Question

Las figuras $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ y $F_4$ mostradas son las primeras de una sucesión de figuras. Para $n \ge 3,$ $F_n$ se construye a partir de $F_{n-1}$ rodeándola con un cuadrado y colocando en cada lado del nuevo cuadrado un rombo más de los que $F_{n-1}$ tenía en cada lado de su cuadrado exterior. Por ejemplo, la figura $F_3$ tiene $13$ rombos. ¿Cuántos rombos hay en la figura $F_{20}$ ?

The figures $F_1,$ $F_2,$ $F_3,$ and $F_4$ shown are the first in a sequence of figures. For $n \ge 3,$ $F_n$ is constructed from $F_{n-1}$ by surrounding it with a square and placing one more diamond on each side of the new square than $F_{n-1}$ had on each side of its outside square. For example, figure $F_3$ has $13$ diamonds. How many diamonds are there in figure $F_{20}?$

$401$

$485$

$585$

$626$

$761$

Solución:

Al pasar de $F_{n-1}$ a $F_n,$ el nuevo cuadrado exterior lleva $4(n-1)$ rombos. Partiendo del único rombo de $F_1,$ $\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}$

Por lo tanto $F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.$

Así, la respuesta correcta es E.

Going from $F_{n-1}$ to $F_n,$ the new outside square carries $4(n-1)$ diamonds. Starting from the single diamond of $F_1,$ $\begin{aligned} F_n &= 1 \\ &\quad {}+ 4\big(1 + 2 + \cdots + (n-1)\big) \\ &= 1 + 4 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} \\ &= 1 + 2n(n-1). \end{aligned}$

Therefore $F_{20} = 1 + 2 \cdot 20 \cdot 19 = 761.$

Thus, the correct answer is E.

2009 AMC 10A Problema 15

Solución:

El Problema 15 en otros años