Question

En el rectángulo $ABCD,$ $AB=1,$ $BC=2,$ y los puntos $E,$ $F,$ y $G$ son los puntos medios de $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ y $\overline{AD},$ respectivamente. El punto $H$ es el punto medio de $\overline{GE}.$ ¿Cuál es el área de la región sombreada?

In rectangle $ABCD,$ $AB=1,$ $BC=2,$ and points $E,$ $F,$ and $G$ are midpoints of $\overline{BC},$ $\overline{CD},$ and $\overline{AD},$ respectively. Point $H$ is the midpoint of $\overline{GE}.$ What is the area of the shaded region?

$\dfrac1{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{18}$

$\dfrac{\sqrt2}{12}$

$\dfrac{\sqrt3}{12}$

$\dfrac16$

Solución:

Podemos hallar el área de la región sombreada calculando el área del $\triangle DHC$ y restando los dos triángulos no sombreados.

Prolonga $\overline{DH}$ hasta que llegue a $B.$ Sea la intersección de $\overline{DB}$ y $\overline{AF}$ el punto $X.$

Tenemos que $\triangle DXF$ $\sim \triangle BXA.$ Como $AB = 2 \cdot DF,$ se cumple que $BX = 2 \cdot AX.$

Esto significa que $DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,$ por lo que la altura del $\triangle DXF$ es $\dfrac{1}{3}$ de la altura del rectángulo.

El área del $\triangle DXF$ es entonces $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.$

El área de los dos triángulos no sombreados es entonces $2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.$ El área del $\triangle DHC$ es $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.$

El área de la región sombreada es entonces $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.$

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can find the area of the shaded region by finding the area of $\triangle DHC$ and subtracting out the two unshaded triangles.

Extend $\overline{DH}$ so that it hits $B.$ Let the intersection of $\overline{DB}$ and $\overline{AF}$ be $X.$

We have that $\triangle DXF$ $\sim \triangle BXA.$ Since $AB = 2 \cdot DF,$ we have that $BX = 2 \cdot AX.$

This means that $DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,$ which means that the altitude of $\triangle DXF$ is $\dfrac{1}{3}$ the height of the rectangle.

The area of $\triangle DXF$ is then $\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.$

The area of both unshaded triangles is then $2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.$ The area of $\triangle DHC$ is $\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.$

The area of the shaded region is then $\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.$

Thus, E is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años