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2021 AMC 10A Spring Problema 17

Intenta el Problema 17 del 2021 AMC 10A Spring a continuación y luego compara tu respuesta con la solución en video y solución preparada profesionalmente de LIVE by Po-Shen Loh. También puedes intentar el examen cronometrado completo, ver todas las soluciones del 2021 AMC 10A Spring, o revisar la clave de respuestas.

Todos los problemas se usan con el permiso legal oficial de la Mathematical Association of America (MAA).

17.

El trapecio ABCDABCD cumple AB‾∥CD‾,\overline{AB}\parallel\overline{CD}, BC=CD=43,BC=CD=43, y AD‾⊥BD‾.\overline{AD}\perp\overline{BD}. Sea OO la intersección de las diagonales AC‾\overline{AC} y BD‾,\overline{BD}, y sea PP el punto medio de BD‾.\overline{BD}.
Dado que OP=11,OP=11, la longitud de ADAD se puede escribir en la forma mn,m\sqrt{n}, donde mm y nn son enteros positivos y nn no es divisible por el cuadrado de ningún primo. ¿Cuánto vale m+nm+n?
Trapezoid ABCDABCD has AB‾∥CD‾,\overline{AB}\parallel\overline{CD}, BC=CD=43,BC=CD=43, and AD‾⊥BD‾.\overline{AD}\perp\overline{BD}. Let OO be the intersection of the diagonals AC‾\overline{AC} and BD‾,\overline{BD}, and let PP be the midpoint of BD‾.\overline{BD}.
Given that OP=11,OP=11, the length of ADAD can be written in the form mn,m\sqrt{n}, where mm and nn are positive integers and nn is not divisible by the square of any prime. What is m+n?m+n?
6565
132132
157157
194194
215215
Respuesta: D
Conceptos:trapeciosemejanzaTeorema de Pitágoras
Nivel de dificultad: 1950
Pista pequeña:
Usa el triángulo isósceles para obtener un triángulo rectángulo que involucre el punto medio de BDBD.
Use the isosceles triangle to get a right triangle involving the midpoint of BDBD
Pista grande:
El punto de intersección OO divide las diagonales en la razón de las bases paralelas.
The intersection point OO splits the diagonals in the ratio of the parallel bases
Solución en video:
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Solución escrita:
Como BC=CD,BC=CD, la mediana desde CC hasta BDBD es perpendicular a BD.BD. Por lo tanto, △BPC\triangle BPC es un triángulo rectángulo. Sea ∠DBC=α.\angle DBC=\alpha. Como AB∥CD,AB\parallel CD, también tenemos ∠ABD=α,\angle ABD=\alpha, así que △BPC∼△BDA.\triangle BPC\sim\triangle BDA.
Como PP es el punto medio de BD,BD, tenemos BDBP=2.\frac{BD}{BP}=2. En la semejanza, BCBC corresponde a AB,AB, así que
ABBC=2,AB=2⋅43=86. \begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}
Además, △ABO∼△CDO,\triangle ABO\sim\triangle CDO, así que
BOOD=ABCD=2.\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.
Como OP=11OP=11 y PP es el punto medio de BD,BD, escribimos BP=PD=t.BP=PD=t. Entonces BO=t+11BO=t+11 y OD=t−11,OD=t-11, así que
t+11t−11=2.\frac{t+11}{t-11}=2.
Esto da t=33,t=33, de modo que BD=66.BD=66. Finalmente, △ABD\triangle ABD es rectángulo, así que
AD=AB2−BD2=862−662=4190. \begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}
Así, m+n=4+190=194.m+n=4+190=194.
Por lo tanto, D es la respuesta correcta.
Because BC=CD,BC=CD, the median from CC to BDBD is perpendicular to BD.BD. Thus △BPC\triangle BPC is a right triangle. Let ∠DBC=α.\angle DBC=\alpha. Since AB∥CD,AB\parallel CD, we also have ∠ABD=α,\angle ABD=\alpha, so △BPC∼△BDA.\triangle BPC\sim\triangle BDA.
Since PP is the midpoint of BD,BD, we have BDBP=2.\frac{BD}{BP}=2. In the similarity, BCBC corresponds to AB,AB, so
ABBC=2,AB=2⋅43=86. \begin{aligned} \frac{AB}{BC} &=2, \\ AB &=2\cdot43=86. \end{aligned}
Also, △ABO∼△CDO,\triangle ABO\sim\triangle CDO, so
BOOD=ABCD=2.\frac{BO}{OD}=\frac{AB}{CD}=2.
Since OP=11OP=11 and PP is the midpoint of BD,BD, write BP=PD=t.BP=PD=t. Then BO=t+11BO=t+11 and OD=t−11,OD=t-11, so
t+11t−11=2.\frac{t+11}{t-11}=2.
This gives t=33,t=33, hence BD=66.BD=66. Finally, △ABD\triangle ABD is right, so
AD=AB2−BD2=862−662=4190. \begin{aligned} AD &= \sqrt{AB^2-BD^2} \\ &= \sqrt{86^2-66^2} \\ &= 4\sqrt{190}. \end{aligned}
Thus m+n=4+190=194.m+n=4+190=194.
Thus, D is the correct answer.
Problema 16#16
Examen completo
Problema 18#18

El Problema 17 en otros años

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