Question

Cuatro rectángulos congruentes se colocan como se muestra. El área del cuadrado exterior es $4$ veces la del cuadrado interior. ¿Cuál es la razón entre la longitud del lado más largo de cada rectángulo y la longitud de su lado más corto?

Four congruent rectangles are placed as shown. The area of the outer square is $4$ times that of the inner square. What is the ratio of the length of the longer side of each rectangle to the length of its shorter side?

$3$

$\sqrt{10}$

$2 + \sqrt{2}$

$2\sqrt{3}$

$4$

Solución:

Sea $x$ el lado más corto y $y$ el lado más largo de cada rectángulo. El cuadrado exterior tiene lado $y + x$ y el cuadrado interior tiene lado $y - x$ .

Como la razón de áreas es $4,$ la razón de lados es $2,$ así que $y + x = 2(y - x),$ lo que da $y = 3x$ .

La razón entre el lado más largo y el más corto es $\dfrac{y}{x} = 3$ .

Así, la respuesta correcta es A.

Let each rectangle have shorter side $x$ and longer side $y.$ The outer square has side length $y + x$ and the inner square has side length $y - x.$

Since the area ratio is $4,$ the side ratio is $2,$ so $y + x = 2(y - x),$ which gives $y = 3x.$

The ratio of longer to shorter side is $\dfrac{y}{x} = 3.$

Thus, the correct answer is A.

2009 AMC 10A Problema 14

Solución:

El Problema 14 en otros años