Question

Llamamos a un entero positivo monótono si es un número de una cifra o si sus dígitos, leídos de izquierda a derecha, forman una sucesión estrictamente creciente o estrictamente decreciente. Por ejemplo, $3,$ $23578,$ y $987620$ son monótonos, pero $88,$ $7434,$ y $23557$ no lo son. ¿Cuántos enteros positivos monótonos hay?

Call a positive integer monotonous if it is a one-digit number or its digits, when read from left to right, form either a strictly increasing or a strictly decreasing sequence. For example, $3,$ $23578,$ and $987620$ are monotonous, but $88,$ $7434,$ and $23557$ are not. How many monotonous positive integers are there?

$1024$

$1524$

$1533$

$1536$

$2048$

Solución:

Los enteros positivos estrictamente crecientes corresponden a los subconjuntos no vacíos de $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , escritos en orden creciente. Hay $2^9-1=511$ de estos.

Los enteros positivos estrictamente decrecientes corresponden a los subconjuntos de $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , escritos en orden decreciente, salvo el conjunto vacío y $\{0\}$ . Hay $2^{10}-2=1022$ de estos.

Los números de una cifra del $1$ al $9$ se contaron en ambos grupos, así que el total es $511+1022-9=1524$ . Así, B es la respuesta correcta.

The strictly increasing positive integers correspond to the nonempty subsets of $\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , written in increasing order. There are $2^9-1=511$ of these.

The strictly decreasing positive integers correspond to subsets of $\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ , written in decreasing order, except for the empty set and $\{0\}$ . There are $2^{10}-2=1022$ of these.

The one-digit numbers $1$ through $9$ were counted in both groups, so the total is $511+1022-9=1524$ . Thus, B is the correct answer.

2017 AMC 10B Problema 17

Solución:

El Problema 17 en otros años