Question

El diagrama de abajo muestra un rectángulo con lados de longitud $4$ y $8$ y un cuadrado con lado de longitud $5.$ Tres vértices del cuadrado están sobre tres lados diferentes del rectángulo, como se muestra. ¿Cuál es el área de la región que está dentro tanto del cuadrado como del rectángulo?

The diagram below shows a rectangle with side lengths $4$ and $8$ and a square with side length $5.$ Three vertices of the square lie on three different sides of the rectangle, as shown. What is the area of the region inside both the square and the rectangle?

$15\dfrac{1}{8}$

$15\dfrac{3}{8}$

$15\dfrac{1}{2}$

$15\dfrac{5}{8}$

$15\dfrac{7}{8}$

Solución:

Primero, etiquetemos los puntos de la siguiente manera:

Como tenemos un rectángulo, $AB = 4.$ Por el teorema de Pitágoras, tenemos $AC = 3.$ Luego, dado que $\angle ACB$ y $\angle DCE$ son complementarios, $\angle BAC = \angle CDE = 90^\circ,$ y $BC = CE$ , sabemos que $ABC \cong CDE.$ Por lo tanto, $ED = 3$ y $EF = 1.$

Como $\angle CED$ y $\angle GEF$ son complementarios y $\angle EFG = \angle CDE = 90^\circ,$ sabemos que $EFG$ y $CDE$ son semejantes. Esto significa que $\dfrac{EC}{CD} = \dfrac{EG}{EF},$ así que $EG = 1.25.$ Como la región sombreada es un trapecio, podemos obtener el área como $\dfrac{(GE+BC)EC}2 = \dfrac{ 5(5+1.25)}2$ $= \dfrac{5\cdot 6.25}{2} = 15.625.$

Esto es igual a $15 \dfrac 58.$

Así, la respuesta es D.

Firstly, let's label the points as follows:

Since we have a rectangle, $AB = 4.$ By the Pythagorean Theorem, we have $AC = 3.$ Then, since $\angle ACB$ and $\angle DCE$ are complementary, $\angle BAC = \angle CDE = 90^\circ,$ and $BC = CE$ we know $ABC \cong CDE.$ Therefore, $ED = 3$ and $EF = 1.$

Since $\angle CED$ and $\angle GEF$ are complementary and $\angle EFG = \angle CDE = 90^\circ,$ we know $EFG$ and $CDE$ are similar. This means $\dfrac{EC}{CD} = \dfrac{EG}{EF},$ so $EG = 1.25.$ Since the shaded region is a trapezoid, we can get the area as $\dfrac{(GE+BC)EC}2 = \dfrac{ 5(5+1.25)}2$ $= \dfrac{5\cdot 6.25}{2} = 15.625.$

This is equal to $15 \dfrac 58.$

Thus, the answer is D .

2022 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años