Question

En la siguiente lista de números, el entero $n$ aparece $n$ veces en la lista para $1 \leq n \leq 200$ . $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,$ $\ldots, 200, 200, \ldots , 200$ ¿Cuál es la mediana de los números de esta lista?

In the following list of numbers, the integer $n$ appears $n$ times in the list for $1 \leq n \leq 200.$ $1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4,$ $\ldots, 200, 200, \ldots , 200$ What is the median of the numbers in this list?

$100.5$

$134$

$142$

$150.5$

$167$

Solución:

El número total de números de la lista es $1 + 2 + \cdots + 200$ $= \dfrac{200 \cdot 201}{2} = 20100.$

Queremos hallar la mediana $k$ tal que $\dfrac{k(k + 1)}{2}$ esté cerca de $\dfrac{20100}{2}$ .

Multiplicando por $2$ , queremos que $k(k + 1)$ esté cerca de $20100$ . Observa que $\sqrt{20100} \approx 142$ .

Sustituyendo $k = 142$ , obtenemos $\dfrac{1}{2} \cdot 142 \cdot 143 = 10153.$

Como $10153 - 142 < 10050$ , esto muestra que los números en las posiciones $10050$ y $10051$ son ambos $142$ , por lo que la mediana es $142$ .

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

The total number of numbers in the list is $1 + 2 + \cdots + 200$ $= \dfrac{200 \cdot 201}{2} = 20100.$

We want to find the median $k$ such that $\dfrac{k(k + 1)}{2}$ is near $\dfrac{20100}{2}.$

Multiplying by $2,$ we want $k(k + 1)$ near $20100.$ Note that $\sqrt{20100} \approx 142.$

Plugging in $k = 142$ yields $\dfrac{1}{2} \cdot 142 \cdot 143 = 10153.$

$10153 - 142 < 10050,$ which shows that the $10050$ th and $10051$ st numbers are both $142$ , so the median is $142$ .

Thus, C is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 16

Solución:

El Problema 16 en otros años