Question

Sean $a$ y $b$ enteros positivos primos entre sí con $a > b > 0$ y $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.$ ¿Cuánto vale $a-b$ ?

Let $a$ and $b$ be relatively prime positive integers with $a > b > 0$ and $\dfrac{a^3-b^3}{(a-b)^3} = \dfrac{73}{3}.$ What is $a-b?$

$1$

$2$

$3$

$4$

$5$

Solución:

Recuerda que podemos factorizar $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$ Al cancelar este factor obtenemos que $\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.$

Multiplicando en cruz y reordenando obtenemos $70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.$ Como $b \neq 0,$ podemos dividir todo entre $b^2$ para obtener $70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.$

Aplicando la fórmula cuadrática y notando que $a \gt b$ obtenemos que $\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.$

Como $a$ y $b$ son primos entre sí, tenemos que $a = 10$ y $b = 7.$ Su diferencia es $10 - 7 = 3.$

Por lo tanto, C es la respuesta correcta.

Recall that we can factor $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2).$ Canceling out this factor gives us that $\dfrac{a^2 + ab + b^2}{a^2 - 2ab + b^2} = \dfrac{73}{3}.$

Cross-multiplying and rearranging gives us $70a^2 - 149ab + 70b^2 = 0.$ Since $b \neq 0,$ we can divide through by $b^2$ to get $70\left(\dfrac{a}{b}\right)^2 - 149\dfrac{a}{b} + 70 = 0.$

Applying the quadratic formula and noting that $a \gt b$ gives us that $\dfrac{a}{b} = \dfrac{10}{7}.$

Since $a$ and $b$ are relatively prime, we have that $a = 10$ and $b = 7.$ Their difference is $10 - 7 = 3.$

Thus, C is the correct answer.

2012 AMC 10A Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años