Question

Un lado de un triángulo equilátero de altura $24$ está sobre la recta $\ell.$ Un círculo de radio $12$ es tangente a $\ell$ y es tangente externamente al triángulo. El área de la región exterior al triángulo y al círculo, acotada por el triángulo, el círculo y la recta $\ell$ , puede escribirse como $a\sqrt{b} - c\pi,$ donde $a,$ $b,$ y $c$ son enteros positivos y $b$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $a + b + c$ ?

One side of an equilateral triangle of height $24$ lies on line $\ell.$ A circle of radius $12$ is tangent to $\ell$ and is externally tangent to the triangle. The area of the region exterior to the triangle and the circle and bounded by the triangle, the circle, and line $\ell$ can be written as $a\sqrt{b} - c\pi,$ where $a,$ $b,$ and $c$ are positive integers and $b$ is not divisible by the square of any prime. What is $a + b + c?$

$72$

$73$

$74$

$75$

$76$

Solución:

El triángulo equilátero tiene lado $16\sqrt3$ . Coloca $\ell$ sobre el eje $x$ con vértice de la base $V = (16\sqrt3, 0)$ ; el lado inclinado está sobre $\sqrt3\,x + y = 48$ . El círculo se apoya en $\ell$ , tiene radio $12$ , y toca ese lado externamente, así que su centro es $O = (20\sqrt3, 12)$ . Sea $T = (20\sqrt3, 0)$ su punto de tangencia sobre $\ell$ , y sea $P$ el punto de tangencia sobre el lado inclinado. Las dos longitudes tangentes desde $V$ cumplen $VT = VP = 4\sqrt3$ , así que la cometa $VTOP$ tiene área $4\sqrt3 \cdot 12 = 48\sqrt3$ . El ángulo en $V$ es $120^\circ$ , así que el sector eliminado tiene ángulo $60^\circ$ y área $\tfrac16 \pi (12)^2 = 24\pi$ . La región tiene área $48\sqrt3 - 24\pi$ , lo que da $a + b + c = 48 + 3 + 24 = 75$ . Por lo tanto, la respuesta es D.

The equilateral triangle has side $16\sqrt3$ . Put $\ell$ on the $x$ -axis with base vertex $V = (16\sqrt3, 0)$ ; the slanted side lies on $\sqrt3\,x + y = 48$ . The circle sits on $\ell$ , has radius $12$ , and touches that side externally, so its center is $O = (20\sqrt3, 12)$ . Let $T = (20\sqrt3, 0)$ be its tangency point on $\ell$ , and let $P$ be the tangency point on the slanted side. The two tangent lengths from $V$ satisfy $VT = VP = 4\sqrt3$ , so kite $VTOP$ has area $4\sqrt3 \cdot 12 = 48\sqrt3$ . The angle at $V$ is $120^\circ$ , so the removed sector has angle $60^\circ$ and area $\tfrac16 \pi (12)^2 = 24\pi$ . The region has area $48\sqrt3 - 24\pi$ , giving $a + b + c = 48 + 3 + 24 = 75$ . Therefore, the answer is D.

2024 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años