Question

Las raíces del polinomio $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ son la altura, el largo y el ancho de una caja rectangular (prisma rectangular recto). Se forma una nueva caja rectangular alargando cada arista de la caja original en $2$ unidades. ¿Cuál es el volumen de la nueva caja?

The roots of the polynomial $10x^3 - 39x^2 + 29x - 6$ are the height, length, and width of a rectangular box (right rectangular prism). A new rectangular box is formed by lengthening each edge of the original box by $2$ units. What is the volume of the new box?

$\dfrac{24}{5}$

$\dfrac{42}{5}$

$\dfrac{81}{5}$

$30$

$48$

Solución:

Sean $h, l,$ y $w$ las dimensiones de la caja original. Entonces el volumen de la nueva caja es $(h + 2)(l + 2)(w + 2).$ Desarrollando, obtenemos $hlw + 2(hl + hw + lw)$ $+ 4(l + h + w) + 8.$ Podemos usar las fórmulas de Vieta para hallar los términos de esta expresión. Obtenemos que $hlw = -\dfrac{D}{A} = \dfrac{3}{5},$ $hl + hw + lw = \dfrac{C}{A} = \dfrac{29}{10},$ y $l + h + w = -\dfrac{B}{A} = \dfrac{39}{10}.$

Sustituyendo estos valores en la expresión, obtenemos $\dfrac{3}{5} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = 30.$

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Let $h, l,$ and $w$ be the dimensions of the old box. Then the volume of the new box is $(h + 2)(l + 2)(w + 2).$ Expanding, we get $hlw + 2(hl + hw + lw)$ $+ 4(l + h + w) + 8.$ We can use Vieta's formulas to find the terms in this expression. We get that $hlw = -\dfrac{D}{A} = \dfrac{3}{5},$ $hl + hw + lw = \dfrac{C}{A} = \dfrac{29}{10},$ and $l + h + w = -\dfrac{B}{A} = \dfrac{39}{10}.$

Plugging these values into the expression, we get $\dfrac{3}{5} + 2 \cdot \dfrac{29}{10} + 4 \cdot \dfrac{39}{10} + 8 = 30.$

Thus, D is the correct answer.

2022 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años