Question

En el rectángulo

ABCD,

AB=1,

BC=2,

y los puntos

E,

F,

y

G

son los puntos medios de

\overline{BC},

\overline{CD},

y

\overline{AD},

respectivamente. El punto

H

es el punto medio de

\overline{GE}.

¿Cuál es el área de la región sombreada?

In rectangle

ABCD,

AB=1,

BC=2,

and points

E,

F,

and

G

are midpoints of

\overline{BC},

\overline{CD},

and

\overline{AD},

respectively. Point

H

is the midpoint of

\overline{GE}.

What is the area of the shaded region?

\dfrac1{12}

\dfrac{\sqrt3}{18}

\dfrac{\sqrt2}{12}

\dfrac{\sqrt3}{12}

\dfrac16

Respuesta: E

Conceptos:rectángulo punto medio semejanza

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Usa los triángulos semejantes que forman las rectas que se cruzan.

Use similar triangles created by the crossing lines

Pista grande:

El área del cometa sombreado es el doble del área de un triángulo pequeño.

The shaded kite area is twice one small triangle area

Solución:

Podemos hallar el área de la región sombreada calculando el área del

\triangle DHC

y restando los dos triángulos no sombreados.

Prolonga

\overline{DH}

hasta que llegue a

B.

Sea la intersección de

\overline{DB}

y

\overline{AF}

el punto

X.

Tenemos que

\triangle DXF\sim\triangle BXA.

Como

AB=2\cdot DF

, la proporcionalidad de lados correspondientes da

BX=2\cdot DX

.

Esto significa que

DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,

por lo que la altura del

\triangle DXF

es

\dfrac{1}{3}

de la altura del rectángulo.

El área del

\triangle DXF

es entonces

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.

El área de los dos triángulos no sombreados es entonces

2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.

El área del

\triangle DHC

es

\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.

El área de la región sombreada es entonces

\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.

Por lo tanto, E es la respuesta correcta.

We can find the area of the shaded region by finding the area of

\triangle DHC

and subtracting out the two unshaded triangles.

Extend

\overline{DH}

so that it hits

B.

Let the intersection of

\overline{DB}

and

\overline{AF}

be

X.

We have that

\triangle DXF\sim\triangle BXA.

Since

AB=2\cdot DF

, corresponding sides give

BX=2\cdot DX

.

This means that

DX = \dfrac{1}{3} \cdot DB,

which means that the altitude of

\triangle DXF

is

\dfrac{1}{3}

the height of the rectangle.

The area of

\triangle DXF

is then

\dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{6}.

The area of both unshaded triangles is then

2 \cdot \dfrac{1}{6} = \dfrac{1}{3}.

The area of

\triangle DHC

is

\dfrac{1}{2} \cdot 1 \cdot 1 = \dfrac{1}{2}.

The area of the shaded region is then

\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{3} = \dfrac{1}{6}.

Thus, E is the correct answer.

2014 AMC 10A Problema 16

Respuesta: E

Nivel de dificultad: 1660

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 16 en otros años