Question

A Jerry le gusta jugar con números. Un día, escribió todos los enteros desde $1$ hasta $2024$ en la pizarra. Luego, repetidamente eligió cuatro números en la pizarra, los borró y los reemplazó por su suma o su producto. (Por ejemplo, el primer paso de Jerry pudo haber sido borrar $1, 2, 3,$ y $5,$ y luego escribir en la pizarra o bien $11,$ su suma, o bien $30,$ su producto.) Después de realizar repetidamente esta operación, Jerry notó que todos los números que quedaban en la pizarra eran impares. ¿Cuál es el número máximo posible de enteros en la pizarra en ese momento?

Jerry likes to play with numbers. One day, he wrote all the integers from $1$ to $2024$ on the whiteboard. Then he repeatedly chose four numbers on the whiteboard, erased them, and replaced them with either their sum or their product. (For example, Jerry's first step might have been to erase $1, 2, 3,$ and $5,$ and then write either $11,$ their sum, or $30,$ their product, on the whiteboard.) After repeatedly performing this operation, Jerry noticed that all the remaining numbers on the board were odd. What is the maximum possible number of integers on the board at that time?

$1010$

$1011$

$1012$

$1013$

$1014$

Solución:

Entre $1, \ldots, 2024$ hay $1012$ números pares y $1012$ impares. Cada operación consume $4$ números y escribe de vuelta $1,$ así que la cantidad baja en $3;$ para mantenerla alta queremos la menor cantidad posible de operaciones. Todo número par tiene que desaparecer, y un movimiento que produce un resultado impar puede eliminar a lo sumo $3$ pares a la vez (un impar más tres pares suma impar). Eliminar los $1012$ pares requiere por tanto al menos $\lceil 1012/3 \rceil = 338$ movimientos. Y eso se puede lograr: $337$ movimientos de "un impar $+$ tres pares $\to$ suma impar" borran $1011$ pares, luego un movimiento de "tres impares $+$ un par $\to$ suma impar" elimina el último. Eso deja $2024 - 3 \cdot 338 = 1010$ números. Por lo tanto, la respuesta es A.

Among $1, \ldots, 2024$ there are $1012$ even numbers and $1012$ odd. Each operation eats $4$ numbers and writes back $1,$ so the count falls by $3;$ to keep it high we want as few operations as possible. Every even number has to go, and a move that produces an odd result can clear at most $3$ evens at once (one odd plus three evens sums to odd). Clearing all $1012$ evens therefore takes at least $\lceil 1012/3 \rceil = 338$ moves. And that's achievable: $337$ moves of "one odd $+$ three evens $\to$ odd sum" wipe out $1011$ evens, then one move of "three odds $+$ one even $\to$ odd sum" gets the last. That leaves $2024 - 3 \cdot 338 = 1010$ numbers. Therefore, the answer is A.

2024 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años