}

sends ray

AB

to ray

AC.

Because

BY\perp AP,

it sends

B

to

Y.

Thus

AY=AB=2x,

and hence

YC=AC-AY=x.

Since

AD\parallel BC,

with

B,Y,D

collinear and

A,Y,C

collinear, we have

\triangle BYC\sim\triangle DYA.

Therefore

\frac{AD}{BC}=\frac{AY}{YC}=2.

Finally,

BC=BP+PC=5,

so

AD=2BC=10.

Thus, C is the correct answer.

14.

¿De cuántas maneras se pueden dividir los enteros del

1

al

14

en

7

pares de modo que, en cada par, el número mayor sea al menos

2

veces el número menor?

How many ways are there to split the integers

1

through

14

into

7

pairs such that in each pair, the greater number is at least

2

times the lesser number?

108

120

126

132

144

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones emparejamiento y agrupación principio de multiplicación

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

El mayor de los números pequeños tiene muy pocas parejas posibles.

The largest small number has very few possible partners

Pista grande:

Una vez que

7

queda forzado con

14,

cuenta las opciones de pareja de

8

a

13

.

After

7

is forced with

14,

count partner choices from

8

through

13

Solución:

Los números del

8

al

14

no pueden emparejarse entre sí, así que deben emparejarse con los números del

1

al

7.

En particular,

7

debe emparejarse con

14,

ya que ningún otro número disponible es al menos el doble de

7.

Ahora veamos con qué pueden emparejarse los demás números.

8

y

9

pueden emparejarse con cualquier número

1-4.

10

y

11

pueden emparejarse con cualquier número

1-5,

y

12

y

13

pueden emparejarse con cualquier número

1-6.

8

puede emparejarse con

4

números, pero entonces

9

solo tiene

3

opciones, ya que

8

tomó uno.

10

tiene entonces

3

opciones, pues

2

opciones ya están tomadas, pero tiene una más para elegir

(5).

11

tiene entonces

2

opciones,

12

tiene

2

opciones, y

13

solo tiene

1.

Multiplicando todo esto se obtiene

4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 144.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The numbers from

8

through

14

cannot be paired with one another, so they must be paired with the numbers from

1

through

7.

In particular,

7

must be paired with

14,

since no other available number is at least twice

7.

Now let’s look at what the other numbers can pair with.

8

and

9

can pair with any number

1-4.

10

and

11

can pair with any number

1-5,

and

12

and

13

can pair with any number

1-6.

8

can pair with

4

numbers, but then

9

only has

3

options since

8

took one.

10

then has

3

options, since

2

choices are taken, but it has one more to choose from

(5).

11

then has

2

options,

12

has

2

options, and

13

only has

1.

Multiplying these together yields

4 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = 144.

Thus, E is the correct answer.

15.

El cuadrilátero

ABCD

con lados

AB = 7,

BC = 24,

CD = 20,

DA = 15

está inscrito en un círculo. El área interior al círculo pero exterior al cuadrilátero puede escribirse en la forma

\dfrac{a \pi - b}{c},

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos tales que

a

y

c

no tienen factor primo común. ¿Cuánto vale

a + b + c

?

Quadrilateral

ABCD

with side lengths

AB = 7,

BC = 24,

CD = 20,

DA = 15

is inscribed in a circle. The area interior to the circle but exterior to the quadrilateral can be written in the form

\dfrac{a \pi - b}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers such that

a

and

c

have no common prime factor. What is

a + b + c?

260

855

1235

1565

1997

Respuesta: D

Conceptos:cuadrilátero cíclico Terna pitagórica área del círculo

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Verifica si los dos triángulos formados por una diagonal son triángulos rectángulos.

Check whether the two triangles formed by a diagonal are right triangles

Pista grande:

Usa la hipotenusa común como diámetro del círculo.

Use the common hypotenuse as the circle diameter

Solución:

Observemos que

7^2 + 24^2

y

15^2 + 20^2

son iguales. Esto obliga a que

AC = 25

, pues de lo contrario

\angle B

y

\angle D

serían ambos agudos o ambos obtusos, contradiciendo que su suma es

180^{\circ}.

Además, como

\angle B

es recto,

AC

es un diámetro del círculo. El área del círculo es

\dfrac{625}{4} \pi.

Para hallar el área del cuadrilátero, sumamos las áreas de los dos triángulos:

\dfrac{1}{2}(7 \cdot 24 + 20 \cdot 15) =

84 + 150 = 234.

El área exterior al cuadrilátero es

\dfrac{625}{4} \pi - 234 = \dfrac{625 \pi - 936}{4}.

Por tanto,

a + b + c = 625 + 936 + 4

= 1565.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Notice that

7^2 + 24^2

and

15^2 + 20^2

are both the same. This forces

AC = 25

since otherwise

\angle B

and

\angle D

would both be acute or obtuse, violating the fact that their sum is

180^{\circ}.

Also since

\angle B

is right, we know that

AC

is the diameter of the circle. The area of the circle is then

\dfrac{625}{4} \pi.

To find the area of the quadrilateral, we can find the area of each of the triangles, which is

\dfrac{1}{2}(7 \cdot 24 + 20 \cdot 15) =

84 + 150 = 234.

To find the area outside the quadrilateral, we subtract to get

\dfrac{625}{4} \pi - 234 = \dfrac{625 \pi - 936}{4}.

Therefore,

a + b + c = 625 + 936 + 4

= 1565.

Thus, D is the correct answer.

16.

Las raíces del polinomio

10x^3 - 39x^2 + 29x - 6

son la altura, el largo y el ancho de una caja rectangular (prisma rectangular recto). Se forma una nueva caja rectangular alargando cada arista de la caja original en

2

unidades. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?

The roots of the polynomial

10x^3 - 39x^2 + 29x - 6

are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by

2

units. What is the volume of the new box?

\dfrac{24}{5}

\dfrac{42}{5}

\dfrac{81}{5}

30

48

Respuesta: D

Conceptos:Fórmulas de Vieta polinomio volumen

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Usa las fórmulas de Vieta para las tres dimensiones originales.

Use Vieta formulas for the three original dimensions

Pista grande:

Desarrolla el nuevo volumen antes de sustituir las sumas simétricas.

Expand the new volume before substituting symmetric sums

Solución:

Sean

h, l,

y

w

las dimensiones de la caja original. Entonces el volumen de la nueva caja es

(h + 2)(l + 2)(w + 2).

Desarrollando, obtenemos

hlw + 2(hl + hw + lw)

+ 4(l + h + w) + 8.

Podemos usar las fórmulas de Vieta para hallar los términos de esta expresión. Obtenemos que

hlw = -\dfrac{D}{A} = \dfrac{3}{5},

hl + hw + lw = \dfrac{C}{A} = \dfrac{29}{10},

y

l + h + w = -\dfrac{B}{A} = \dfrac{39}{10}.

Sustituyendo estos valores en la expresión, obtenemos

\dfrac{3}{5} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = 30.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let

h, l,

and

w

be the dimensions of the old box. Then the volume of the new box is

(h + 2)(l + 2)(w + 2).

Expanding, we get

hlw + 2(hl + hw + lw)

+ 4(l + h + w) + 8.

We can use Vieta’s formulas to find the terms in this expression. We get that

hlw = -\dfrac{D}{A} = \dfrac{3}{5},

hl + hw + lw = \dfrac{C}{A} = \dfrac{29}{10},

and

l + h + w = -\dfrac{B}{A} = \dfrac{39}{10}.

Plugging these values into the expression, we get

\dfrac{3}{5} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = 30.

Thus, D is the correct answer.

17.

¿Cuántos enteros positivos de tres dígitos

\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}

hay cuyos dígitos no nulos

a

,

b

, y

c

satisfacen

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \dfrac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})?

(La barra indica repetición de dígitos, de modo que

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}

es el decimal periódico infinito

0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots

)

How many three-digit positive integers

\underline{a} \ \underline{b} \ \underline{c}

are there whose nonzero digits

a,

b,

and

c

satisfy

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}} = \dfrac{1}{3} (0.\overline{a} + 0.\overline{b} + 0.\overline{c})?

(The bar indicates digit repetition, thus

0.\overline{\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}}

is the infinite repeating decimal

0.\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\underline{a}~\underline{b}~\underline{c}~\cdots

)

9

10

11

13

14

Respuesta: D

Conceptos:decimal periódico dígitos Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Convierte los decimales periódicos en fracciones.

Convert the repeating decimals into fractions

Pista grande:

Reduce la condición a una ecuación lineal en los tres dígitos.

Reduce the condition to a linear equation in the three digits

Solución:

Los decimales periódicos satisfacen

\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}

Al sustituir y multiplicar por

999

se obtiene

100a+10b+c=37(a+b+c),

o bien

7a=3b+4c.

Para cada

a\in\{1,2,\ldots,9\},

al revisar los dígitos no nulos

b,c

en esta ecuación lineal se obtiene

\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}

Así pues, hay

13

enteros.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The repeating decimals satisfy

\begin{aligned} 0.\overline{\underline{a}\underline{b}\underline{c}}&=\frac{100a+10b+c}{999},\\ 0.\overline a&=\frac a9,\quad 0.\overline b=\frac b9,\\ 0.\overline c&=\frac c9. \end{aligned}

Substitution and multiplication by

999

give

100a+10b+c=37(a+b+c),

or

7a=3b+4c.

For each

a\in\{1,2,\ldots,9\},

checking the nonzero digits

b,c

in this linear equation gives

\begin{gathered} (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),\\ (4,4,4),(4,8,1),(5,1,8),\\ (5,5,5),(5,9,2),(6,2,9),\\ (6,6,6),(7,7,7),(8,8,8),\\ (9,9,9). \end{gathered}

Thus there are

13

integers.

Thus, D is the correct solution.

18.

Sea

T_k

la transformación del plano de coordenadas que primero rota el plano

k

grados en sentido antihorario alrededor del origen y luego refleja el plano respecto al eje

y

. ¿Cuál es el menor entero positivo

n

tal que realizar la sucesión de transformaciones

T_1,

T_2,

T_3,

\cdots,

T_n

devuelve el punto

(1,0)

a sí mismo?

Let

T_k

be the transformation of the coordinate plane that first rotates the plane

k

degrees counterclockwise around the origin and then reflects the plane across the

y

-axis. What is the least positive integer

n

such that performing the sequence of transformations

T_1,

T_2,

T_3,

\cdots,

T_n

returns the point

(1,0)

back to itself?

359

360

719

720

721

Respuesta: A

Conceptos:transformación reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Sigue solo el ángulo en coordenadas polares.

Track only the angle in polar coordinates

Pista grande:

Dos transformaciones consecutivas se simplifican a una rotación de un grado.

Two consecutive transformations simplify to a one-degree rotation

Solución:

Como estamos trabajando con ángulos y reflexiones, usar coordenadas polares facilitaría este problema.

Sea

(r, \theta)

una coordenada polar. Rotarla

k

grados en sentido antihorario lleva el punto a

(r, \theta + k^{\circ})

y luego reflejarlo lo lleva a

(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).

Por lo tanto, tenemos que

T_k(r, \theta) = (r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).

De esto, vemos que

T_{k + 1}(T_k(r, \theta)) =

T_{k + 1}(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}) =

(r, \theta - 1^{\circ}).

Ahora, analicemos qué le sucede al punto

(1, 0^{\circ}).

Después de

T_1,

obtenemos

(1, 179^{\circ}).

Después de

T_2,

obtenemos

(1, -1^{\circ}).

Después de

T_3,

obtenemos

(1, 178^{\circ}).

Después de

T_4,

obtenemos

(1, -2^{\circ}).

\vdots

Después de

T_{2m - 1},

obtenemos

(1, 180^{\circ} - m^{\circ}).

Después de

T_{2m},

obtenemos

(1, -m^{\circ}).

De esto, vemos que la primera vez que el ángulo vuelve a

0^{\circ}

es después de

T_{2(180)-1}=T_{359}.

Por lo tanto

n=359.

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Since we are working with angles and reflections, working with polar coordinates would make this problem easier to deal with.

Let

(r, \theta)

be a polar coordinate. Rotating this by

k

degrees counterclockwise maps the point to

(r, \theta + k^{\circ})

and then reflecting it maps it to

(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).

Therefore, we have that

T_k(r, \theta) = (r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}).

From this, we can see that

T_{k + 1}(T_k(r, \theta)) =

T_{k + 1}(r, 180^{\circ} - \theta - k^{\circ}) =

(r, \theta - 1^{\circ}).

Now, let’s analyze what happens to the point

(1, 0^{\circ}).

After

T_1,

we get

(1, 179^{\circ}).

After

T_2,

we get

(1, -1^{\circ}).

After

T_3,

we get

(1, 178^{\circ}).

After

T_4,

we get

(1, -2^{\circ}).

\vdots

After

T_{2m - 1},

we get

(1, 180^{\circ} - m^{\circ}).

After

T_{2m},

we get

(1, -m^{\circ}).

From this, we can see that the first time the angle is back to

0^{\circ}

is after

T_{2(180)-1}=T_{359}.

Therefore

n=359.

Thus, A is the correct answer.

19.

Sea

L_n

el mínimo común múltiplo de los números

1,

2,

3,

\ldots,

n,

y sea

h

el único entero positivo tal que

\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}

¿Cuál es el residuo cuando

h

se divide entre

17

?

Let

L_n

denote the least common multiple of the numbers

1,

2,

3,

\ldots,

n,

and let

h

be the unique positive integer such that

\dfrac{1}{1} + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \cdots + \dfrac{1}{17} = \dfrac{h}{L_{17}}

What is the remainder when

h

is divided by

17?

1

3

5

7

9

Respuesta: C

Conceptos:aritmética modular mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 2150

Pista pequeña:

Trabaja módulo

17

después de multiplicar por el mínimo común múltiplo.

Work modulo

17

after multiplying by the least common multiple

Pista grande:

Todos los términos salvo el que proviene de

\frac{1}{17}

se anulan módulo

17

.

All terms except the one from

\frac{1}{17}

vanish modulo

17

Solución:

Multiplicando la suma armónica por

L_{17},

obtenemos

h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.

Para

1\le i\le16,

el término

\frac{L_{17}}{i}

sigue siendo divisible entre

17,

así que estos términos contribuyen

0\pmod{17}.

Por lo tanto

h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.

El mínimo común múltiplo

L_{17}

contiene los factores de potencia prima

16,9,5,7,11,13,17,

así que

\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}

Reduciendo módulo

17,

esto es

(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13

\equiv5\pmod{17}.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Multiplying the harmonic sum by

L_{17},

we get

h=\sum_{i=1}^{17}\frac{L_{17}}{i}.

For

1\le i\le16,

the term

\frac{L_{17}}{i}

is still divisible by

17,

so these terms contribute

0\pmod{17}.

Thus

h\equiv \frac{L_{17}}{17}\pmod{17}.

The least common multiple

L_{17}

contains the prime-power factors

16,9,5,7,11,13,17,

so

\begin{aligned} \frac{L_{17}}{17} &\equiv 16\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13 \\ &\pmod{17}. \end{aligned}

Reducing modulo

17,

this is

(-1)\cdot9\cdot5\cdot7\cdot11\cdot13

\equiv5\pmod{17}.

Thus, C is the correct answer.

20.

Se forma una sucesión de cuatro términos sumando cada término de una sucesión aritmética de cuatro términos de enteros positivos con el término correspondiente de una sucesión geométrica de cuatro términos de enteros positivos. Los primeros tres términos de la sucesión resultante de cuatro términos son

57,

60,

y

91.

¿Cuál es el cuarto término de esta sucesión?

A four-term sequence is formed by adding each term of a four-term arithmetic sequence of positive integers to the corresponding term of a four-term geometric sequence of positive integers. The first three terms of the resulting four-term sequence are

57,

60,

and

91.

What is the fourth term of this sequence?

190

194

198

202

206

Respuesta: E

Conceptos:sucesión aritmética sucesión geométrica Ecuación diofántica

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Resta los términos consecutivos resultantes.

Subtract consecutive resulting terms

Pista grande:

Usa la factorización entera de

b(r-1)^2

.

Use the integer factorization of

b(r-1)^2

Solución:

Sea la sucesión aritmética

a, a + d, a + 2d, a + 3d

y la sucesión geométrica

b, br, br^2, br^3.

Entonces

a + b = 57 \tag*{(1)},

a + d + br = 60 \tag*{(2)},

y

a + 2d + br^2 = 91 \tag*{(3)}.

Al restar

(1)

de

(2)

y

(2)

de

(3),

obtenemos

d + b(r - 1) = 3

y

d + br(r - 1) = 31.

Al restar estas ecuaciones, obtenemos

b(r - 1)^2 = 28.

Sea

t=b(r-1)=br-b,

que es un entero. Entonces

t^2=28b,

así que

t=14u

y

b=7u^2

para algún entero no nulo

u.

Como

a=57-b>0,

debemos tener

u\in\{-2,-1,1,2\}.

Ahora,

r=1+\frac{t}{b}=1+\frac{2}{u}.

Los casos

u=-1

y

u=-2

dan

r=-1

y

r=0,

respectivamente, por lo que no producen una sucesión geométrica positiva. Si

u=2,

entonces

b=28, r=2, a=29,

y

d=3-t=-25,

lo que hace negativo el tercer término aritmético.

Por tanto,

u=1,

así que

b = 7, r = 3, a = 50,

y

d = -11.

La sucesión aritmética es

50,39,28,17,

y la geométrica es

7,21,63,189.

La respuesta pedida es

17 + 189 = 206.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the arithmetic sequence be

a, a + d, a + 2d, a + 3d

and the geometric sequence be

b, br, br^2, br^3.

Then

a + b = 57 \tag*{(1)},

a + d + br = 60 \tag*{(2)},

and

a + 2d + br^2 = 91 \tag*{(3)}.

Subtracting

(1)

from

(2)

and

(2)

from

(3),

we get

d + b(r - 1) = 3

and

d + br(r - 1) = 31.

Subtracting these, we get

b(r - 1)^2 = 28.

Let

t=b(r-1)=br-b,

which is an integer. Then

t^2=28b,

so

t=14u

and

b=7u^2

for some nonzero integer

u.

Because

a=57-b>0,

we must have

u\in\{-2,-1,1,2\}.

Now

r=1+\frac{t}{b}=1+\frac{2}{u}.

The cases

u=-1

and

u=-2

give

r=-1

and

r=0,

respectively, so they cannot produce a positive geometric sequence. If

u=2,

then

b=28, r=2, a=29,

and

d=3-t=-25,

making the third arithmetic term negative.

Therefore

u=1,

so

b = 7, r = 3, a = 50,

and

d = -11.

The arithmetic sequence is

50,39,28,17,

and the geometric sequence is

7,21,63,189.

The desired answer is

17 + 189 = 206.

Thus, E is the correct answer.

21.

Un tazón se forma uniendo cuatro hexágonos regulares de lado

1

a un cuadrado de lado

1.

Las aristas de los hexágonos adyacentes coinciden, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el área del octágono que se obtiene al unir los ocho vértices superiores de los cuatro hexágonos, situados en el borde del tazón?

A bowl is formed by attaching four regular hexagons of side

1

to a square of side

1.

The edges of the adjacent hexagons coincide, as shown in the figure. What is the area of the octagon obtained by joining the top eight vertices of the four hexagons, situated on the rim of the bowl?

6

7

5 + 2 \sqrt{2}

8

9

Respuesta: B

Conceptos:Geometría 3D polígono regular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Mira el borde desde arriba.

Look at the rim from above

Pista grande:

El octágono del borde puede verse como un cuadrado al que se le quitan cuatro triángulos en las esquinas.

The rim octagon can be viewed as a square with four corner triangles removed

Solución:

Observemos el borde desde arriba. Coloquemos el cuadrado inferior en

(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,0).

En un hexágono regular, una arista adyacente al lado unido tiene componentes

\tfrac12

paralela y

\tfrac{\sqrt3}{2}

perpendicular a ese lado.

En una esquina del cuadrado inferior, las aristas correspondientes de dos hexágonos adyacentes coinciden. Al comparar sus componentes horizontales, vemos que la componente horizontal de un vector unitario perpendicular a un lado unido, dentro de su hexágono, es

\frac{1}{\sqrt3}.

El lado opuesto de un hexágono regular está a

\sqrt3

unidades del lado unido, por lo que su desplazamiento horizontal hacia afuera es

1.

En consecuencia, los cuatro lados unitarios del borde están una unidad más allá de los cuatro lados del cuadrado inferior. Su vista superior es un cuadrado de

3

por

3

al que se le quitan cuatro triángulos rectángulos isósceles de cateto

1

:

Su área es

3^2-4\left(\frac12\cdot1^2\right)=7.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

View the rim from directly above. Place the bottom square at

(\pm\tfrac12,\pm\tfrac12,0).

In a regular hexagon, an edge adjacent to the attached side has components

\tfrac12

parallel and

\tfrac{\sqrt3}{2}

perpendicular to that side.

At a corner of the bottom square, the corresponding edges of two adjacent hexagons coincide. Comparing their horizontal components shows that the horizontal component of a unit vector perpendicular to an attached side within its hexagon is

\frac{1}{\sqrt3}.

The opposite side of a regular hexagon is

\sqrt3

units from the attached side, so its horizontal outward displacement is

1.

Consequently, the four unit-length sides of the rim lie one unit beyond the four sides of the bottom square. Its top view is therefore a

3

-by-

3

square with four isosceles right corner triangles of leg

1

removed:

Its area is

3^2-4\left(\frac12\cdot1^2\right)=7.

Thus, B is the correct answer.

22.

Supón que

13

cartas numeradas

1,

2,

3,

\cdots,

13

están dispuestas en una fila. La tarea es recogerlas en orden numérico creciente, trabajando repetidamente de izquierda a derecha. En el ejemplo de abajo, las cartas

1,

2,

3

se recogen en la primera pasada,

4

y

5

en la segunda pasada,

6

en la tercera pasada,

7,

8,

9,

10

en la cuarta pasada, y

11,

12,

13

en la quinta pasada. ¿Para cuántas de las

13!

ordenaciones posibles de las cartas se recogerán las

13

cartas en exactamente dos pasadas?

Suppose that

13

cards numbered

1,

2,

3,

\cdots,

13

are arranged in a row. The task is to pick them up in numerically increasing order, working repeatedly from left to right. In the example below, cards

1,

2,

3

are picked up on the first pass,

4

and

5

on the second pass,

6

on the third pass,

7,

8,

9,

10

on the fourth pass, and

11,

12,

13

on the fifth pass. For how many of the

13!

possible orderings of the cards will the

13

cards be picked up in exactly two passes?

4082

4095

4096

8178

8191

Respuesta: D

Conceptos:combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Las cartas recogidas en la primera pasada deben ocupar una subsucesión creciente.

The cards picked up on the first pass must occupy an increasing subsequence

Pista grande:

Elige las posiciones de las cartas de la primera pasada y excluye las disposiciones de una sola pasada.

Choose the positions of the first-pass cards and exclude one-pass arrangements

Solución:

Sea

n

el número de cartas recogidas en la primera pasada, donde

1 \leq n \leq 12.

Si elegimos los espacios que ocupan las

n

cartas, las posiciones de las cartas restantes quedan determinadas, ya que deben colocarse en orden.

Hay

\binom{13}{n}

maneras de elegir dónde van las

n

cartas, pero si las

n

cartas se colocan justo al principio, entonces todas las cartas se recogerán en la primera pasada.

Por lo tanto, para un

n

dado hay

\binom{13}{n} - 1

maneras de disponer las cartas.

Sumando sobre

1\le n\le12,

obtenemos

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{12}\left(\binom{13}{n}-1\right) \\ = (2^{13}-2)-12 \\ = 8178. \end{gathered}

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let

n

be the number of cards picked up on the first pass, where

1 \leq n \leq 12.

If we choose the spaces that the

n

cards occupy, the positions of the remaining cards are determined since they must be placed in order.

There are

\binom{13}{n}

ways to choose where the

n

cards go, but if the

n

cards are placed at the very beginning, then all the cards will be picked up on the first pass.

Therefore, for a given

n

there are

\binom{13}{n} - 1

ways to arrange the cards.

Summing over

1\le n\le12,

we get

\begin{gathered} \sum_{n=1}^{12}\left(\binom{13}{n}-1\right) \\ = (2^{13}-2)-12 \\ = 8178. \end{gathered}

Thus, D is the correct answer.

23.

El trapecio isósceles

ABCD

tiene lados paralelos

\overline{AD}

y

\overline{BC},

con

BC < AD

y

AB = CD.

Hay un punto

P

en el plano tal que

PA=1,

PB=2,

PC=3,

y

PD=4.

¿Cuánto vale

\tfrac{BC}{AD}

?

Isosceles trapezoid

ABCD

has parallel sides

\overline{AD}

and

\overline{BC},

with

BC < AD

and

AB = CD.

There is a point

P

in the plane such that

PA=1,

PB=2,

PC=3,

and

PD=4.

What is

\tfrac{BC}{AD}?

\dfrac{1}{4}

\dfrac{1}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{2}{3}

\dfrac{3}{4}

Respuesta: B

Conceptos:trapecio Teorema de Ptolomeo simetría

Nivel de dificultad: 2230

Pista pequeña:

Refleja P respecto a la recta de simetría del trapecio isósceles.

Reflect P across the symmetry line of the isosceles trapezoid

Pista grande:

Aplica Ptolomeo a los dos trapecios cíclicos formados por la reflexión.

Apply Ptolemy to the two cyclic trapezoids formed by the reflection

Solución:

Sea

P'

la reflexión de

P

respecto a la mediatriz de

\overline{BC}.

Esto forma dos nuevos trapecios isósceles:

CBPP'

y

DAPP'.

Por lo tanto, obtenemos

\begin{gathered} P'A = PD = 4 \\ P'D = PA = 1 \\ P'C = PB = 2 \\ P'B = PC = 3. \end{gathered}

Usando el teorema de Ptolomeo, sabemos que el producto de las diagonales es igual a la suma de los productos de los lados opuestos. Por lo tanto:

\begin{gathered} PP' \cdot AD + 1 = 16 \\ PP' \cdot BC + 4 = 9. \end{gathered}

Esto nos da

PP' \cdot AD = 15

y

PP' \cdot BC = 5.

Dividiendo estas dos ecuaciones se obtiene

\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{1}{3}.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let

P'

be the reflection of

P

across the perpendicular bisector of

\overline{BC}.

This forms two new isosceles trapezoids:

CBPP'

and

DAPP'.

Therefore, we get

\begin{gathered} P'A = PD = 4 \\ P'D = PA = 1 \\ P'C = PB = 2 \\ P'B = PC = 3. \end{gathered}

Using Ptolemy’s theorem, we know that the product of the diagonals is equal to the sum of the products of the opposite sides. Therefore:

\begin{gathered} PP' \cdot AD + 1 = 16 \\ PP' \cdot BC + 4 = 9. \end{gathered}

This gets us

PP' \cdot AD = 15

and

PP' \cdot BC = 5.

Dividing these two equations yields

\dfrac{BC}{AD} = \dfrac{1}{3}.

Thus, B is the correct answer.

24.

¿Cuántas cadenas de longitud

5

formadas con los dígitos

0,

1,

2,

3,

4,

hay tales que para cada

j \in \{1,2,3,4\},

al menos

j

de los dígitos son menores que

j

?

(Por ejemplo,

02214

satisface esta condición porque contiene al menos

1

dígito menor que

1,

al menos

2

dígitos menores que

2,

al menos

3

dígitos menores que

3,

y al menos

4

dígitos menores que

4.

La cadena

23404

no satisface la condición porque no contiene al menos

2

dígitos menores que

2.

)

How many strings of length

5

formed from the digits

0,

1,

2,

3,

4,

are there such that for each

j \in \{1,2,3,4\},

at least

j

of the digits are less than

j?

(For example,

02214

satisfies this condition because it contains at least

1

digit less than

1,

at least

2

digits less than

2,

at least

3

digits less than

3,

and at least

4

digits less than

4.

The string

23404

does not satisfy the condition because it does not contain at least

2

digits less than

2.

)

500

625

1089

1199

1296

Respuesta: E

Conceptos:parking functions circular counting arreglos con restricciones

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Interpreta cada dígito como el lugar de estacionamiento preferido de un coche.

Interpret each digit as a car’s preferred parking space

Pista grande:

Agrega un sexto lugar de estacionamiento y dispón los lugares en círculo.

Add a sixth parking space and arrange the spaces in a circle

Solución:

Consideremos los cinco dígitos, en orden, como los espacios preferidos de cinco autos. Los espacios están numerados

0,1,2,3,4,

y cada auto ocupa su espacio preferido si está libre; de lo contrario, ocupa el primer espacio vacío a su derecha. Si las preferencias ordenadas son

b_1\le b_2\le\cdots\le b_5,

todos los autos se estacionan exactamente cuando

b_i\le i-1\qquad(1\le i\le5).

Estas desigualdades son precisamente las condiciones del problema.

Para contar, añadamos un sexto espacio y dispongamos los espacios

0,1,\ldots,5

en un círculo. Para cualquiera de las

6^5

cadenas de preferencias, los cinco autos se estacionan y queda exactamente un espacio vacío. Al rotar cada preferencia una posición, también rota el espacio vacío. Así, cada órbita de seis cadenas tiene exactamente una vez cada posible espacio vacío.

Por tanto, exactamente

\frac{6^5}{6}=6^4=1296

cadenas circulares dejan vacío el espacio

5

. Ningún auto de tal cadena prefiere el espacio

5,

y al cortar el círculo justo después de ese espacio vacío obtenemos exactamente una sucesión exitosa en los espacios

0

a

4.

Así, el número pedido de cadenas es

1296.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Regard the five digits, in order, as the preferred parking spaces of five cars. Spaces are numbered

0,1,2,3,4,

and each car takes its preferred space if possible, or else the first empty space to its right. If the preferences sorted into nondecreasing order are

b_1\le b_2\le\cdots\le b_5,

all cars park exactly when

b_i\le i-1\qquad(1\le i\le5).

These inequalities are precisely the conditions in the problem.

To count such preference strings, add a sixth space and arrange spaces

0,1,\ldots,5

in a circle. For any of the

6^5

preference strings, all five cars park and exactly one space remains empty. Rotating every preference by one position rotates the empty space as well. Thus each orbit of six preference strings has each possible empty space exactly once.

Therefore exactly

\frac{6^5}{6}=6^4=1296

circular preference strings leave space

5

empty. No car in such a string prefers space

5,

and cutting the circle immediately after that empty space gives exactly a successful parking sequence on spaces

0

through

4.

Hence the desired number of strings is

1296.

Thus, E is the correct answer.

25.

Sean

R,

S,

y

T

cuadrados que tienen sus vértices en puntos reticulares (es decir, puntos cuyas coordenadas son ambas enteras) en el plano de coordenadas, junto con sus interiores.

El borde inferior de cada cuadrado está sobre el eje

x

. El borde izquierdo de

R

y el borde derecho de

S

están sobre el eje

y

, y

R

contiene

\dfrac{9}{4}

veces tantos puntos reticulares como

S.

Los dos vértices superiores de

T

están en

R \cup S,

y

T

contiene

\dfrac{1}{4}

de los puntos reticulares contenidos en

R \cup S.

Ve la figura (no está dibujada a escala).

La fracción de puntos reticulares en

S

que están en

S \cap T

es

27

veces la fracción de puntos reticulares en

R

que están en

R \cap T.

¿Cuál es el valor mínimo posible de la longitud de arista de

R

más la longitud de arista de

S

más la longitud de arista de

T

?

Let

R,

S,

and

T

be squares that have vertices at lattice points (i.e., points whose coordinates are both integers) in the coordinate plane, together with their interiors.

The bottom edge of each square is on the

x

-axis. The left edge of

R

and the right edge of

S

are on the

y

-axis, and

R

contains

\dfrac{9}{4}

as many lattice points as does

S.

The top two vertices of

T

are in

R \cup S,

and

T

contains

\dfrac{1}{4}

of the lattice points contained in

R \cup S.

See the figure (not drawn to scale).

The fraction of lattice points in

S

that are in

S \cap T

is

27

times the fraction of lattice points in

R

that are in

R \cap T.

What is the minimum possible value of the edge length of

R

plus the edge length of

S

plus the edge length of

T?

336

337

338

339

340

Respuesta: B

Conceptos:punto reticular aritmética modular optimización

Nivel de dificultad: 2600

Pista pequeña:

Usa los conteos de puntos reticulares a lo largo de cada lado antes de convertir a longitudes de arista.

Use lattice-point counts along each side before converting to edge lengths

Pista grande:

La condición de solapamiento fuerza una congruencia útil módulo

13

.

The overlap condition forces a useful congruence modulo

13

Solución en video:

Click to load, then click again to play

Solución escrita:

Sea

r

el número de puntos reticulares sobre el lado de

R.

Análogamente define

s

para

S

y

t

para

T.

Nota que el número de puntos reticulares en un rectángulo es el producto del número de puntos reticulares a lo largo de su ancho y del número de puntos reticulares a lo largo de su largo.

La primera condición nos da que

r^2 = \dfrac{9}{4} \cdot s^2

r = \dfrac{3}{2} \cdot s \tag*{(1)}

El número de puntos reticulares en

R \cup S

es la suma de los puntos reticulares de cada una de las regiones, pero hay solapamiento a lo largo del eje

y

donde

S

lo toca.

La segunda condición, por lo tanto, da

t^2 = \dfrac{1}{4}(r^2 + s^2 - s)

t^2 = \dfrac{1}{4}(\dfrac{9}{4} \cdot s^2 + s^2 - s)

t^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{13s^2 - 4s}{4}

16t^2 = s(13s - 4).

De

(1),

obtenemos que

s

es múltiplo de

2.

Podemos sustituir

s

por

2j

para obtener

16t^2 = 2j(26j - 4)

4t^2 = j(13j - 2).

Para que el producto sea divisible entre

4,

j

debe ser divisible entre

2.

Podemos sustituir de nuevo

j

por

2k

para obtener

4t^2 = 2k(26k - 2)

t^2 = k(13k - 1) \tag*{(2)}

Sea

x

el número de puntos reticulares a lo largo de la base del rectángulo formado por

S \cap T

y

y

el número de puntos reticulares a lo largo de la base del rectángulo formado por

R \cap T.

Usando estas variables, obtenemos que el número de puntos reticulares en

S \cap T

es

xt

y en

R \cap T

es

yt.

La tercera condición nos da que

\dfrac{xt}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{yt}{r^2}

\dfrac{x}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{y}{\dfrac{9}{4} s^2}

x = 12y.

También sabemos que

t = x + y - 1

(teniendo en cuenta el solapamiento), y esto da

t = 13y - 1 \tag*{(3)}

(3)

nos da que

\begin{gathered} t \equiv -1 \pmod{13}, \\ t^2 \equiv 1 \pmod{13}. \end{gathered}

Sin embargo, por

(2),

obtenemos que

t^2 \equiv -k \pmod{13}

k \equiv -1 \pmod{13}.

Por

(2),

también obtenemos que

k

es un cuadrado perfecto, ya que es primo relativo con

13k - 1,

y su producto debe ser un cuadrado perfecto.

Por lo tanto,

k

debe ser un cuadrado perfecto que satisface

k\equiv-1\pmod{13}.

Los cuadrados positivos más pequeños

1,4,9,16

no satisfacen esta congruencia, mientras que

k=25

sí, así que

25

es el menor valor posible.

A partir de este valor de

k,

obtenemos

j = 2 \cdot 25 = 50,

s = 2 \cdot 50 = 100,

y

r = \dfrac{3}{2} \cdot 100 = 150.

También,

t^2 = 25(13 \cdot 25 - 1) = 25 \cdot 324

t = 5 \cdot 18 = 90.

Por tanto,

r + s + t = 340.

Sin embargo, se pidió la suma de las longitudes de los lados. Cada lado mide

1

menos que el número de puntos reticulares, así que hay que restar

3.

Este valor es alcanzable: la ecuación

(3)

da

y=7

y, por tanto,

x=84.

Como

x\le s=100

y

y\le r=150,

un cuadrado

T

con

90

puntos reticulares por lado puede cruzar el eje

y

con los solapamientos requeridos, y sus vértices superiores quedan en

R\cup S.

Por tanto, la respuesta pedida es

340 - 3 = 337.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let

r

be the number of lattice points on the side length of

R.

Similarly define

s

for

S

and

t

for

T.

Note that the number of lattice points in a rectangle is the product of the number of lattice points along its width and the number of lattice points along its length.

The first condition gives us that

r^2 = \dfrac{9}{4} \cdot s^2

r = \dfrac{3}{2} \cdot s \tag*{(1)}

The number of lattice points in

R \cup S

is the sum of the lattice points in each of the regions, but there is overlap along the

y

-axis where

S

touches it.

The second condition, therefore, yields

t^2 = \dfrac{1}{4}(r^2 + s^2 - s)

t^2 = \dfrac{1}{4}(\dfrac{9}{4} \cdot s^2 + s^2 - s)

t^2 = \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{13s^2 - 4s}{4}

16t^2 = s(13s - 4).

From

(1),

we get that

s

is a multiple of

2.

We can substitute

s

with

2j

to get

16t^2 = 2j(26j - 4)

4t^2 = j(13j - 2).

For the product to be divisible by

4,

j

must be divisible by

2.

We can again substitute

j

with

2k

to get

4t^2 = 2k(26k - 2)

t^2 = k(13k - 1) \tag*{(2)}

Let

x

be the number of lattice points along the bottom of the rectangle formed by

S \cap T

and

y

be the number of lattice points along the bottom of the rectangle formed by

R \cap T.

Using these variables, we get that the number of lattice points in

S \cap T

is

xt

and in

R \cap T

is

yt.

The third condition gives us that

\dfrac{xt}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{yt}{r^2}

\dfrac{x}{s^2} = 27 \cdot \dfrac{y}{\dfrac{9}{4} s^2}

x = 12y.

We also know that

t = x + y - 1

(accounting for overlap), and this yields

t = 13y - 1 \tag*{(3)}

(3)

gives us that

\begin{gathered} t \equiv -1 \pmod{13}, \\ t^2 \equiv 1 \pmod{13}. \end{gathered}

However, by

(2),

we get that

t^2 \equiv -k \pmod{13}

k \equiv -1 \pmod{13}.

By

(2),

we also get that

k

is a perfect square since it is relatively prime to

13k - 1,

and they must multiply to a perfect square.

Thus

k

must be a perfect square satisfying

k\equiv-1\pmod{13}.

The smaller positive squares

1,4,9,16

do not satisfy this congruence, while

k=25

does, so

25

is the least possible value.

From this value of

k,

we get that

j = 2 \cdot 25 = 50,

s = 2 \cdot 50 = 100,

and

r = \dfrac{3}{2} \cdot 100 = 150.

We can also find that

t^2 = 25(13 \cdot 25 - 1) = 25 \cdot 324

t = 5 \cdot 18 = 90.

Therefore,

r + s + t = 340.

The question, however, asked for the sum of the side lengths. The side lengths of the squares are

1

less than the number of lattice points on the side, so we have to subtract

3.

This value is attainable: equation

(3)

gives

y=7

and hence

x=84.

Since

x\le s=100

and

y\le r=150,

a square

T

with

90

lattice points per side can straddle the

y

-axis with the required overlaps, and its top vertices lie in

R\cup S.

Therefore, the desired answer is

340 - 3 = 337.

Thus, B is the correct answer.

Problemas del 2022 AMC 10A

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución en video:

Solución escrita:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1220

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña: