Question

La suma de una serie geométrica infinita es un número positivo $S,$ y el segundo término de la serie es $1.$ ¿Cuál es el menor valor posible de $S$ ?

The sum of an infinite geometric series is a positive number $S,$ and the second term in the series is $1.$ What is the smallest possible value of $S?$

$\ \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$

$\ 2$

$\ \sqrt{5}$

$\ 3$

$\ 4$

Solución:

Sea el primer valor de la serie $a,$ y sea la razón $r.$ Así, $\begin{align*}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ &= \dfrac{ar}{r(1-r)} \\&= \dfrac{1}{r(1-r)}.\end{align*}$ Esto significa que tenemos que hallar el $r$ que maximiza $r(1-r)= 0.25-(r-0.5)^2.$ Esta maximización ocurrirá con $r=0.5.$

Por lo tanto, $S = \dfrac{1}{0.5(0.5)}= 4.$

Por lo tanto, la respuesta correcta es E.

Let the first value of the series be $a,$ and let the ratio be $r.$ Thus, $\begin{align*}S&=\dfrac{a}{1-r}\\ &= \dfrac{ar}{r(1-r)} \\&= \dfrac{1}{r(1-r)}.\end{align*}$ This means we have to find $r$ that maximizes $r(1-r)= 0.25-(r-0.5)^2.$ This maximization will happen with $r=0.5.$

Therefore, $S = \dfrac{1}{0.5(0.5)}= 4.$

Thus, the correct answer is E .

2016 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años