Question

El trapecio $ABCD$ cumple $\overline{AB}\parallel\overline{CD},BC=CD=43$ , y $\overline{AD}\perp\overline{BD}$ . Sea $O$ la intersección de las diagonales $\overline{AC}$ y $\overline{BD}$ , y sea $P$ el punto medio de $\overline{BD}$ .

Dado que $OP=11$ , la longitud de $AD$ se puede escribir en la forma $m\sqrt{n}$ , donde $m$ y $n$ son enteros positivos y $n$ no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale $m+n$ ?

Trapezoid $ABCD$ has $\overline{AB}\parallel\overline{CD},BC=CD=43,$ and $\overline{AD}\perp\overline{BD}.$ Let $O$ be the intersection of the diagonals $\overline{AC}$ and $\overline{BD},$ and let $P$ be the midpoint of $\overline{BD}.$

Given that $OP=11,$ the length of $AD$ can be written in the form $m\sqrt{n},$ where $m$ and $n$ are positive integers and $n$ is not divisible by the square of any prime. What is $m+n?$

$65$

$132$

$157$

$194$

$215$

Solución en video:

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Solución escrita:

Como $BC=CD$ , la mediana desde $C$ hasta $BD$ es perpendicular a $BD$ . Por lo tanto, $\triangle BPC$ es un triángulo rectángulo. Sea $\angle DBC=\alpha$ . Como $AB\parallel CD$ , también tenemos $\angle ABD=\alpha$ , así que $\triangle BPC\sim\triangle BDA$ .

Como $P$ es el punto medio de $BD$ , tenemos $BD/BP=2$ . En la semejanza, $BC$ corresponde a $AB$ , así que

$\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}$

Además, $\triangle ABO\sim\triangle CDO$ , así que

$\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.$

Como $OP=11$ y $P$ es el punto medio de $BD$ , escribimos $BP=PD=t$ . Entonces $BO=t+11$ y $OD=t-11$ , así que

$\frac{t+11}{t-11}=2.$

Esto da $t=33$ , de modo que $BD=66$ . Finalmente, $\triangle ABD$ es rectángulo, así que

$\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}$

Así, $m+n=4+190=194$ .

Por lo tanto, D es la respuesta correcta.

Because $BC=CD$ , the median from $C$ to $BD$ is perpendicular to $BD$ . Thus $\triangle BPC$ is a right triangle. Let $\angle DBC=\alpha$ . Since $AB\parallel CD$ , we also have $\angle ABD=\alpha$ , so $\triangle BPC\sim\triangle BDA$ .

Since $P$ is the midpoint of $BD$ , we have $BD/BP=2$ . In the similarity, $BC$ corresponds to $AB$ , so

$\begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}$

Also, $\triangle ABO\sim\triangle CDO$ , so

$\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.$

Since $OP=11$ and $P$ is the midpoint of $BD$ , write $BP=PD=t$ . Then $BO=t+11$ and $OD=t-11$ , so

$\frac{t+11}{t-11}=2.$

This gives $t=33$ , hence $BD=66$ . Finally, $\triangle ABD$ is right, so

$\begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}$

Thus $m+n=4+190=194$ .

Thus, D is the correct answer.

2021 AMC 10A Spring Problema 17

Solución en video:

Solución escrita:

El Problema 17 en otros años