Question

Un cuadrado de lado

3

está inscrito en un triángulo isósceles con uno de sus lados sobre la base del triángulo. Un cuadrado de lado

2

tiene dos vértices sobre el otro cuadrado y los otros dos sobre los lados del triángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área del triángulo?

A square with side length

3

is inscribed in an isosceles triangle with one side of the square along the base of the triangle. A square with side length

2

has two vertices on the other square and the other two on sides of the triangle, as shown. What is the area of the triangle?

19\frac14

20\frac14

21 \frac34

22\frac12

23\frac34

Respuesta: B

Conceptos:semejanza área del triángulo cuadrado (geometría)

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Usa triángulos semejantes para relacionar los anchos a diferentes alturas.

Use similar triangles to relate widths at different heights

Pista grande:

Los anchos del triángulo son

2

y

3

a alturas separadas por

2

.

The triangle widths are

2

and

3

at heights separated by

2

Solución:

Sea

H

la altura del triángulo isósceles y

B

su base. Por semejanza, los anchos horizontales del triángulo son proporcionales a la distancia al vértice superior.

El lado superior del cuadrado más grande tiene ancho

3

y está a

H-3

unidades del vértice superior. El lado superior del cuadrado más pequeño tiene ancho

2

y está a

H-5

unidades del vértice superior. Por lo tanto

\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}.

Al resolver se obtiene

H=9.

Además

\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3},

así que

B=\frac{9}{2}.

El área es

\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14.

Por lo tanto, la respuesta es B.

Let the isosceles triangle have height

H

and base

B.

By similarity, horizontal widths in the triangle are proportional to distance from the top vertex.

The top side of the larger square has width

3

and is

H-3

units from the top. The top side of the smaller square has width

2

and is

H-5

units from the top. Hence

\frac{3}{H-3}=\frac{2}{H-5}.

Solving gives

H=9.

Also

\frac{B}{H}=\frac{3}{H-3},

so

B=\frac{9}{2}.

The area is

\frac12\cdot\frac92\cdot9=\frac{81}{4}=20\frac14.

Thus, the answer is B .

2021 AMC 10B Fall Problema 13

Respuesta: B

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 13 en otros años