Question

Sean

a

y

b

enteros primos entre sí con

a > b > 0

y

\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.

¿Cuánto vale

a-b

?

Let

a

and

b

be relatively prime integers with

a > b > 0

and

\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.

What is

a-b?

1

2

3

4

5

Respuesta: C

Conceptos:factorización ecuación racional cuadrática

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Factoriza

a^3-b^3

.

Factor

a^3-b^3

Pista grande:

La ecuación se convierte en una cuadrática en

\frac{a}{b}

.

The equation becomes a quadratic in

\frac{a}{b}

Solución:

Recuerda que podemos factorizar

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Al cancelar este factor obtenemos que

\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.

Multiplicando en cruz y reordenando obtenemos

70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.

Como

b \neq 0,

podemos dividir todo entre

b^2

para obtener

70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.

Aplicando la fórmula cuadrática y notando que

a \gt b

obtenemos que

\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.

Como

a

y

b

son primos entre sí, tenemos que

a = 10

y

b = 7.

Su diferencia es

10 - 7 = 3.

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Recall that we can factor

a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).

Canceling out this factor gives us that

\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.

Cross-multiplying and rearranging gives us

70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.

Since

b \neq 0,

we can divide through by

b^2

to get

70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.

Applying the quadratic formula and noting that

a \gt b

gives us that

\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.

Since

a

and

b

are relatively prime, we have that

a = 10

and

b = 7.

Their difference is

10 - 7 = 3.

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 17

Respuesta: C

Nivel de dificultad: 1670

Pista pequeña:

Pista grande:

Solución:

El Problema 17 en otros años