2013 AMC 10A — Problemas y examen en línea cronometrado

Con tiempo

1:15:00

1.

Un viaje en taxi cuesta $\$1.50$ más $\$0.25$ por milla recorrida. ¿Cuánto cuesta un viaje en taxi de $5$ millas?

A taxi ride costs $\$1.50$ plus $\$0.25$ per mile traveled. How much does a $5$ -mile taxi ride cost?

$\$2.25$

$\$2.50$

$\$2.75$

$\$3.00$

$\$3.25$

Respuesta: C

Conceptos:tasa dinero

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Primero calcula el cargo por millaje.

Compute the mileage charge first

Pista grande:

Después del cargo por millaje, suma el cargo fijo inicial.

Add the fixed starting charge after the mileage charge

Solución:

El cargo por millaje es $\$0.25\cdot 5=\$1.25$ .

Al sumar el cargo fijo se obtiene $\$1.50+\$1.25=\$2.75$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The mileage charge is $\$0.25\cdot 5=\$1.25$ .

Adding the fixed charge gives $\$1.50+\$1.25=\$2.75$ .

Thus, C is the correct answer.

2.

Alice está haciendo una tanda de galletas y necesita $2\frac{1}{2}$ tazas de azúcar. Por desgracia, su taza medidora solo contiene $\frac{1}{4}$ de taza de azúcar. ¿Cuántas veces debe llenar esa taza para obtener la cantidad correcta de azúcar?

Alice is making a batch of cookies and needs $2\frac{1}{2}$ cups of sugar. Unfortunately, her measuring cup holds only $\frac{1}{4}$ cup of sugar. How many times must she fill that cup to get the correct amount of sugar?

$8$

$10$

$12$

$16$

$20$

Respuesta: B

Conceptos:fracción

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Convierte el número mixto de tazas en una fracción impropia.

Convert the mixed number of cups to an improper fraction

Pista grande:

Divide el azúcar necesaria entre el tamaño de la taza.

Divide the needed sugar by the cup size

Solución:

Alice necesita $2\frac12=\frac52$ tazas de azúcar.

Cada taza medidora llena aporta $\frac14$ de taza, así que el número de llenados es $\frac52\div\frac14=\frac52\cdot4=10$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Alice needs $2\frac12=\frac52$ cups of sugar.

Each full measuring cup gives $\frac14$ cup, so the number of fillings is $\frac52\div\frac14=\frac52\cdot4=10$ .

Thus, B is the correct answer.

3.

El cuadrado $ABCD$ tiene lado de longitud $10.$ El punto $E$ está sobre $\overline{BC},$ y el área de $\triangle ABE$ es $40.$ ¿Cuánto vale $BE$ ?

Square $ABCD$ has side length $10.$ Point $E$ is on $\overline{BC},$ and the area of $\triangle ABE$ is $40.$ What is $BE?$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Respuesta: E

Conceptos:área del triángulo

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Usa $AB$ como la altura de $\triangle ABE$ .

Use $AB$ as the height of $\triangle ABE$

Pista grande:

Iguala $\frac12\cdot AB\cdot BE$ al área dada.

Set $\frac12\cdot AB\cdot BE$ equal to the given area

Solución:

Por la fórmula del área de un triángulo tenemos que $40 = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot BE.$ Esto nos da $40 = 5BE$ $BE = 8.$ Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We have by the formula for the area of a triangle that $40 = \dfrac{1}{2} \cdot 10 \cdot BE.$ This gives us $40 = 5BE$ $BE = 8.$ Thus, E is the correct answer.

4.

Un equipo de softbol jugó diez partidos, anotando $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ y $10$ carreras. Perdieron por una carrera en exactamente cinco partidos. En cada uno de sus demás partidos, anotaron el doble de carreras que su oponente. ¿Cuántas carreras anotaron en total sus oponentes?

A softball team played ten games, scoring $1,$ $2,$ $3,$ $4,$ $5,$ $6,$ $7,$ $8,$ $9,$ and $10$ runs. They lost by one run in exactly five games. In each of their other games, they scored twice as many runs as their opponent. How many total runs did their opponents score?

$35$

$40$

$45$

$50$

$55$

Respuesta: C

Conceptos:paridad análisis por casos

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Los partidos con puntuación doblada deben ser los partidos con anotación par.

The doubled-score games must be the even scoring games

Pista grande:

Empareja las anotaciones impares con las derrotas por una carrera y las pares con la mitad de la anotación del oponente.

Pair odd scores with one-run losses and even scores with halved opponent scores

Solución:

Observa que si anotaron el doble de carreras que sus oponentes, entonces anotaron un número par de carreras.

Esto significa que en los partidos donde anotaron $2, 4, 6, 8,$ y $10$ carreras, sus oponentes anotaron $1, 2, 3, 4,$ y $5$ carreras respectivamente.

Esto suma $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$

En los demás partidos, sus oponentes anotaron $2, 4, 6, 8,$ y $10$ carreras.

Esto suma $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.$

El número total de carreras es entonces $15 + 30 = 45.$ Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that if they scored twice as many runs as their opponents, then they scored an even number of runs.

This means in the games where they scored $2, 4, 6, 8,$ and $10$ runs, their opponents scored $1, 2, 3, 4,$ and $5$ runs respectively.

This sums to $1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.$

In the other games, their opponents scored $2, 4, 6, 8,$ and $10$ runs.

This sums to $2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30.$

The total number of runs is then $15 + 30 = 45.$ Thus, C is the correct answer.

5.

Tom, Dorothy y Sammy se fueron de vacaciones y acordaron dividir los gastos por partes iguales. Durante el viaje Tom pagó $\$105,$ Dorothy pagó $\$125,$ y Sammy pagó $\$175.$ Para compartir los gastos por igual, Tom le dio a Sammy $t$ dólares, y Dorothy le dio a Sammy $d$ dólares. ¿Cuánto vale $t-d$ ?

Tom, Dorothy, and Sammy went on a vacation and agreed to split the costs evenly. During their trip Tom paid $\$105,$ Dorothy paid $\$125,$ and Sammy paid $\$175.$ In order to share costs equally, Tom gave Sammy $t$ dollars, and Dorothy gave Sammy $d$ dollars. What is $t-d?$

$15$

$20$

$25$

$30$

$35$

Respuesta: B

Conceptos:media dinero

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Primero halla el costo total del viaje y la parte justa de cada persona.

First find the total trip cost and each person’s fair share

Pista grande:

Tom y Dorothy le pagan a Sammy la cantidad que les falta para su parte justa.

Tom and Dorothy each pay Sammy the amount they are short of a fair share

Solución:

El costo total fue $\$105+\$125+\$175=\$405$ , así que la parte de cada persona fue $\$405\div3=\$135$ .

Tom pagó $\$30$ menos que su parte, y Dorothy pagó $\$10$ menos que la suya, así que $t=30$ y $d=10$ .

Por lo tanto $t-d=30-10=20$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The total cost was $\$105+\$125+\$175=\$405$ , so each person’s share was $\$405\div3=\$135$ .

Tom paid $\$30$ less than his share, and Dorothy paid $\$10$ less than her share, so $t=30$ and $d=10$ .

Therefore $t-d=30-10=20$ .

Thus, B is the correct answer.

6.

Joey y sus cinco hermanos tienen $3,$ $5,$ $7,$ $9,$ $11,$ y $13$ años. Una tarde dos de sus hermanos cuyas edades suman $16$ fueron al cine, dos hermanos menores de $10$ años fueron a jugar béisbol, y Joey y el de $5$ años se quedaron en casa. ¿Cuántos años tiene Joey?

Joey and his five brothers are ages $3,$ $5,$ $7,$ $9,$ $11,$ and $13.$ One afternoon two of his brothers whose ages sum to $16$ went to the movies, two brothers younger than $10$ went to play baseball, and Joey and the $5$ -year-old stayed home. How old is Joey?

$3$

$7$

$9$

$11$

$13$

Respuesta: D

Conceptos:deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Enumera los pares de edades cuya suma es $16$ , recordando que el de $5$ años se quedó en casa.

List the age pairs whose sum is $16$ , remembering the $5$ -year-old stayed home

Pista grande:

Después de elegir el par que fue al cine, el par de béisbol debe ser dos hermanos restantes menores de $10$ años.

After choosing the movie pair, the baseball pair must be two remaining brothers younger than $10$

Solución:

Los pares de edades que suman $16$ son $(3,13)$ , $(5,11)$ , y $(7,9)$ .

El de $5$ años se quedó en casa, así que el par del cine no puede ser $(5,11)$ . Si los de $7$ y $9$ años fueron al cine, entonces el único hermano restante menor de $10$ años sería el de $3$ años, insuficiente para el béisbol.

Así que el par del cine fue $(3,13)$ , el par del béisbol fue $(7,9)$ , y Joey es el hermano restante, de $11$ años.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

The age pairs that sum to $16$ are $(3,13)$ , $(5,11)$ , and $(7,9)$ .

The $5$ -year-old stayed home, so the movie pair cannot be $(5,11)$ . If $7$ and $9$ went to the movies, then the only remaining brother younger than $10$ would be the $3$ -year-old, not enough for baseball.

Thus the movie pair was $(3,13)$ , the baseball pair was $(7,9)$ , and Joey is the remaining brother, age $11$ .

Thus, D is the correct answer.

7.

Un estudiante debe elegir un programa de cuatro cursos de un menú compuesto por Inglés, Álgebra, Geometría, Historia, Arte y Latín. Este programa debe incluir Inglés y al menos un curso de matemáticas. ¿De cuántas maneras se puede elegir este programa?

A student must choose a program of four courses from a menu of courses consisting of English, Algebra, Geometry, History, Art, and Latin. This program must contain English and at least one mathematics course. In how many ways can this program be chosen?

$6$

$8$

$9$

$12$

$16$

Respuesta: C

Conceptos:combinaciones conteo complementario

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Inglés está fijo, así que elige tres de los cinco cursos restantes.

English is fixed, so choose three of the five remaining courses

Pista grande:

Cuenta todas las elecciones de tres cursos de los cursos restantes, luego quita la que no tiene matemáticas.

Count all three-course choices from the remaining courses, then remove the choice with no math

Solución:

Inglés es obligatorio, así que elige los otros $3$ cursos de los $5$ cursos Álgebra, Geometría, Historia, Arte y Latín.

Hay $\binom53=10$ elecciones de este tipo, pero una de ellas, Historia-Arte-Latín, no contiene ningún curso de matemáticas.

Por lo tanto, el número de programas válidos es $10-1=9$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

English is required, so choose the other $3$ courses from the $5$ courses Algebra, Geometry, History, Art, and Latin.

There are $\binom53=10$ such choices, but one of them, History-Art-Latin, contains no mathematics course.

Therefore the number of valid programs is $10-1=9$ .

Thus, C is the correct answer.

8.

¿Cuál es el valor de $\dfrac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}} ?$

What is the value of $\dfrac{2^{2014}+2^{2012}}{2^{2014}-2^{2012}} ?$

$-1$

$1$

$\dfrac{5}{3}$

$2013$

$2^{4024}$

Respuesta: C

Conceptos:exponente factorización

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Factoriza la potencia menor $2^{2012}$ .

Factor out the smaller power $2^{2012}$

Pista grande:

Después de factorizar, en cada paréntesis solo queda $2^2$ .

After factoring, only $2^2$ remains in each parenthesis

Solución:

Al factorizar $2^{2012},$ obtenemos: $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{5}{3}.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Factoring out a $2^{2012},$ we get: $\dfrac{2^{2012}(2^2 + 1)}{2^{2012}(2^2 - 1)} = \dfrac{5}{3}.$

Thus, C is the correct answer.

9.

En un partido reciente de baloncesto, Shenille solo intentó tiros de tres puntos y tiros de dos puntos. Acertó el $20\%$ de sus tiros de tres puntos y el $30\%$ de sus tiros de dos puntos. Shenille intentó $30$ tiros. ¿Cuántos puntos anotó?

In a recent basketball game, Shenille attempted only three-point shots and two-point shots. She was successful on $20\%$ of her three-point shots and $30\%$ of her two-point shots. Shenille attempted $30$ shots. How many points did she score?

$12$

$18$

$24$

$30$

$36$

Respuesta: B

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Sean $x$ y $y$ el número de intentos de dos puntos y de tres puntos.

Let $x$ and $y$ be the numbers of two-point and three-point attempts

Pista grande:

Compara los puntos obtenidos por cada tipo de tiro intentado después de aplicar los porcentajes de acierto.

Compare the points earned per attempted shot type after applying the success percentages

Solución:

Sea $x$ el número de tiros de dos puntos y $y$ el número de tiros de tres puntos.

Entonces, Shenille acierta $0.3x$ tiros de dos puntos y $0.2y$ tiros de tres puntos, para una puntuación total de $2 \cdot 0.3x + 3 \cdot 0.2y = 0.6x + 0.6y.$

Sabemos que $x + y = 30$ $0.6(x + y) = 18.$

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of two-point shots and $y$ be the number of three-point shots.

Then, Shenille makes $0.3x$ two-point shots and $0.2y$ three-point shots, for a total score of $2 \cdot 0.3x + 3 \cdot 0.2y = 0.6x + 0.6y.$

We know that $x + y = 30$ $0.6(x + y) = 18.$

Thus, B is the correct answer.

10.

Un ramo de flores contiene rosas rosadas, rosas rojas, claveles rosados y claveles rojos. Un tercio de las flores rosadas son rosas, tres cuartos de las flores rojas son claveles, y seis décimos de las flores son rosadas. ¿Qué porcentaje de las flores son claveles?

A flower bouquet contains pink roses, red roses, pink carnations, and red carnations. One third of the pink flowers are roses, three fourths of the red flowers are carnations, and six tenths of the flowers are pink. What percent of the flowers are carnations?

$15$

$30$

$40$

$60$

$70$

Respuesta: E

Conceptos:fracción porcentaje

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Separa el ramo en claveles rosados y claveles rojos.

Break the bouquet into pink carnations and red carnations

Pista grande:

Usa por separado las fracciones dadas de flores rosadas y rojas.

Use the given fractions of pink and red flowers separately

Solución:

Sea el número total de flores igual a $x.$ Hay $0.6x$ flores rosadas y $0.4x$ flores rojas.

Entonces hay $\dfrac{1}{3} \cdot 0.6x = 0.2x$ rosas rosadas, lo que significa que hay $0.4x$ claveles rosados.

También hay $\dfrac{3}{4} \cdot 0.4x = 0.3x$ claveles rojos. Esto significa que hay $0.3x + 0.4x = 0.7x$ claveles. Esto es el $70\%$ del total de flores.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Let the total number of flowers be $x.$ There are $0.6x$ pink flowers and $0.4x$ red flowers.

Then there are $\dfrac{1}{3} \cdot 0.6x = 0.2x$ pink roses, which means there are $0.4x$ pink carnations.

There are also $\dfrac{3}{4} \cdot 0.4x = 0.3x$ red carnations. This means there are $0.3x + 0.4x = 0.7x$ carnations. This is $70\%$ of the total flowers.

Thus, E is the correct answer.

11.

Un consejo estudiantil debe seleccionar un comité de bienvenida de dos personas y un comité de planificación de tres personas de entre sus miembros. Hay exactamente $10$ maneras de seleccionar un equipo de dos personas para el comité de bienvenida. Es posible que los estudiantes sirvan en ambos comités. ¿De cuántas maneras diferentes se puede seleccionar un comité de planificación de tres personas?

A student council must select a two-person welcoming committee and a three-person planning committee from among its members. There are exactly $10$ ways to select a two-person team for the welcoming committee. It is possible for students to serve on both committees. In how many different ways can a three-person planning committee be selected?

$10$

$12$

$15$

$18$

$25$

Respuesta: A

Conceptos:combinaciones cuadrática

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Sea $n$ el número de miembros del consejo y usa $\binom n2=10$ .

Let $n$ be the number of council members and use $\binom n2=10$

Pista grande:

Después de hallar $n$ , cuenta $\binom n3$ comités de planificación.

After finding $n$ , count $\binom n3$ planning committees

Solución:

Sea $x$ el número de estudiantes. Entonces el número de maneras de elegir un comité de dos personas es $\binom{x}{2} = \dfrac{x(x - 1)}{2}.$ Sabemos que esto es igual a $10,$ así que $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0.$ Al factorizar se obtiene $(x - 5)(x + 4) = 0$ $x = 5,$ ya que no puede haber un número negativo de estudiantes.

Entonces, el número de maneras de elegir un comité de $3$ personas es $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10.$

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

Let $x$ be the number of students. Then the number of ways to pick a two-person committee is $\binom{x}{2} = \dfrac{x(x - 1)}{2}.$ We know that this equals $10,$ so $x^2 - x = 20$ $x^2 - x - 20 = 0.$ Factoring yields $(x - 5)(x + 4) = 0$ $x = 5,$ since there cannot be a negative number of students.

Then, the number of ways to pick a $3$ -person committee is $\binom{5}{3} = \binom{5}{2} = 10.$

Thus, A is the correct answer.

12.

En $\triangle ABC,$ $AB=AC=28$ y $BC=20.$ Los puntos $D,$ $E,$ y $F$ están sobre los lados $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{DE}$ y $\overline{EF}$ son paralelos a $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo $ADEF$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=AC=28$ and $BC=20.$ Points $D,$ $E,$ and $F$ are on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ and $\overline{EF}$ are parallel to $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. What is the perimeter of parallelogram $ADEF?$

$48$

$52$

$56$

$60$

$72$

Respuesta: C

Conceptos:semejanza paralelogramo perímetro

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Usa los paralelismos para obtener triángulos semejantes cerca de $B$ y $C$ .

Use the parallels to get similar triangles near $B$ and $C$

Pista grande:

Reescribe los lados opuestos del paralelogramo como partes de $AB$ y $AC$ .

Rewrite opposite sides of the parallelogram as pieces of $AB$ and $AC$

Solución:

Observa que $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ y $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ debido a las rectas paralelas.

Esto nos dice que $DB = DE$ y $FE = FC.$ Tenemos que el perímetro de $ADEF$ es $AD + DE + EF + AF$ $= AD + DB + FC + AF$ $= AB + AC$ $= 56.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ and $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ due to the parallel lines.

This tells us that $DB = DE$ and $FE = FC.$ We have that the perimeter of $ADEF$ is $AD + DE + EF + AF$ $= AD + DB + FC + AF$ $= AB + AC$ $= 56.$

Thus, C is the correct answer.

13.

¿Cuántos números de tres dígitos no son divisibles por $5,$ tienen dígitos que suman menos de $20,$ y tienen el primer dígito igual al tercero?

How many three-digit numbers are not divisible by $5,$ have digits that sum to less than $20,$ and have the first digit equal to the third digit?

$52$

$60$

$66$

$68$

$70$

Respuesta: B

Conceptos:dígitos análisis por casos

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

El número tiene la forma $aba$ .

The number has form $aba$

Pista grande:

Haz casos según el dígito repetido $a$ , excluyendo los valores que hacen que el número sea divisible por $5$ .

Case on the repeated digit $a$ , excluding values that make the number divisible by $5$

Solución:

Observa que para que el número no sea divisible por $5,$ el dígito de las unidades no puede ser ni $0$ ni $5.$

Sea $x$ el dígito de las centenas y de las unidades, e $y$ el dígito de las decenas. Entonces queremos $2x + y \lt 20.$ Haciendo casos según los $8$ valores posibles de $x,$ obtenemos:

Si $x$ es $1, 2, 3,$ o $4,$ entonces $y$ puede ser cualquier cosa, ya que $y \lt 10.$

Si $x = 6,$ entonces $y \lt 8,$ lo que nos da $8$ soluciones.

Si $x = 7,$ entonces $y \lt 6,$ lo que nos da $6$ soluciones.

Si $x = 8,$ entonces $y \lt 4,$ lo que nos da $4$ soluciones.

Si $x = 9,$ entonces $y \lt 2,$ lo que nos da $2$ soluciones.

Esto nos da un total de $4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60$ soluciones.

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Note that for the number to not be divisible by $5,$ the units digits cannot be either $0$ or $5.$

Let $x$ be the hundreds and units digit and $y$ be the tens digit. Then we want $2x + y \lt 20.$ Casing on the $8$ possible values of $x,$ we get:

If $x$ is $1, 2, 3,$ or $4,$ then $y$ can be anything since $y \lt 10.$

If $x = 6,$ then $y \lt 8,$ which gives us $8$ solutions.

If $x = 7,$ then $y \lt 6,$ which gives us $6$ solutions.

If $x = 8,$ then $y \lt 4,$ which gives us $4$ solutions.

If $x = 9,$ then $y \lt 2,$ which gives us $2$ solutions.

This gives us a total of $4 \cdot 10 + 8 + 6 + 4 + 2 = 60$ solutions.

Thus, B is the correct answer.

14.

Se retira un cubo sólido de lado $1$ de cada esquina de un cubo sólido de lado $3.$ ¿Cuántas aristas tiene el sólido restante?

A solid cube of side length $1$ is removed from each corner of a solid cube of side length $3.$ How many edges does the remaining solid have?

$36$

$60$

$72$

$84$

$108$

Respuesta: D

Conceptos:poliedro geometría del cubo

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Cada esquina retirada crea nuevas aristas expuestas.

Each corner removal creates new exposed edges

Pista grande:

Cuenta las aristas del cubo original más las nuevas aristas de cada esquina retirada.

Count the original cube edges plus the new edges from each removed corner

Solución:

Retirar los cubos no elimina ninguna arista del cubo original. Solo añade aristas.

Después de retirar cada cubo, podemos ver que se añaden $9$ aristas adicionales al sólido.

Se retiran $8$ cubos, lo que significa que se añaden $8 \cdot 9 = 72$ aristas a las $12$ aristas originales, para un total de $72 + 12 = 84$ aristas.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Removing the cubes does not remove any edges from the original cube. It only adds edges.

After removing each cube, we can see that $9$ extra edges are added to the solid.

$8$ cubes are removed, which means $8 \cdot 9 = 72$ edges are added to the original $12$ edges, for a total of $72 + 12 = 84$ edges.

Thus, D is the correct answer.

15.

Dos lados de un triángulo tienen longitudes $10$ y $15.$ La longitud de la altura al tercer lado es el promedio de las longitudes de las alturas a los dos lados dados. ¿Cuánto mide el tercer lado?

Two sides of a triangle have lengths $10$ and $15.$ The length of the altitude to the third side is the average of the lengths of the altitudes to the two given sides. How long is the third side?

$6$

$8$

$9$

$12$

$18$

Respuesta: D

Conceptos:área del triángulo altura razón y proporción

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Expresa la misma área doblada usando cada lado y su altura.

Express the same doubled area using each side and its altitude

Pista grande:

Usa la condición del promedio de alturas para relacionar el tercer lado desconocido con una altura conocida.

Use the average-altitude condition to relate the unknown third side to a known altitude

Solución:

Sea $h_1$ la longitud de la altura al lado de longitud $10$ y define de forma análoga $h_2$ para el otro lado dado.

Tenemos que $10h_1 = 15h_2$ $h_1 = \dfrac{3}{2}h_2.$

La tercera altura es el promedio de las otras dos, lo que hace que su longitud sea $\dfrac{h_2 + \frac{3}{2}h_2}{2} = \dfrac{5}{4}h_2.$

Sea la longitud del tercer lado igual a $x.$ Entonces $\dfrac{5}{4}h_2x = 15h_2$ $x = 12.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $h_1$ be the length of the altitude to the side of length $10$ and similarly define $h_2$ for the other given side.

We have that $10h_1 = 15h_2$ $h_1 = \dfrac{3}{2}h_2.$

The third altitude is the average of the other two, which makes its length $\dfrac{h_2 + \frac{3}{2}h_2}{2} = \dfrac{5}{4}h_2.$

Let the third side have length $x.$ Then $\dfrac{5}{4}h_2x = 15h_2$ $x = 12.$

Thus, D is the correct answer.

16.

Un triángulo con vértices $(6, 5),$ $(8, -3),$ y $(9, 1)$ se refleja respecto a la recta $x = 8$ para crear un segundo triángulo. ¿Cuál es el área de la unión de los dos triángulos?

A triangle with vertices $(6, 5),$ $(8, -3),$ and $(9, 1)$ is reflected about the line $x = 8$ to create a second triangle. What is the area of the union of the two triangles?

$9$

$\dfrac{28}{3}$

$10$

$\dfrac{31}{3}$

$\dfrac{32}{3}$

Respuesta: E

Conceptos:geometría analítica reflexión (geometría)área del triángulo simetría

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Refleja los dos vértices no fijos a través de $x=8$ .

Reflect the two non-fixed vertices across $x=8$

Pista grande:

Halla el segmento vertical común creado por los dos triángulos superpuestos.

Find the shared vertical segment created by the two overlapping triangles

Solución:

El triángulo reflejado tiene vértices $(7,1)$ , $(8,-3)$ , y $(10,5)$ .

La recta que pasa por $(6,5)$ y $(9,1)$ es $y=-\frac43x+13$ , así que corta a $x=8$ en $y=\frac73$ . Por simetría, la unión son dos triángulos congruentes con base vertical desde $(8,-3)$ hasta $(8,\frac73)$ .

Esa base tiene longitud $\frac73+3=\frac{16}{3}$ , y cada triángulo tiene altura horizontal $2$ . Por lo tanto el área de la unión es $2\left(\frac12\cdot\frac{16}{3}\cdot2\right)=\frac{32}{3}$ .

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

The reflected triangle has vertices $(7,1)$ , $(8,-3)$ , and $(10,5)$ .

The line through $(6,5)$ and $(9,1)$ is $y=-\frac43x+13$ , so it meets $x=8$ at $y=\frac73$ . By symmetry, the union is two congruent triangles with vertical base from $(8,-3)$ to $(8,\frac73)$ .

That base has length $\frac73+3=\frac{16}{3}$ , and each triangle has horizontal height $2$ . Hence the union area is $2\left(\frac12\cdot\frac{16}{3}\cdot2\right)=\frac{32}{3}$ .

Thus, E is the correct answer.

17.

A Daphne la visitan periódicamente sus tres mejores amigas: Alice, Beatrix y Claire. Alice la visita cada tres días, Beatrix la visita cada cuatro días, y Claire la visita cada cinco días.

Las tres amigas visitaron a Daphne ayer. ¿En cuántos días del siguiente periodo de $365$ días la visitarán exactamente dos amigas?

Daphne is visited periodically by her three best friends: Alice, Beatrix, and Claire. Alice visits every third day, Beatrix visits every fourth day, and Claire visits every fifth day.

All three friends visited Daphne yesterday. How many days of the next $365$ -day period will exactly two friends visit her?

$48$

$54$

$60$

$66$

$72$

Respuesta: B

Conceptos:mínimo común múltiplo inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Cuenta los días de encuentro por parejas usando mínimos comunes múltiplos.

Count pairwise meeting days using least common multiples

Pista grande:

Resta de cada conteo por parejas los días en que se encuentran las tres.

Subtract the triple-meeting days from each pair count

Solución:

Las visitas por parejas ocurren cada $\operatorname{lcm}(3,4)=12$ , $\operatorname{lcm}(3,5)=15$ , y $\operatorname{lcm}(4,5)=20$ días.

En los siguientes $365$ días, estos conteos por parejas son $\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30$ , $\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24$ , y $\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18$ .

Las tres visitan cada $60$ días, lo que ocurre $\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6$ veces. Restar esos días de cada conteo por parejas da $(30-6)+(24-6)$ $+(18-6)=54$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Pairwise visits occur every $\operatorname{lcm}(3,4)=12$ , $\operatorname{lcm}(3,5)=15$ , and $\operatorname{lcm}(4,5)=20$ days.

In the next $365$ days, these pair counts are $\left\lfloor\frac{365}{12}\right\rfloor=30$ , $\left\lfloor\frac{365}{15}\right\rfloor=24$ , and $\left\lfloor\frac{365}{20}\right\rfloor=18$ .

All three visit every $60$ days, which happens $\left\lfloor\frac{365}{60}\right\rfloor=6$ times. Subtracting those days from each pair count gives $(30-6)+(24-6)$ $+(18-6)=54$ .

Thus, B is the correct answer.

18.

Sean los puntos $A=(0,0),$ $B=(1,2),$ $C=(3,3),$ y $D=(4,0).$ El cuadrilátero $ABCD$ se divide en dos partes de igual área mediante una recta que pasa por $A.$ Esta recta corta a $\overline{CD}$ en el punto $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ donde las fracciones están reducidas. ¿Cuánto vale $p+q+r+s$ ?

Let points $A=(0,0),$ $B=(1,2),$ $C=(3,3),$ and $D=(4,0).$ Quadrilateral $ABCD$ is cut into equal area pieces by a line passing through $A.$ This line intersects $\overline{CD}$ at point $\left(\dfrac{p}{q}, \dfrac{r}{s}\right),$ where these fractions are in lowest terms. What is $p+q+r+s?$

$54$

$58$

$62$

$70$

$75$

Respuesta: B

Conceptos:geometría analítica descomposición de áreas ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Primero calcula el área total de $ABCD$ .

First compute the total area of $ABCD$

Pista grande:

La recta de corte que pasa por $A$ hace que $\triangle ADG$ sea la mitad del área del cuadrilátero.

The cutting line through $A$ makes $\triangle ADG$ half the quadrilateral area

Solución:

Sea $G$ el punto donde la recta de corte encuentra a $\overline{CD}$ . Traza perpendiculares desde $B$ , $C$ , y $G$ hasta el eje $x$ , como en el diagrama.

Las áreas de $\triangle ABF$ , el trapecio $BCEF$ , y $\triangle CDE$ son $1$ , $5$ , y $\frac32$ , respectivamente, así que $[ABCD]=\frac{15}{2}$ .

Por lo tanto $\triangle ADG$ tiene área $\frac{15}{4}$ . Como $AD=4$ , la altura de $G$ es $\frac{15}{8}$ .

La recta $CD$ tiene ecuación $y=-3x+12$ , así que $\frac{15}{8}=-3x+12$ , lo que da $x=\frac{27}{8}$ . Por lo tanto $p+q+r+s$ $=27+8+15+8$ $=58$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

Let the cutting line meet $\overline{CD}$ at $G$ . Drop perpendiculars from $B$ , $C$ , and $G$ to the $x$ -axis as in the diagram.

The areas of $\triangle ABF$ , trapezoid $BCEF$ , and $\triangle CDE$ are $1$ , $5$ , and $\frac32$ , respectively, so $[ABCD]=\frac{15}{2}$ .

Thus $\triangle ADG$ has area $\frac{15}{4}$ . Since $AD=4$ , the height of $G$ is $\frac{15}{8}$ .

The line $CD$ has equation $y=-3x+12$ , so $\frac{15}{8}=-3x+12$ , giving $x=\frac{27}{8}$ . Therefore $p+q+r+s$ $=27+8+15+8$ $=58$ .

Thus, B is the correct answer.

19.

En base $10,$ el número $2013$ termina en el dígito $3.$ En base $9,$ en cambio, el mismo número se escribe como $(2676)_9$ y termina en el dígito $6.$ ¿Para cuántos enteros positivos $b$ la representación en base $b$ de $2013$ termina en el dígito $3$ ?

In base $10,$ the number $2013$ ends in the digit $3.$ In base $9,$ on the other hand, the same number is written as $(2676)_9$ and ends in the digit $6.$ For how many positive integers $b$ does the base- $b$ -representation of $2013$ end in the digit $3?$

$6$

$9$

$13$

$16$

$18$

Respuesta: C

Conceptos:base numérica aritmética modular conteo de factores

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Un dígito final en una base es un residuo.

A final base digit is a remainder

Pista grande:

La base debe ser mayor que $3$ y dividir a $2013-3$ .

The base must be greater than $3$ and divide $2013-3$

Solución:

Observa que el dígito de las unidades representa el residuo al dividir el número entre la base.

La pregunta se reduce entonces a hallar todos los números $b,$ tales que $2013$ deja un residuo de $3$ al dividirse entre $b.$

Esto significa que $b$ debe dividir a $2010.$ Observa también que $b \geq 4,$ ya que de lo contrario el residuo no puede ser $3.$

La factorización prima de $2010$ es $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Entonces, $2010$ tiene $(1 + 1)^4 = 2^4 = 16$ factores. Tiene $3$ factores menores que $4,$ a saber $1, 2,$ y $3.$ Esto significa que hay $16 - 3 = 13$ valores válidos para $b.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that the units digit represents the remainder when the number is divided by the base.

The question then boils down to finding all numbers, $b,$ such that $2013$ leaves a remainder of $3$ when divided by $b.$

This means that $b$ must divide $2010.$ Also note that $b \geq 4,$ since otherwise the remainder cannot be $3.$

The prime factorization of $2010$ is $2010 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 67.$ Then, $2010$ has $(1 + 1)^4 = 2^4 = 16$ factors. It has $3$ factors less than $4,$ namely $1, 2,$ and $3.$ This means there are $16 - 3 = 13$ valid values for $b.$

Thus, C is the correct answer.

20.

Un cuadrado unitario se gira $45^\circ$ alrededor de su centro. ¿Cuál es el área de la región barrida por el interior del cuadrado?

A unit square is rotated $45^\circ$ about its center. What is the area of the region swept out by the interior of the square?

$1 - \dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{1}{2} + \dfrac{\pi}{4}$

$2 - \sqrt2 + \dfrac{\pi}{4}$

$\dfrac{\sqrt2}{2} + \dfrac{\pi}{4}$

$1 + \dfrac{\sqrt2}{4} + \dfrac{\pi}{8}$

Respuesta: C

Conceptos:transformación sector circular descomposición de áreas

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Trabaja con un cuadrante de la región barrida.

Work with one quadrant of the swept region

Pista grande:

Descompón ese cuadrante en un sector y dos piezas triangulares rectángulas.

Decompose that quadrant into a sector and two right-triangle pieces

Solución:

Considera una cuarta parte de la región barrida y multiplica su área por $4$ .

El sector tiene ángulo $45^\circ$ y radio $\frac{\sqrt2}{2}$ , así que su área es $\frac18\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}$ .

Las dos piezas triangulares rectángulas de ese cuarto tienen áreas $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ y $\frac12\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2$ .

Multiplicar la suma de áreas del cuarto por $4$ da $2-\sqrt2+\frac{\pi}{4}$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Consider one quarter of the swept region and multiply its area by $4$ .

The sector has angle $45^\circ$ and radius $\frac{\sqrt2}{2}$ , so its area is $\frac18\pi\left(\frac{\sqrt2}{2}\right)^2=\frac{\pi}{16}$ .

The two right-triangle pieces in that quarter have areas $\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12=\frac18$ and $\frac12\left(\frac{\sqrt2-1}{2}\right)^2$ .

Multiplying the quarter-area sum by $4$ gives $2-\sqrt2+\frac{\pi}{4}$ .

Thus, C is the correct answer.

21.

$12$ piratas acuerdan dividir un cofre del tesoro de monedas de oro entre ellos de la siguiente manera. El $k^{\text{o}}$ pirata en tomar una parte toma $\dfrac{k}{12}$ de las monedas que quedan en el cofre. El número de monedas que hay inicialmente en el cofre es el menor número para el cual este arreglo permite que cada pirata reciba un número entero positivo de monedas. ¿Cuántas monedas recibe el $12^{\text{o}}$ pirata?

A group of $12$ pirates agree to divide a treasure chest of gold coins among themselves as follows. The $k^{\text{th}}$ pirate to take a share takes $\dfrac{k}{12}$ of the coins that remain in the chest. The number of coins initially in the chest is the smallest number for which this arrangement will allow each pirate to receive a positive whole number of coins. How many coins does the $12^{\text{th}}$ pirate receive?

$720$

$1296$

$1728$

$1925$

$3850$

Respuesta: D

Conceptos:divisibilidad factorización en primos trabajar hacia atrás

Nivel de dificultad: 2300

Pista pequeña:

Trabaja hacia atrás a partir del número que queda para el último pirata.

Work backward from the number left for the last pirate

Pista grande:

Al revertir al pirata $k$ , la cantidad restante se multiplica por $\frac{12}{12-k}$ .

The remaining amount is multiplied by $\frac{12}{12-k}$ when reversing pirate $k$

Solución:

Trabajemos hacia atrás. Si quedan $n$ monedas para el pirata número $12$ , entonces, antes de que el pirata $k$ tomara su parte, el cofre tenía $\frac{12}{12-k}$ veces las monedas que tuvo después.

Por tanto, el número inicial de monedas es $n\cdot\frac{12^{11}}{11!}$ .

Como $\frac{12^{11}}{11!}=\frac{2^{14}3^7}{5\cdot7\cdot11}$ , el menor $n$ que hace entero el número inicial es $5^2\cdot7\cdot11=1925$ .

Este valor es alcanzable. El número de monedas que hay justo antes de que el pirata $k$ tome su parte es $2^{14}3^7\cdot \frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}}.$ Para $k=1,2,\ldots,12$ , todas estas cantidades son enteras. La parte de cada pirata es la diferencia entre dos cantidades restantes consecutivas, así que cada parte también es entera.

Por tanto, el pirata número $12$ recibe $1925$ monedas, y D es la respuesta correcta.

Work backward. If $n$ coins remain for the $12$ th pirate, then before pirate $k$ took a share, the chest had $\frac{12}{12-k}$ times as many coins as it had afterward.

Therefore the initial number of coins is $n\cdot\frac{12^{11}}{11!}$ .

Since $\frac{12^{11}}{11!}=\frac{2^{14}3^7}{5\cdot7\cdot11}$ , the smallest $n$ that makes the initial number an integer is $5^2\cdot7\cdot11=1925$ .

This value is attainable. The number of coins present just before pirate $k$ takes a share is $2^{14}3^7\cdot \frac{11!}{(12-k)!\,12^{k-1}}.$ For $k=1,2,\ldots,12$ , all these amounts are integers. Each pirate’s share is the difference between two consecutive remaining amounts, so every share is an integer as well.

Thus, the $12$ th pirate receives $1925$ coins, and D is the correct answer.

22.

Seis esferas de radio $1$ se colocan de modo que sus centros están en los vértices de un hexágono regular de lado $2.$ Las seis esferas son tangentes internamente a una esfera mayor cuyo centro es el centro del hexágono. Una octava esfera es tangente externamente a las seis esferas menores y tangente internamente a la esfera mayor. ¿Cuál es el radio de esta octava esfera?

Six spheres of radius $1$ are positioned so that their centers are at the vertices of a regular hexagon of side length $2.$ The six spheres are internally tangent to a larger sphere whose center is the center of the hexagon. An eighth sphere is externally tangent to the six smaller spheres and internally tangent to the larger sphere. What is the radius of this eighth sphere?

$\sqrt2$

$\dfrac{3}{2}$

$\dfrac{5}{3}$

$\sqrt3$

$2$

Respuesta: B

Conceptos:esfera Geometría 3D Teorema de Pitágoras

Nivel de dificultad: 1970

Pista pequeña:

La esfera grande tiene radio $3$ .

The large sphere has radius $3$

Pista grande:

Usa un triángulo rectángulo que une el centro grande, el centro de una esfera pequeña y el centro de la octava esfera.

Use a right triangle joining the large center, a small-sphere center, and the eighth-sphere center

Solución:

Los centros de las seis esferas de radio $1$ forman un hexágono regular de lado $2$ , así que cada uno está a $2$ unidades del centro de la esfera grande. Por lo tanto, la esfera grande tiene radio $3$ .

Sea $r$ el radio de la octava esfera, y sea $x$ la distancia de su centro al centro de la esfera grande. La tangencia interna da $x+r=3$ , así que $x=3-r$ .

Usando el triángulo rectángulo entre el centro grande, el centro de una esfera pequeña y el centro de la octava esfera, $(r+1)^2=2^2+(3-r)^2$ . Así $2r+1=13-6r$ , de modo que $r=\frac32$ .

Por lo tanto, B es la respuesta correcta.

The centers of the six radius- $1$ spheres form a regular hexagon of side length $2$ , so each is $2$ units from the large sphere’s center. Hence the large sphere has radius $3$ .

Let the eighth sphere have radius $r$ , and let its center be distance $x$ from the large sphere’s center. Internal tangency gives $x+r=3$ , so $x=3-r$ .

Using the right triangle between the large center, a small-sphere center, and the eighth-sphere center, $(r+1)^2=2^2+(3-r)^2$ . Thus $2r+1=13-6r$ , so $r=\frac32$ .

Thus, B is the correct answer.

23.

En $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ y $AC=97.$ Una circunferencia con centro $A$ y radio $AB$ corta a $\overline{BC}$ en los puntos $B$ y $X.$ Además, $\overline{BX}$ y $\overline{CX}$ tienen longitudes enteras. ¿Cuánto vale $BC$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB = 86,$ and $AC=97.$ A circle with center $A$ and radius $AB$ intersects $\overline{BC}$ at points $B$ and $X.$ Moreover $\overline{BX}$ and $\overline{CX}$ have integer lengths. What is $BC?$

$11$

$28$

$33$

$61$

$72$

Respuesta: D

Conceptos:potencia de un punto factorización en primos desigualdad triangular

Nivel de dificultad: 2010

Pista pequeña:

Usa la potencia de un punto desde $C$ .

Use power of a point from $C$

Pista grande:

Factoriza $AC^2-AB^2$ y usa la desigualdad triangular para elegir el par de factores válido.

Factor $AC^2-AB^2$ and use the triangle inequality to choose the valid factor pair

Solución:

Por la potencia de un punto desde $C$ , $CB\cdot CX$ $=AC^2-AB^2$ $=97^2-86^2$ .

Esto es igual a $(97-86)(97+86)$ $=11\cdot183$ $=2013$ $=3\cdot11\cdot61$ .

Tanto $CX$ como $BX$ son enteros, así que $BC=BX+CX$ es un factor entero emparejado con $CX$ . Además, $CX<BC<86+97=183$ , por lo que el único par posible es $CX=33$ , $BC=61$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

By power of a point from $C$ , $CB\cdot CX$ $=AC^2-AB^2$ $=97^2-86^2$ .

This equals $(97-86)(97+86)$ $=11\cdot183$ $=2013$ $=3\cdot11\cdot61$ .

Both $CX$ and $BX$ are integers, so $BC=BX+CX$ is an integer factor paired with $CX$ . Also $CX<BC<86+97=183$ , so the only possible pair is $CX=33$ , $BC=61$ .

Thus, D is the correct answer.

24.

Central High School compite contra Northern High School en un torneo de backgammon. Cada escuela tiene tres jugadores, y las reglas del torneo exigen que cada jugador juegue dos partidas contra cada uno de los jugadores de la otra escuela. El torneo se desarrolla en seis rondas, con tres partidas jugadas simultáneamente en cada ronda. ¿De cuántas maneras diferentes se puede programar el torneo?

Central High School is competing against Northern High School in a backgammon match. Each school has three players, and the contest rules require that each player play two games against each of the other school’s players. The match takes place in six rounds, with three games played simultaneously in each round. In how many different ways can the match be scheduled?

$540$

$600$

$720$

$810$

$900$

Respuesta: E

Conceptos:arreglos con restricciones permutaciones de multiconjuntos análisis por casos

Nivel de dificultad: 2390

Pista pequeña:

Primero fija el calendario de seis rondas de un jugador.

Fix one player’s six-round schedule first

Pista grande:

Para el segundo jugador, cuenta las cadenas que evitan al oponente del primer jugador en cada ronda.

For the second player, count strings avoiding the first player’s opponent in every round

Solución:

Etiqueta a los jugadores de Central como $A,B,C$ y a los de Northern como $X,Y,Z$ .

La cadena de oponentes de seis rondas del jugador $A$ contiene dos de cada $X,Y,Z$ , así que se puede elegir de $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ maneras.

Para una cadena de $A$ fija, digamos $XXYYZZ$ , la cadena del jugador $B$ también debe contener dos de cada $X,Y,Z$ y no puede coincidir con el oponente de $A$ en ninguna posición.

Si las dos primeras entradas de $B$ son $Y,Z$ en cualquier orden, entonces las dos entradas centrales deben ser $X,Z$ en cualquier orden y las dos últimas deben ser $X,Y$ en cualquier orden, lo que da $2^3=8$ cadenas. Las dos posibilidades restantes son $YYZZXX$ y $ZZXXYY$ , para un total de $10$ cadenas de $B$ .

Una vez que $A$ y $B$ están programados, el calendario de $C$ queda forzado. Por lo tanto, hay $90\cdot10=900$ calendarios.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

Label Central’s players $A,B,C$ and Northern’s players $X,Y,Z$ .

Player $A$ ’s six-round opponent string contains two each of $X,Y,Z$ , so it can be chosen in $\frac{6!}{2!2!2!}=90$ ways.

For a fixed $A$ -string, say $XXYYZZ$ , player $B$ ’s string must also contain two each of $X,Y,Z$ and cannot match $A$ ’s opponent in any position.

If $B$ ’s first two entries are $Y,Z$ in either order, then the middle two entries must be $X,Z$ in either order and the last two must be $X,Y$ in either order, giving $2^3=8$ strings. The two remaining possibilities are $YYZZXX$ and $ZZXXYY$ , for $10$ total $B$ -strings.

Once $A$ and $B$ are scheduled, $C$ ’s schedule is forced. Hence there are $90\cdot10=900$ schedules.

Thus, E is the correct answer.

25.

Se trazan las $20$ diagonales de un octágono regular. ¿En cuántos puntos distintos del interior del octágono (no sobre la frontera) se cortan dos o más diagonales?

All $20$ diagonals are drawn in a regular octagon. At how many distinct points in the interior of the octagon (not on the boundary) do two or more diagonals intersect?

$49$

$65$

$70$

$96$

$128$

Respuesta: A

Conceptos:conteo de intersecciones polígono regular combinaciones

Nivel de dificultad: 2180

Pista pequeña:

Empieza con las $\binom84$ intersecciones que dan cuatro vértices.

Start with $\binom84$ intersections from four vertices

Pista grande:

Corrige por el centro y los otros ocho puntos de triple concurrencia.

Correct for the center and the eight other triple-concurrence points

Solución:

Si no hubiera tres diagonales concurrentes, cada elección de $4$ vértices determinaría una intersección interior, dando $\binom84=70$ .

Las $4$ diagonales largas que pasan por vértices opuestos se cortan todas en el centro, así que el centro se contó $\binom42=6$ veces y debería contarse una vez. Resta $5$ .

También hay $8$ puntos simétricos donde se cortan $3$ diagonales. Cada uno se contó $\binom32=3$ veces y debería contarse una vez, así que resta $8(3-1)=16$ .

El número de puntos de intersección interiores distintos es $70-5-16=49$ .

Por lo tanto, A es la respuesta correcta.

If no three diagonals were concurrent, each choice of $4$ vertices would determine one interior intersection, giving $\binom84=70$ .

The $4$ long diagonals through opposite vertices all meet at the center, so the center was counted $\binom42=6$ times and should be counted once. Subtract $5$ .

There are also $8$ symmetric points where $3$ diagonals meet. Each was counted $\binom32=3$ times and should be counted once, so subtract $8(3-1)=16$ .

The number of distinct interior intersection points is $70-5-16=49$ .

Thus, A is the correct answer.

Problemas del 2013 AMC 10A

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 450

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 560

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 770

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 900

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1140

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: A

Nivel de dificultad: 1020

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1420

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1540

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 2060

Pista pequeña:

Pista grande: