Soluciones del 2001 AMC 10 | LIVE by Po-Shen Loh

1.

La mediana de la lista

$\begin{gathered} n,\ n+3,\ n+4,\ n+5,\ n+6, \\ \ n+8,\ n+10,\ n+12,\ n+15 \end{gathered}$

es $10.$ ¿Cuál es la media?

The median of the list

$\begin{gathered} n,\ n+3,\ n+4,\ n+5,\ n+6, \\ \ n+8,\ n+10,\ n+12,\ n+15 \end{gathered}$

is $10.$ What is the mean?

$4$

$6$

$7$

$10$

$11$

Conceptos:mediana (datos)media

Nivel de dificultad: 790

Pista pequeña:

La lista tiene $9$ números, así que la mediana es el $5$ º término.

The list has $9$ numbers, so the median is the $5$ th term

Pista grande:

El $5$ º término es $n+6,$ así que planteamos $n+6=10$ .

The $5$ th term is $n+6,$ so set $n+6=10$

Solución:

La lista tiene $9$ números en orden creciente, así que la mediana es el $5$ º término, $n+6.$ Al plantear $n+6=10$ se obtiene $n=4.$

La suma de los términos es $9n$ $\small {}+(3+4+5+6+8+10+12+15)$ $=9n+63$ $=99,$ así que la media es $\frac{99}{9}=11.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The list has $9$ numbers in increasing order, so the median is the $5$ th term, $n+6.$ Setting $n+6=10$ gives $n=4.$

The sum of the terms is $9n$ $\small {}+(3+4+5+6+8+10+12+15)$ $=9n+63$ $=99,$ so the mean is $\frac{99}{9}=11.$

Thus, the correct answer is E.

2.

Un número $x$ es $2$ más que el producto de su recíproco y su inverso aditivo. ¿En qué intervalo se encuentra el número?

A number $x$ is $2$ more than the product of its reciprocal and its additive inverse. In which interval does the number lie?

$-4 \le x \le -2$

$-2 \lt x \le 0$

$0 \lt x \le 2$

$2 \lt x \le 4$

$4 \lt x \le 6$

Conceptos:fracción manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

El recíproco de $x$ es $\dfrac1x$ y el inverso aditivo es $-x$ .

The reciprocal of $x$ is $\dfrac1x$ and the additive inverse is $-x$

Pista grande:

Su producto es $\dfrac1x\cdot(-x)=-1$ .

Their product is $\dfrac1x\cdot(-x)=-1$

Solución:

El recíproco de $x$ es $\dfrac1x$ y su inverso aditivo es $-x.$ Su producto es $\dfrac1x\cdot(-x)=-1.$

Entonces $x=2+(-1)=1,$ que se encuentra en el intervalo $0\lt x\le2.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The reciprocal of $x$ is $\dfrac1x$ and its additive inverse is $-x.$ Their product is $\dfrac1x\cdot(-x)=-1.$

So $x=2+(-1)=1,$ which lies in the interval $0\lt x\le2.$

Thus, the correct answer is C.

3.

La suma de dos números es $S.$ Supongamos que a cada número se le suma $3$ y luego cada uno de los números resultantes se duplica. ¿Cuál es la suma de los dos números finales?

The sum of two numbers is $S.$ Suppose $3$ is added to each number and then each of the resulting numbers is doubled. What is the sum of the final two numbers?

$2S+3$

$3S+2$

$3S+6$

$2S+6$

$2S+12$

Conceptos:manipulación algebraica propiedad distributiva

Nivel de dificultad: 870

Pista pequeña:

Llama a los números $a$ y $b$ con $a+b=S$ .

Call the numbers $a$ and $b$ with $a+b=S$

Pista grande:

La suma final es $2(a+3)+2(b+3)$ .

The final sum is $2(a+3)+2(b+3)$

Solución:

Sean los números $a$ y $b,$ de modo que $a+b=S.$ Tras sumar $3$ a cada uno y duplicar, la suma es $2(a+3)$ $+2(b+3)$ $=2(a+b)+12$ $=2S+12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the numbers be $a$ and $b,$ so $a+b=S.$ After adding $3$ to each and doubling, the sum is $2(a+3)$ $+2(b+3)$ $=2(a+b)+12$ $=2S+12.$

Thus, the correct answer is E.

4.

¿Cuál es el número máximo posible de puntos de intersección de un círculo y un triángulo?

What is the maximum number of possible points of intersection of a circle and a triangle?

$2$

$3$

$4$

$5$

$6$

Conceptos:círculo conteo de intersecciones

Nivel de dificultad: 1040

Pista pequeña:

Una recta puede cortar un círculo en a lo sumo $2$ puntos.

A line can cross a circle in at most $2$ points

Pista grande:

Un triángulo tiene $3$ lados.

A triangle has $3$ sides

Solución:

Cada lado del triángulo es un segmento, que puede intersecar un círculo en a lo sumo $2$ puntos. Con $3$ lados, el máximo es $3\cdot2=6$ puntos, y esto es alcanzable.

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Each side of the triangle is a segment, which can intersect a circle in at most $2$ points. With $3$ sides, the maximum is $3\cdot2=6$ points, and this is achievable.

Thus, the correct answer is E.

5.

¿Cuántos de los doce pentominós que se muestran a continuación tienen al menos un eje de simetría?

How many of the twelve pentominoes pictured below have at least one line of symmetry?

$3$

$4$

$5$

$6$

$7$

Conceptos:simetría enumeración sistemática

Nivel de dificultad: 1120

Pista pequeña:

Un eje de simetría pliega la figura exactamente sobre sí misma.

A line of symmetry folds the shape exactly onto itself

Pista grande:

Revisa cada una de las doce figuras en busca de un eje de plegado horizontal, vertical o diagonal.

Check each of the twelve shapes for a horizontal, vertical, or diagonal fold line

Solución:

Al revisar cada pentominó en busca de un eje de reflexión, exactamente seis tienen al menos uno: la barra recta, la cruz, la forma en $T$ , la forma en $U$ , la forma en $V$ y la forma en $W$ . Los seis restantes no tienen ningún eje de simetría.

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Checking each pentomino for a reflection line, exactly six have at least one: the straight bar, the plus, the $T$ -shape, the $U$ -shape, the $V$ -shape, and the $W$ -shape. The remaining six have no line of symmetry.

Thus, the correct answer is D.

6.

Sean $P(n)$ y $S(n)$ el producto y la suma, respectivamente, de los dígitos del entero $n.$ Por ejemplo, $P(23)=6$ y $S(23)=5.$ Supongamos que $N$ es un número de dos dígitos tal que $N=P(N)+S(N).$ ¿Cuál es el dígito de las unidades de $N$ ?

Let $P(n)$ and $S(n)$ denote the product and the sum, respectively, of the digits of the integer $n.$ For example, $P(23)=6$ and $S(23)=5.$ Suppose $N$ is a two-digit number such that $N=P(N)+S(N).$ What is the units digit of $N?$

$2$

$3$

$6$

$8$

$9$

Conceptos:dígitos manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1100

Pista pequeña:

Escribe $N=10a+b,$ donde $a$ y $b$ son sus dígitos.

Write $N=10a+b,$ where $a$ and $b$ are its digits

Pista grande:

Entonces $10a+b=ab+(a+b),$ que se simplifica a $9a=ab$ .

Then $10a+b=ab+(a+b),$ which simplifies to $9a=ab$

Solución:

Escribimos $N=10a+b.$ Entonces $P(N)=ab$ y $S(N)=a+b,$ así que $10a+b=ab+a+b.$ Esto se reduce a $9a=ab,$ y como $a\ne0,$ obtenemos $b=9.$

El dígito de las unidades es $9.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Write $N=10a+b.$ Then $P(N)=ab$ and $S(N)=a+b,$ so $10a+b=ab+a+b.$ This reduces to $9a=ab,$ and since $a\ne0,$ we get $b=9.$

The units digit is $9.$ Thus, the correct answer is E.

7.

Cuando el punto decimal de cierto número decimal positivo se mueve cuatro lugares a la derecha, el nuevo número es cuatro veces el recíproco del número original. ¿Cuál es el número original?

When the decimal point of a certain positive decimal number is moved four places to the right, the new number is four times the reciprocal of the original number. What is the original number?

$0.0002$

$0.002$

$0.02$

$0.2$

$2$

Conceptos:valor posicional decimal manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1170

Pista pequeña:

Mover el punto decimal cuatro lugares a la derecha multiplica por $10000$ .

Moving the decimal point four places right multiplies by $10000$

Pista grande:

Así que $10000x=\dfrac{4}{x},$ lo que da $x^2=\dfrac{4}{10000}$ .

So $10000x=\dfrac{4}{x},$ giving $x^2=\dfrac{4}{10000}$

Solución:

Mover el punto decimal cuatro lugares a la derecha multiplica $x$ por $10000.$ Así que $10000x=4\cdot\dfrac1x,$ lo que da $x^2=\dfrac{4}{10000}.$

Como $x\gt0,$ tenemos $x=\dfrac{2}{100}=0.02.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

Moving the decimal four places right multiplies $x$ by $10000.$ So $10000x=4\cdot\dfrac1x,$ giving $x^2=\dfrac{4}{10000}.$

Since $x\gt0,$ $x=\dfrac{2}{100}=0.02.$

Thus, the correct answer is C.

8.

Wanda, Darren, Beatrice y Chi son tutores en el laboratorio de matemáticas de la escuela. Su horario es el siguiente: Darren trabaja cada tercer día de clase, Wanda trabaja cada cuarto día de clase, Beatrice trabaja cada sexto día de clase y Chi trabaja cada séptimo día de clase. Hoy todos están trabajando en el laboratorio de matemáticas. ¿Dentro de cuántos días de clase a partir de hoy volverán a estar juntos dando tutoría en el laboratorio?

Wanda, Darren, Beatrice, and Chi are tutors in the school math lab. Their schedule is as follows: Darren works every third school day, Wanda works every fourth school day, Beatrice works every sixth school day, and Chi works every seventh school day. Today they are all working in the math lab. In how many school days from today will they next be together tutoring in the lab?

$42$

$84$

$126$

$178$

$252$

Conceptos:mínimo común múltiplo factorización en primos

Nivel de dificultad: 960

Pista pequeña:

Halla el mínimo común múltiplo de $3,$ $4,$ $6,$ y $7$ .

Find the least common multiple of $3,$ $4,$ $6,$ and $7$

Pista grande:

El mínimo común múltiplo necesita los factores $2^2,$ $3,$ y $7$ .

The least common multiple needs the factors $2^2,$ $3,$ and $7$

Solución:

Vuelven a coincidir tras $\text{lcm}(3,4,6,7)$ días. Como $4=2^2$ y $6=2\cdot3,$ el mínimo común múltiplo es $2^2\cdot3\cdot7=84.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

They meet again after $\text{lcm}(3,4,6,7)$ days. Since $4=2^2$ and $6=2\cdot3,$ the least common multiple is $2^2\cdot3\cdot7=84.$

Thus, the correct answer is B.

9.

El impuesto estatal sobre la renta donde vive Kristin se aplica a la tasa de $p\%$ sobre los primeros $\$28000$ de ingreso anual más $(p+2)\%$ de cualquier cantidad que supere los $\$28000.$ Kristin notó que el impuesto estatal sobre la renta que pagó ascendió a $(p+0.25)\%$ de su ingreso anual. ¿Cuál era su ingreso anual?

The state income tax where Kristin lives is levied at the rate of $p\%$ of the first $\$28000$ of annual income plus $(p+2)\%$ of any amount above $\$28000.$ Kristin noticed that the state income tax she paid amounted to $(p+0.25)\%$ of her annual income. What was her annual income?

$\$28000$

$\$32000$

$\$35000$

$\$42000$

$\$56000$

Conceptos:porcentaje ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Sea su ingreso $x\gt28000$ y expresa el impuesto de dos maneras distintas.

Let her income be $x\gt28000$ and write the tax two different ways

Pista grande:

El impuesto satisface $\dfrac{p}{100}(28000)$ $+\dfrac{p+2}{100}(x-28000)$ $=\dfrac{p+0.25}{100}x$ .

$\dfrac{p}{100}(28000)$ $+\dfrac{p+2}{100}(x-28000)$ $=\dfrac{p+0.25}{100}x$

Solución:

Sea su ingreso anual $x\ge28000.$ Entonces

$\begin{aligned} &\tfrac{p}{100}(28000) \\ &\quad {}+\tfrac{p+2}{100}(x-28000) \\ &\quad =\tfrac{p+0.25}{100}x. \end{aligned}$

Multiplicando por $100$ y desarrollando, todos los términos con $p$ se cancelan, quedando $2x-56000=0.25x.$ Así que $1.75x=56000$ y $x=32000.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let her income be $x\ge28000.$ Then

$\begin{aligned} &\tfrac{p}{100}(28000) \\ &\quad {}+\tfrac{p+2}{100}(x-28000) \\ &\quad =\tfrac{p+0.25}{100}x. \end{aligned}$

Multiplying by $100$ and expanding, all the $p$ terms cancel, leaving $2x-56000=0.25x.$ So $1.75x=56000$ and $x=32000.$

Thus, the correct answer is B.

10.

Si $x,$ $y,$ y $z$ son positivos con $xy=24,$ $xz=48,$ y $yz=72,$ entonces $x+y+z$ es

If $x,$ $y,$ and $z$ are positive with $xy=24,$ $xz=48,$ and $yz=72,$ then $x+y+z$ is

$18$

$19$

$20$

$22$

$24$

Conceptos:sistema de ecuaciones manipulación algebraica

Nivel de dificultad: 1240

Pista pequeña:

Divide $xz=48$ entre $xy=24$ para relacionar $y$ y $z$ .

Divide $xz=48$ by $xy=24$ to relate $y$ and $z$

Pista grande:

A partir de $z=2y$ y $yz=72,$ despeja $y$ .

From $z=2y$ and $yz=72,$ solve for $y$

Solución:

Dividir $xz=48$ entre $xy=24$ da $z=2y.$ Entonces $yz=2y^2=72,$ así que $y=6,$ $z=12,$ y $x=\frac{24}{y}=4.$

De ahí que $x+y+z=22.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Dividing $xz=48$ by $xy=24$ gives $z=2y.$ Then $yz=2y^2=72,$ so $y=6,$ $z=12,$ and $x=\frac{24}{y}=4.$

Hence $x+y+z=22.$ Thus, the correct answer is D.

11.

Considera el cuadrado oscuro en un arreglo de cuadrados unitarios, del cual se muestra una parte. El primer anillo de cuadrados alrededor de este cuadrado central contiene $8$ cuadrados unitarios. El segundo anillo contiene $16$ cuadrados unitarios. Si continuamos este proceso, el número de cuadrados unitarios en el $100$ º anillo es

Consider the dark square in an array of unit squares, part of which is shown. The first ring of squares around this center square contains $8$ unit squares. The second ring contains $16$ unit squares. If we continue this process, the number of unit squares in the $100$ th ring is

$396$

$404$

$800$

$10{,}000$

$10{,}404$

Conceptos:diferencia de cuadrados reconocimiento de patrones

Nivel de dificultad: 1070

Pista pequeña:

El $n$ º anillo es un cuadrado $(2n+1)\times(2n+1)$ al que se le quita el cuadrado $(2n-1)\times(2n-1)$ .

The $n$ th ring is a $(2n+1)\times(2n+1)$ square with the $(2n-1)\times(2n-1)$ square removed

Pista grande:

Observa que $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$ .

$(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$

Solución:

El $n$ º anillo es el borde de un cuadrado $(2n+1)\times(2n+1)$ que rodea a un cuadrado $(2n-1)\times(2n-1)$ , así que contiene $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$ cuadrados unitarios.

Para $n=100,$ eso es $800.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The $n$ th ring is the border of a $(2n+1)\times(2n+1)$ square surrounding a $(2n-1)\times(2n-1)$ square, so it contains $(2n+1)^2-(2n-1)^2=8n$ unit squares.

For $n=100,$ that is $800.$ Thus, the correct answer is C.

12.

Supongamos que $n$ es el producto de tres enteros consecutivos y que $n$ es divisible entre $7.$ ¿Cuál de las siguientes opciones no es necesariamente un divisor de $n$ ?

Suppose that $n$ is the product of three consecutive integers and that $n$ is divisible by $7.$ Which of the following is not necessarily a divisor of $n?$

$6$

$14$

$21$

$28$

$42$

Conceptos:divisibilidad factorización en primos contraejemplo

Nivel de dificultad: 1370

Pista pequeña:

Entre tres enteros consecutivos, uno es par y uno es múltiplo de $3$ .

Among three consecutive integers, one is even and one is a multiple of $3$

Pista grande:

Busca una opción que requiera dos factores de $2;$ tres enteros consecutivos no tienen por qué aportar ambos

Look for a choice requiring two factors of $2;$ three consecutive integers need not provide both

Solución:

Entre tres enteros consecutivos, al menos uno es par y uno es múltiplo de $3,$ así que $n$ es divisible entre $6.$ Con el factor dado de $7,$ es divisible entre $6,$ $14,$ $21,$ y $42.$

Pero $28=2^2\cdot7$ requiere dos factores de $2,$ lo cual no está garantizado: $5\cdot6\cdot7=210$ es divisible entre $7$ pero no entre $28.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Among three consecutive integers, at least one is even and one is a multiple of $3,$ so $n$ is divisible by $6.$ With the given factor of $7,$ it is divisible by $6,$ $14,$ $21,$ and $42.$

But $28=2^2\cdot7$ requires two factors of $2,$ which is not guaranteed: $5\cdot6\cdot7=210$ is divisible by $7$ but not by $28.$

Thus, the correct answer is D.

13.

Un número de teléfono tiene la forma $ABC-DEF-GHIJ,$ donde cada letra representa un dígito diferente. Los dígitos de cada parte del número están en orden decreciente; es decir, $A\gt B\gt C,$ $D\gt E\gt F,$ y $G\gt H\gt I\gt J.$ Además, $D,$ $E,$ y $F$ son dígitos pares consecutivos; $G,$ $H,$ $I,$ y $J$ son dígitos impares consecutivos; y $A+B+C=9.$ Halla $A.$

A telephone number has the form $ABC-DEF-GHIJ,$ where each letter represents a different digit. The digits in each part of the number are in decreasing order; that is, $A\gt B\gt C,$ $D\gt E\gt F,$ and $G\gt H\gt I\gt J.$ Furthermore, $D,$ $E,$ and $F$ are consecutive even digits; $G,$ $H,$ $I,$ and $J$ are consecutive odd digits; and $A+B+C=9.$ Find $A.$

$4$

$5$

$6$

$7$

$8$

Conceptos:dígitos deducción lógica análisis por casos

Nivel de dificultad: 1550

Pista pequeña:

Los cuatro dígitos impares consecutivos $GHIJ$ deben ser $9753$ o $7531$ .

The four consecutive odd digits $GHIJ$ must be $9753$ or $7531$

Pista grande:

Como $A+B+C=9$ usa el dígito impar sobrante, ese dígito impar debe ser $1$ .

Since $A+B+C=9$ uses the leftover odd digit, that odd digit must be $1$

Solución:

Los dígitos impares consecutivos $GHIJ$ son $9753$ o $7531,$ dejando un dígito impar ( $1$ o $9$ ) para $A,$ $B,$ $C.$ Como $A+B+C=9,$ el dígito impar allí debe ser $1,$ así que los dos dígitos pares en $ABC$ suman $8.$

Los dígitos pares consecutivos $DEF$ son $864,$ $642,$ o $420,$ dejando pares de dígitos pares $\{2,0\},$ $\{8,0\},$ o $\{8,6\}$ para $ABC.$ Solo $\{8,0\}$ suma $8,$ así que $ABC=810$ y $A=8.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

The consecutive odd digits $GHIJ$ are $9753$ or $7531,$ leaving one odd digit ( $1$ or $9$ ) for $A,$ $B,$ $C.$ Since $A+B+C=9,$ the odd digit there must be $1,$ so the two even digits in $ABC$ sum to $8.$

The consecutive even digits $DEF$ are $864,$ $642,$ or $420,$ leaving even-digit pairs $\{2,0\},$ $\{8,0\},$ or $\{8,6\}$ for $ABC.$ Only $\{8,0\}$ sums to $8,$ so $ABC=810$ and $A=8.$

Thus, the correct answer is E.

14.

Una organización benéfica vende $140$ boletos benéficos por un total de $\$2001.$ Algunos boletos se venden a precio completo (una cantidad entera de dólares), y el resto se venden a mitad de precio. ¿Cuánto dinero recaudan los boletos a precio completo?

A charity sells $140$ benefit tickets for a total of $\$2001.$ Some tickets sell for full price (a whole dollar amount), and the rest sell for half price. How much money is raised by the full-price tickets?

$\$782$

$\$986$

$\$1158$

$\$1219$

$\$1449$

Conceptos:Ecuación diofántica factorización en primos acotación a casos límite

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

Sea que $n$ boletos se venden a precio completo $p;$ entonces $np+(140-n)\dfrac p2=2001$ .

Let $n$ tickets sell at full price $p;$ then $np+(140-n)\dfrac p2=2001$

Pista grande:

Esto da $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29,$ con $140\le n+140\le280$ .

This gives $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29,$ with $140\le n+140\le280$

Solución:

Sean $n$ boletos a precio completo vendidos a $p$ dólares cada uno. Entonces $np+(140-n)\dfrac p2=2001,$ así que $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29.$

Como $140\le n+140\le280,$ el único factor de $4002$ en ese rango es $174=2\cdot3\cdot29.$ Así que $n+140=174,$ lo que da $n=34$ y $p=23.$ Los boletos a precio completo recaudan $34\cdot23=782$ dólares.

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let $n$ full-price tickets sell at $p$ dollars each. Then $np+(140-n)\dfrac p2=2001,$ so $p(n+140)$ $=4002$ $=2\cdot3\cdot23\cdot29.$

Since $140\le n+140\le280,$ the only factor of $4002$ in range is $174=2\cdot3\cdot29.$ So $n+140=174,$ giving $n=34$ and $p=23.$ The full-price tickets raise $34\cdot23=782$ dollars.

Thus, the correct answer is A.

15.

Una calle tiene bordillos paralelos separados $40$ pies. Un cruce peatonal delimitado por dos franjas paralelas atraviesa la calle en ángulo. La longitud del bordillo entre las franjas es $15$ pies y cada franja mide $50$ pies de largo. Halla la distancia, en pies, entre las franjas.

A street has parallel curbs $40$ feet apart. A crosswalk bounded by two parallel stripes crosses the street at an angle. The length of the curb between the stripes is $15$ feet and each stripe is $50$ feet long. Find the distance, in feet, between the stripes.

$9$

$10$

$12$

$15$

$25$

Conceptos:paralelogramo área

Nivel de dificultad: 1410

Pista pequeña:

El cruce peatonal es un paralelogramo; calcula su área usando el bordillo como base.

The crosswalk is a parallelogram; compute its area using the curb as base

Pista grande:

La misma área es igual a la longitud de la franja por la distancia entre las franjas.

The same area equals stripe length times the distance between the stripes

Solución:

El cruce peatonal es un paralelogramo. Usando el bordillo ( $15$ pies) como base y el ancho de la calle ( $40$ pies) como altura, su área es $15\cdot40=600$ pies cuadrados.

Usando una franja ( $50$ pies) como base, el área es igual a $50$ por la distancia $d$ entre las franjas, así que $d=\frac{600}{50}=12.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

The crosswalk is a parallelogram. Using the curb ( $15$ ft) as base and the street width ( $40$ ft) as height, its area is $15\cdot40=600$ square feet.

Using a stripe ( $50$ ft) as base, the area equals $50$ times the distance $d$ between the stripes, so $d=\frac{600}{50}=12.$

Thus, the correct answer is C.

16.

La media de tres números es $10$ más que el menor de los números y $15$ menos que el mayor. La mediana de los tres números es $5.$ ¿Cuál es su suma?

The mean of three numbers is $10$ more than the least of the numbers and $15$ less than the greatest. The median of the three numbers is $5.$ What is their sum?

$5$

$20$

$25$

$30$

$36$

Conceptos:media mediana (datos)ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1280

Pista pequeña:

Sea $m$ la media; entonces el menor es $m-10$ y el mayor es $m+15$ .

Let $m$ be the mean; then the least is $m-10$ and the greatest is $m+15$

Pista grande:

La mediana es $5,$ así que $\dfrac13\big((m-10)+5+(m+15)\big)$ $=m$ .

The median is $5,$ so $\dfrac13\big((m-10)+5+(m+15)\big)$ $=m$

Solución:

Sea $m$ la media. El número menor es $m-10$ y el mayor es $m+15,$ con mediana $5.$

Como la media de los tres es $m,$ $\begin{aligned} &\tfrac13\big((m-10)+5+(m+15)\big) \\ &\quad =m, \end{aligned}$ lo que da $m=10.$

La suma es $3m=30.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Let $m$ be the mean. The least number is $m-10$ and the greatest is $m+15,$ with median $5.$

Since the mean of the three is $m,$ $\begin{aligned} &\tfrac13\big((m-10)+5+(m+15)\big) \\ &\quad =m, \end{aligned}$ which gives $m=10.$

The sum is $3m=30.$ Thus, the correct answer is D.

17.

¿Cuál de los conos de abajo se puede formar a partir de un sector de $252^\circ$ de un círculo de radio $10$ al alinear los dos lados rectos?

Which of the cones below can be formed from a $252^\circ$ sector of a circle of radius $10$ by aligning the two straight sides?

Conceptos:cono sector circular circunferencia

Nivel de dificultad: 1490

Pista pequeña:

El radio del sector se convierte en la generatriz del cono.

The sector’s radius becomes the slant height of the cone

Pista grande:

La longitud del arco $\dfrac{252}{360}\cdot2\pi\cdot10$ se convierte en la circunferencia de la base $2\pi r$ .

The arc length $\dfrac{252}{360}\cdot2\pi\cdot10$ becomes the base circumference $2\pi r$

Solución:

Al enrollarse en un cono, el radio del sector $10$ se convierte en la generatriz, y la longitud del arco se convierte en la circunferencia de la base.

La longitud del arco es $\dfrac{252}{360}\cdot2\pi\cdot10=14\pi,$ así que $2\pi r=14\pi$ da radio de la base $r=7.$ El cono tiene generatriz $10$ y radio de la base $7.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es C.

When rolled into a cone, the sector’s radius $10$ becomes the slant height, and the arc length becomes the base circumference.

The arc length is $\dfrac{252}{360}\cdot2\pi\cdot10=14\pi,$ so $2\pi r=14\pi$ gives base radius $r=7.$ The cone has slant height $10$ and base radius $7.$

Thus, the correct answer is C.

18.

El plano está teselado por cuadrados congruentes y pentágonos congruentes como se indica. El porcentaje del plano que está encerrado por los pentágonos es lo más cercano a

The plane is tiled by congruent squares and congruent pentagons as indicated. The percent of the plane that is enclosed by the pentagons is closest to

$50$

$52$

$54$

$56$

$58$

Conceptos:razón de áreas teselado porcentaje

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Trabaja dentro de un bloque repetido de $3\times3$ cuadrados pequeños.

Work within a repeating $3\times3$ block of small squares

Pista grande:

De los $9$ cuadrados pequeños, $4$ quedan fuera de los pentágonos.

Of the $9$ small squares, $4$ lie outside the pentagons

Solución:

Considera un bloque repetido de $3\times3$ formado por nueve cuadrados pequeños. Cuatro de estos nueve cuadrados no forman parte de los pentágonos, así que los pentágonos cubren $1-\dfrac49=\dfrac59\approx55.6\%$ del área.

Esto es lo más cercano a $56.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Consider a repeating $3\times3$ block of nine small squares. Four of these nine squares are not part of the pentagons, so the pentagons cover $1-\dfrac49=\dfrac59\approx55.6\%$ of the area.

This is closest to $56.$ Thus, the correct answer is D.

19.

Pat quiere comprar cuatro donas de un amplio suministro de tres tipos de donas: glaseadas, de chocolate y azucaradas. ¿Cuántas selecciones diferentes son posibles?

Pat wants to buy four donuts from an ample supply of three types of donuts: glazed, chocolate, and powdered. How many different selections are possible?

$6$

$9$

$12$

$15$

$18$

Conceptos:estrellas y barras combinaciones

Nivel de dificultad: 1340

Pista pequeña:

Cuenta las soluciones enteras no negativas de $g+c+p=4$ .

Count nonnegative integer solutions of $g+c+p=4$

Pista grande:

Usa el método de estrellas y barras: $\dbinom{4+2}{2}$ .

Use stars and bars: $\dbinom{4+2}{2}$

Solución:

El número de selecciones es el número de soluciones enteras no negativas de $g+c+p=4.$ Por estrellas y barras, esto es $\dbinom{4+2}{2}=\dbinom62=15.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

The number of selections is the number of nonnegative integer solutions of $g+c+p=4.$ By stars and bars, this is $\dbinom{4+2}{2}=\dbinom62=15.$

Thus, the correct answer is D.

20.

Se forma un octágono regular cortando un triángulo rectángulo isósceles de cada una de las esquinas de un cuadrado con lados de longitud $2000.$ ¿Cuál es la longitud de cada lado del octágono?

A regular octagon is formed by cutting an isosceles right triangle from each of the corners of a square with sides of length $2000.$ What is the length of each side of the octagon?

$\dfrac13(2000)$

$2000(\sqrt2-1)$

$2000(2-\sqrt2)$

$1000$

$1000\sqrt2$

Conceptos:polígono regular triángulo rectángulo especial racionalización del denominador

Nivel de dificultad: 1580

Pista pequeña:

Sea cada lado del octágono $x;$ cada triángulo cortado tiene catetos $\dfrac{x}{\sqrt2}$ .

Let each octagon side be $x;$ each cut triangle has legs $\dfrac{x}{\sqrt2}$

Pista grande:

Dos catetos más un lado abarcan una arista del cuadrado: $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000$ .

Two legs plus a side span one edge of the square: $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000$

Solución:

Sea cada lado del octágono $x.$ Es la hipotenusa de cada triángulo rectángulo isósceles cortado, cuyos catetos son $\dfrac{x}{\sqrt2}.$

A lo largo de un lado del cuadrado, dos catetos y un lado del octágono dan $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000,$ así que $x(\sqrt2+1)=2000$ y $x=\dfrac{2000}{\sqrt2+1}=2000(\sqrt2-1).$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Let each octagon side be $x.$ It is the hypotenuse of each cut isosceles right triangle, whose legs are $\dfrac{x}{\sqrt2}.$

Along one side of the square, two legs and one octagon side give $2\cdot\dfrac{x}{\sqrt2}+x=2000,$ so $x(\sqrt2+1)=2000$ and $x=\dfrac{2000}{\sqrt2+1}=2000(\sqrt2-1).$

Thus, the correct answer is B.

21.

Un cilindro circular recto cuyo diámetro es igual a su altura está inscrito en un cono circular recto. El cono tiene diámetro $10$ y altura $12,$ y los ejes del cilindro y del cono coinciden. Halla el radio del cilindro.

A right circular cylinder with its diameter equal to its height is inscribed in a right circular cone. The cone has diameter $10$ and altitude $12,$ and the axes of the cylinder and cone coincide. Find the radius of the cylinder.

$\dfrac83$

$\dfrac{30}{11}$

$3$

$\dfrac{25}{8}$

$\dfrac72$

Conceptos:semejanza cono cilindro

Nivel de dificultad: 1680

Pista pequeña:

En una sección axial, el cilindro tiene radio $r$ y altura $2r$ .

In an axial cross-section, the cylinder has radius $r$ and height $2r$

Pista grande:

Los triángulos semejantes dan $\dfrac{12-2r}{r}=\dfrac{12}{5}$ .

Similar triangles give $\dfrac{12-2r}{r}=\dfrac{12}{5}$

Solución:

Toma una sección axial. El cono tiene radio de la base $5$ y altura $12;$ el cilindro aparece como un rectángulo de ancho $2r$ y altura $2r.$

Por triángulos semejantes, $\dfrac{12-2r}{r}=\dfrac{12}{5},$ así que $5(12-2r)=12r,$ lo que da $60=22r$ y $r=\dfrac{30}{11}.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Take an axial cross-section. The cone has base radius $5$ and height $12;$ the cylinder appears as a rectangle of width $2r$ and height $2r.$

By similar triangles, $\dfrac{12-2r}{r}=\dfrac{12}{5},$ so $5(12-2r)=12r,$ giving $60=22r$ and $r=\dfrac{30}{11}.$

Thus, the correct answer is B.

22.

En el cuadrado mágico que se muestra, las sumas de los números en cada fila, columna y diagonal son iguales. Cinco de estos números están representados por $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ y $z.$ Halla $y+z.$

In the magic square shown, the sums of the numbers in each row, column, and diagonal are the same. Five of these numbers are represented by $v,$ $w,$ $x,$ $y,$ and $z.$ Find $y+z.$

$43$

$44$

$45$

$46$

$47$

Conceptos:cuadrado mágico ecuación lineal

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

La primera fila, la primera columna y la diagonal principal contienen $v$ .

The first row, first column, and main diagonal all contain $v$

Pista grande:

Así que las sumas de las otras dos entradas de cada una son iguales: $25+18=24+w=21+x$ .

So the other two entries of each match: $25+18=24+w=21+x$

Solución:

Como $v$ está en la primera fila, la primera columna y la diagonal principal, las dos entradas restantes de cada una de esas líneas tienen sumas iguales: $25+18=24+w=21+x.$ Así que $w=19$ y $x=22.$

La antidiagonal $25,$ $22,$ $19$ suma $66,$ así que la suma mágica es $66.$ Entonces $v=66-24-19=23,$ $y=66-18-22=26,$ y $z=66-25-21=20.$

De ahí que $y+z=46.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Since $v$ sits in the first row, first column, and main diagonal, the remaining two entries of each of those lines have equal sums: $25+18=24+w=21+x.$ So $w=19$ and $x=22.$

The anti-diagonal $25,$ $22,$ $19$ sums to $66,$ so the magic sum is $66.$ Then $v=66-24-19=23,$ $y=66-18-22=26,$ and $z=66-25-21=20.$

Hence $y+z=46.$ Thus, the correct answer is D.

23.

Una caja contiene exactamente cinco fichas, tres rojas y dos blancas. Las fichas se retiran al azar una a la vez sin reemplazo hasta que se extraen todas las fichas rojas o todas las fichas blancas. ¿Cuál es la probabilidad de que la última ficha extraída sea blanca?

A box contains exactly five chips, three red and two white. Chips are randomly removed one at a time without replacement until all the red chips are drawn or all the white chips are drawn. What is the probability that the last chip drawn is white?

$\dfrac{3}{10}$

$\dfrac25$

$\dfrac12$

$\dfrac35$

$\dfrac{7}{10}$

Conceptos:muestreo sin reemplazo probabilidad básica simetría

Nivel de dificultad: 1690

Pista pequeña:

Imagina extraer las cinco fichas; el juego se detiene cuando se agota un color.

Imagine drawing all five chips; the game stops when one color is exhausted

Pista grande:

La extracción se detiene con una ficha blanca exactamente cuando la última ficha del orden completo de cinco es roja.

The last drawn chip is white exactly when the very last of all five chips is red

Solución:

Imagina extraer las cinco fichas en un orden aleatorio. La extracción se detiene en una ficha blanca exactamente cuando ambas fichas blancas salen antes que las tres rojas, lo que ocurre precisamente cuando la última ficha del orden completo es roja.

Esa probabilidad es $\dfrac{3}{5}.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es D.

Imagine drawing all five chips in a random order. The drawing stops on a white chip exactly when both white chips come out before all three reds, which happens precisely when the very last chip in the full ordering is red.

That probability is $\dfrac{3}{5}.$ Thus, the correct answer is D.

24.

En el trapecio $ABCD,$ $\overline{AB}$ y $\overline{CD}$ son perpendiculares a $\overline{AD},$ con $AB+CD=BC,$ $AB\lt CD,$ y $AD=7.$ ¿Cuánto vale $AB\cdot CD$ ?

In trapezoid $ABCD,$ $\overline{AB}$ and $\overline{CD}$ are perpendicular to $\overline{AD},$ with $AB+CD=BC,$ $AB\lt CD,$ and $AD=7.$ What is $AB\cdot CD?$

$12$

$12.25$

$12.5$

$12.75$

$13$

Conceptos:trapecio Teorema de Pitágoras diferencia de cuadrados

Nivel de dificultad: 1810

Pista pequeña:

Traza una perpendicular desde $B$ hasta $CD$ en $E;$ entonces $BE=AD=7$ y $CE=CD-AB$ .

Drop a perpendicular from $B$ to $CD$ at $E;$ then $BE=AD=7$ and $CE=CD-AB$

Pista grande:

Usa $BC^2=BE^2+CE^2$ con $BC=CD+AB$ .

$BC^2=BE^2+CE^2$ with $BC=CD+AB$

Solución:

Traza una perpendicular desde $B$ hasta $CD,$ que la corta en $E.$ Entonces $BE=AD=7$ y $CE=CD-AB.$ Por el teorema de Pitágoras, $BC^2=BE^2+CE^2.$

Como $BC=CD+AB,$ $\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}$

El lado izquierdo es igual a $4\cdot AB\cdot CD,$ así que $AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Drop a perpendicular from $B$ to $CD,$ meeting it at $E.$ Then $BE=AD=7$ and $CE=CD-AB.$ By the Pythagorean theorem, $BC^2=BE^2+CE^2.$

Since $BC=CD+AB,$ $\begin{aligned} &(CD+AB)^2 \\ &\quad {}-(CD-AB)^2 \\ &\quad =BE^2=49. \end{aligned}$

The left side equals $4\cdot AB\cdot CD,$ so $AB\cdot CD=\dfrac{49}{4}=12.25.$

Thus, the correct answer is B.

25.

¿Cuántos enteros positivos que no excedan $2001$ son múltiplos de $3$ o $4$ pero no de $5$ ?

How many positive integers not exceeding $2001$ are multiples of $3$ or $4$ but not $5?$

$768$

$801$

$934$

$1067$

$1167$

Conceptos:inclusión-exclusión conteo de enteros en un rango múltiplo

Nivel de dificultad: 1530

Pista pequeña:

Cuenta los múltiplos de $3$ o $4,$ luego elimina los que también son múltiplos de $5$ .

Count the multiples of $3$ or $4,$ then remove those that are also multiples of $5$

Pista grande:

Usa inclusión-exclusión con los múltiplos de $3,$ $4,$ $12$ y luego $15,$ $20,$ $60$ .

Use inclusion-exclusion with multiples of $3,$ $4,$ $12$ and then $15,$ $20,$ $60$

Solución:

Múltiplos de $3$ o $4$ hasta $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Entre estos, elimina los múltiplos de $5:$ hay $133$ múltiplos de $15$ y $100$ múltiplos de $20,$ volviendo a sumar los $33$ múltiplos de $60:$ $133+100-33=200.$

Así que el conteo es $1001-200=801.$ Por lo tanto, la respuesta correcta es B.

Multiples of $3$ or $4$ up to $2001:$ $\left\lfloor\tfrac{2001}{3}\right\rfloor$ $+\left\lfloor\tfrac{2001}{4}\right\rfloor$ $-\left\lfloor\tfrac{2001}{12}\right\rfloor$ $=667+500-166$ $=1001.$

Among these, remove the multiples of $5:$ there are $133$ multiples of $15$ and $100$ multiples of $20,$ re-adding the $33$ multiples of $60:$ $133+100-33=200.$

So the count is $1001-200=801.$ Thus, the correct answer is B.