Question

El cuadrilátero

ABCD

con lados

AB = 7,

BC = 24,

CD = 20,

DA = 15

está inscrito en un círculo. El área interior al círculo pero exterior al cuadrilátero puede escribirse en la forma

\dfrac{a \pi - b}{c},

donde

a,

b,

y

c

son enteros positivos tales que

a

y

c

no tienen factor primo común. ¿Cuánto vale

a + b + c

?

Quadrilateral

ABCD

with side lengths

AB = 7,

BC = 24,

CD = 20,

DA = 15

is inscribed in a circle. The area interior to the circle but exterior to the quadrilateral can be written in the form

\dfrac{a \pi - b}{c},

where

a,

b,

and

c

are positive integers such that

a

and

c

have no common prime factor. What is

a + b + c?

260

855

1235

1565

1997

Respuesta: D

Conceptos:cuadrilátero cíclico Terna pitagórica área del círculo

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Verifica si los dos triángulos formados por una diagonal son triángulos rectángulos.

Check whether the two triangles formed by a diagonal are right triangles

Pista grande:

Usa la hipotenusa común como diámetro del círculo.

Use the common hypotenuse as the circle diameter

Solución:

Observemos que

7^2 + 24^2

y

15^2 + 20^2

son iguales. Esto obliga a que

AC = 25

, pues de lo contrario

\angle B

y

\angle D

serían ambos agudos o ambos obtusos, contradiciendo que su suma es

180^{\circ}.

Además, como

\angle B

es recto,

AC

es un diámetro del círculo. El área del círculo es

\dfrac{625}{4} \pi.

Para hallar el área del cuadrilátero, sumamos las áreas de los dos triángulos:

\dfrac{1}{2}(7 \cdot 24 + 20 \cdot 15) =

84 + 150 = 234.

El área exterior al cuadrilátero es

\dfrac{625}{4} \pi - 234 = \dfrac{625 \pi - 936}{4}.

Por tanto,

a + b + c = 625 + 936 + 4

= 1565.

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Notice that

7^2 + 24^2

and

15^2 + 20^2

are both the same. This forces

AC = 25

since otherwise

\angle B

and

\angle D

would both be acute or obtuse, violating the fact that their sum is

180^{\circ}.

Also since

\angle B

is right, we know that

AC

is the diameter of the circle. The area of the circle is then

\dfrac{625}{4} \pi.

To find the area of the quadrilateral, we can find the area of each of the triangles, which is

\dfrac{1}{2}(7 \cdot 24 + 20 \cdot 15) =

84 + 150 = 234.

To find the area outside the quadrilateral, we subtract to get

\dfrac{625}{4} \pi - 234 = \dfrac{625 \pi - 936}{4}.

Therefore,

a + b + c = 625 + 936 + 4

= 1565.

Thus, D is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 15

Respuesta: D

Nivel de dificultad: 1950

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 15 en otros años