Question

En $\triangle ABC,$ $AB=AC=28$ y $BC=20.$ Los puntos $D,E,$ y $F$ están sobre los lados $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ y $\overline{AC},$ respectivamente, de modo que $\overline{DE}$ y $\overline{EF}$ son paralelos a $\overline{AC}$ y $\overline{AB},$ respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del paralelogramo $ADEF$ ?

In $\triangle ABC,$ $AB=AC=28$ and $BC=20.$ Points $D,E,$ and $F$ are on sides $\overline{AB},$ $\overline{BC},$ and $\overline{AC},$ respectively, such that $\overline{DE}$ and $\overline{EF}$ are parallel to $\overline{AC}$ and $\overline{AB},$ respectively. What is the perimeter of parallelogram $ADEF?$

$48$

$52$

$56$

$60$

$72$

Solución:

Observa que $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ y $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ debido a las rectas paralelas.

Esto nos dice que $DB = DE$ y $FE = FC.$ Tenemos que el perímetro de $ADEF$ es $AD + DE + EF + AF$ $= AD + DB + FC + AF$ $= AB + AC$ $= 56.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Note that $\triangle DBE \sim \triangle ABC$ and $\triangle FEC \sim \triangle ABC$ due to the parallel lines.

This tells us that $DB = DE$ and $FE = FC.$ We have that the perimeter of $ADEF$ is $AD + DE + EF + AF$ $= AD + DB + FC + AF$ $= AB + AC$ $= 56.$

Thus, C is the correct answer.

2013 AMC 10A Problema 12

Solución:

El Problema 12 en otros años