Question

Se dice que dos transformaciones conmutan si aplicar la primera seguida de la segunda da el mismo resultado que aplicar la segunda seguida de la primera. Considera estas cuatro transformaciones del plano de coordenadas:

• una traslación de $2$ unidades a la derecha;

• una rotación de $90^\circ$ en sentido antihorario alrededor del origen;

• una reflexión respecto al eje $x$ ; y

• una dilatación centrada en el origen con factor de escala $2.$

De los $6$ pares de transformaciones distintas de esta lista, ¿cuántos conmutan?

Two transformations are said to commute if applying the first followed by the second gives the same result as applying the second followed by the first. Consider these four transformations of the coordinate plane:

• a translation $2$ units to the right,

• a $90^\circ$ rotation counterclockwise about the origin,

• a reflection across the $x$ -axis, and

• a dilation centered at the origin with scale factor $2.$

Of the $6$ pairs of distinct transformations from this list, how many commute?

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

La dilatación solo escala respecto al origen, así que conmuta tanto con la rotación como con la reflexión. Eso da $2$ pares. La traslación también conmuta con la reflexión respecto al eje $x$ , ya que cualquiera de los dos órdenes envía $(x, y) \to (x + 2, -y).$ Los otros tres pares fallan: la traslación choca con la rotación y con la dilatación, y la rotación choca con la reflexión. Así que $3$ pares conmutan. Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The dilation just scales about the origin, so it commutes with both the rotation and the reflection. That's $2$ pairs. The translation commutes with the reflection across the $x$ -axis too, since either order sends $(x, y) \to (x + 2, -y).$ The other three pairs fail: the translation clashes with the rotation and with the dilation, and the rotation clashes with the reflection. So $3$ pairs commute. Thus, C is the correct answer.

2024 AMC 10A Problema 13

Solución:

El Problema 13 en otros años