Question

Un tablero de dardos es un octágono regular dividido en regiones como se muestra. Supón que un dardo lanzado al tablero tiene la misma probabilidad de caer en cualquier punto del tablero. ¿Cuál es la probabilidad de que el dardo caiga dentro del cuadrado central?

A dart board is a regular octagon divided into regions as shown. Suppose that a dart thrown at the board is equally likely to land anywhere on the board. What is the probability that the dart lands within the center square?

$\dfrac{\sqrt{2} - 1}{2}$

$\dfrac{1}{4}$

$\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}$

$\dfrac{\sqrt{2}}{4}$

$2 - \sqrt{2}$

Solución:

Sea $1$ la longitud del lado. Entonces, el área del centro es $1$ .

Luego, debemos hallar el área del octágono. Se puede obtener como un cuadrado al que se le quitan $4$ triángulos rectángulos isósceles. La longitud del lado de este cuadrado es $1 + 2\cdot \dfrac 1{\sqrt 2} = 1 + \sqrt 2 .$ Tiene un área de $(1+\sqrt 2)^2 = 3 + 2 \sqrt 2.$

Luego, el cateto de los triángulos rectángulos mide $\dfrac {1}{\sqrt 2}$ , lo que hace que el área de uno sea igual a $\dfrac {\frac {1}{\sqrt 2}^2}{2} = \dfrac 14 .$ Esto hace que tengan un área combinada total de $1$ , así que el área del octágono es $2+ 2 \sqrt 2$ .

Por lo tanto, la razón es $\begin{align*}&\dfrac 1{2+ 2 \sqrt 2} \\&= \dfrac {-2+ 2 \sqrt 2}{(2+ 2 \sqrt 2)(-2+ 2 \sqrt 2)}\\ &=\dfrac {2(\sqrt 2-1)}{4} \\&=\dfrac {\sqrt 2-1}{2}. \end{align*}$

Por lo tanto, la respuesta correcta es A.

Let the side length be $1.$ Then, the area of the center is $1.$

Then, we must find the area of the octagon. It can be found as a square with $4$ isosceles right triangles taken out. The side length of this square is $1 + 2\cdot \dfrac 1{\sqrt 2} = 1 + \sqrt 2 .$ It has an area of $(1+\sqrt 2)^2 = 3 + 2 \sqrt 2.$

Then, the side length of the right triangles is $\dfrac {1}{\sqrt 2} ,$ making the area of one equal to $\dfrac {\frac {1}{\sqrt 2}^2}{2} = \dfrac 14 .$ This makes them have a total combined area of $1,$ so the area of the octagon is $2+ 2 \sqrt 2.$

Thus, the ratio is $\begin{align*}&\dfrac 1{2+ 2 \sqrt 2} \\&= \dfrac {-2+ 2 \sqrt 2}{(2+ 2 \sqrt 2)(-2+ 2 \sqrt 2)}\\ &=\dfrac {2(\sqrt 2-1)}{4} \\&=\dfrac {\sqrt 2-1}{2}. \end{align*}$

Thus, the correct answer is A .

2011 AMC 10B Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años